Назначение модели. Роль моделирования в процессе познания.

Назначение модели. Роль моделирования в процессе познания.

Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения замещает объект оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его свойства. Под объектом в данном случае понимается любой материальный предмет, процесс, явление.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования включает три элемента:

1) субъект (исследователь),

2) объект исследования,

3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Назначение и функции модели

Назначение и функции модели чрезвычайно широки. Модель, воспроизводящая объект, может строиться для следующих целей:

 достижения чисто практических результатов, например, установления функциональных связей между входом и выходом объекта для решения конкретных задач управления, создания протезов (искусственные сердце, кисти руки и т. д.);

 обучения, демонстрации и облегчения усвоения уже готовых знаний;

 исследования воспроизводимого объекта, что представляет наибольший интерес.

В этом случае модель может использоваться для:

a. совершенствования или построения теории процесса, являясь некоторой предтеорией;

b. предсказания поведения объекта, являясь его заместителем;

c. замены сложной системы, например, дифференциальных уравнений более простой системой с допустимой для определенных условий точностью;

d. экономии времени и средств;

e. интерпретации экспериментальных и теоретических результатов путем замены эксперимента на объекте экспериментом на модели с использованием АВМ или ЦВМ.

Сюда же примыкает критериальная функция моделей, заключающаяся в том, что с её помощью можно проверять истинность знаний об оригинале, поскольку модель дает возможность представить накопленные знания в компактном и взаимосвязанном(системном) виде и сравнить их с оригиналом.

Понятие моделирования. Основные принципы моделирования.

Моделирование — воспроизведение характеристик некоторого объекта на другом материальном или мысленном объекте, специально созданном для их изучения [1].
В этом определении моделирования по существу содержится также одно из общих определений модели.

Прежде всего необходимо подчеркнуть, что в этом процессе обязательно участвуют и взаимодействуют друг с другом субъект, объект исследования и модель.

Процесс моделирования есть процесс перехода из реальной области в виртуальную (модельную) посредством формализации, далее происходит изучение модели (собственно моделирование) и, наконец, интерпретация результатов как обратный переход из виртуальной области в реальную. Этот путь заменяет прямое исследование объекта в реальной области, то есть лобовое или интуитивное решение задачи. Итак, в самом простом случае технология моделирования подразумевает 3 этапа:

· формализация;

· моделирование;

· интерпретация.

Польза от моделирования может быть достигнута только при соблюдении следующих достаточно очевидных условий:

- модель адекватно отображает свойства оригинала, существенных с точки зрения цели исследования;

-модель позволяет устранять проблемы, присущие прове6дению измерений на реальных объектах.

При экспериментировании с моделью сложной системы можно получить больше информации о внутренних взаимодействующих факторах системы, чем при манипулировании с реальной системой благодаря изменяемости структурных элементов, легкости изменения параметров модели и т.д.

ПРИНЦИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

1) Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об исследуемом объекте построить его модель невозможно. Если информация полная, то моделирование лишено смысла. Должен существовать некоторый критический уровень априорных сведений об объекте (уровень информационной достаточности), при достижении которого может быть построена его адекватная модель.

2) Принцип осуществимости. Модель должна обеспечивать достижения поставленной цели с вероятностью отличной от нуля и за конечное время. Обычно задают некоторое пороговое значение вероятности P₀ и приемлемую границу времени t₀ достижения цели. Модель осуществима, если

P(t) ≥ P₀ и t ≤ t₀.

3) Принцип множественности моделей. Создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства моделируемой системы или процесса, которые влияют на выбранный показатель эффективности. Соответственно, с помощью конкретной модели можно изучить лишь некоторые стороны реальности. Для более полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющих более разносторонне и с разной степенью детальности отражать рассматриваемый объект или процесс.

4) Принцип агрегирования. Сложную систему обычно можно представить состоящей из подсистем (агрегатов), для математического описания которых используются стандартные математические схемы. Кроме того, этот принцип позволяет гибко перестраивать модель в зависимости от целей исследования.

5) Принцип параметризации. В ряде случаев моделируемая система может иметь относительно изолированные подсистемы, которые характеризуются определенным параметром (в том числе векторным). Такие подсистемы можно заметить в модели соответствующими числами, а не описывать процесс их функционирования. При необходимости зависимость этих величин от ситуации может быть задана в виде таблицы, графика или аналитического выражения (формулы). Это позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Однако надо помнить, что параметризация снижает адекватность модели.

Основные этапы компьютерного моделирования.

Основные этапы моделирования

Для моделирования необходимо создать модель и провести ее исследование. Некоторые математические модели могут быть исследованы без применения средств ВТ. В настоящее время это практически исключено.

Моделирование на ЭВМ предполагает выполнение следующих этапов:

1. формулирование цели моделирования;

2. разработка концептуальной модели;

3. подготовка исходных данных;

4. разработка математической модели;

5. выбор метода моделирования;

6. выбор средств моделирования;

7. разработка программной модели;

8. проверка адекватности и корректировка модели;

9. планирование экспериментов;

10. моделирование на ЭВМ, анализ результатов моделирования.

Проверка адекватности

Адекватность модели нарушается по многим причинам: из-за идеализации внешних условий и режимов функционирования; исключения тех или иных параметров; пренебрежения некоторыми случайными факторами. Отсутствие точных сведений о внешних воздействиях, определенных нюансах структуры системы, принятые аппроксимации, интерполяции, предположения и гипотезы также ведут к уменьшению соответствия между моделью и системой. Это приводит к тому, что результаты моделирования будут существенно отличаться от реальных.

Основной тезис формализации. Понятие знака, языка. Классификация

Языков.

В общем виде формализация понимается как сведение некоторого содержания (содержания текста, смысла научной теории, воспринимаемых сигналов и пр.) к выбранной форме.

Суть объекта не меняется от того, как мы его назовём. Это значит, что мы можем назвать его как угодно, придать его имени любую форму, которая, по нашему мнению, лучше соответствует данному объекту.

Из основного тезиса формализации следует сама идея моделирования. Поскольку объект нужно как-то обозначать, то необходимо ввести некоторый набор знаков для обозначения. Знак — это элемент конечного множества отличных друг от друга элементов. Так как обозначение мы можем выбрать достаточно произвольно, то возможные наборы знаков могут быть самыми разнообразными.

Пример.

А, Б, В, Г — знаки для обозначения звуков русского языка;

+, -, *, : — знаки для обозначения арифметических операций;

←, ↑, →, ↓ — знаки для обозначения направления движения.

Понятие знака является одним из базисных понятий науки (также как и понятия «информация», «подобие», «множество», «объект»), а потому дать его точное определение не представляется возможным.

Но можно указать некоторые основные черты знака:

1. способность знака выступать заместителем обозначаемого. В семиотике — науке о знаках — обозначаемое называют денотатом (когда есть пара «денотат — знак»);

2. нетождественность знака и денотата — знак никогда не может полностью заменить обозначаемое;

3. многозначность соответствия «знак — денотат».

Первые две особенности вполне понятны, последнюю поясним на следующем примере.

Пример.

Зрительному образу рис.4 может быть придан смысл: буквы «эр» русского языка, буквы «pi» английского языка, химического элемента фосфор, знака стоянки в правилах дорожного движения. То есть один и тот же знак можно использовать для обозначения разных объектов.

Рис. 4 Пример зрительного образа

Язык — это знаковая система, используемая для целей коммуникации и познания.

Все языки можно разделить на естественные и искусственные. Естественными называются «обычные», «разговорные» языки, которые складываются стихийно и в течение долгого времени. История каждого такого языка неотделима от истории народа, владеющего им. Искусственные языки создаются людьми для специальных целей или для определённых групп людей. Примеры искусственных языков: язык математики, морской семафор, язык программирования. Характерной особенностью искусственных языков является однозначная определённость их словаря, правил образования выражений и правил придания им значений.

Строго говоря, любой язык — естественный и искусственный — обладает набором определённых правил. Они могут быть явно и строго сформулированными (формализованными), и могут допускать различные варианты их использования.

Итак, язык характеризуется:

· набором используемых знаков;

· правилами образования из этих знаков таких языковых конструкций, как слова, фразы и тексты (в широком толковании этих понятий);

· набором синтаксических, семантических и прагматических правил использования этих языковых конструкций. Упорядоченный набор знаков, используемый в языке, называется алфавитом.

Многие проблемы представления и передачи знаний связаны с проблемами их формализации. Знания - это воспринятая, осознанная и ставшая личностно значимой информация. В процессе познания в результате непосредственных наблюдений, проведения экспериментов мы получаем информацию. Формализация полученной информации есть один из компонентов процесса её осознания.

Языковая система, в рамках которой производится формализация, имеет свои выразительные возможности и тем самым накладывает ограничения на выбор формы.Так, словесное описание можно успешно применять при моделировании внешнего вида, менее эффективно оно при моделировании структуры. Моделирование же поведения посредством словесного описания хоть и привычно для нас, но менее наглядно по сравнению, скажем, с видеофильмом.

Классификационные модели.

Классификационные модели являются основополагающими, исходными формами знаний. В науке познание начинается с соотнесения познаваемого объекта с другими, выявления сходствами различия между ними. Поэтому протокол наблюдений на классификационном уровне эксперимента содержит результаты измерения ряда признаков. Признак характеризует конкретное свойство объекта.

Модели, с помощью которых осуществляется прогнозирование класса объекта, будем называть классификационными.

Примеры классификационных моделей - модели на основе деревьев решений, а также байесовский метод. При помощи классификационной модели решаются следующие задачи:

- принадлежит ли новый клиент к одному из набора существующих классов;

- подходит ли пациенту определенный курс лечения;

- выявление групп ненадежных клиентов;

- определение групп клиентов, которым следует рассылать каталог с новой продукцией.

Деревья решений и простые байесовы модели — два самых популярных типа классификационных моделей.

Динамические модели

В отличие от статических, независимых от времени, моделей динамические модели описывают экономические или управленческие процессы или системы в движении, то есть, в зависимости от временных периодов, что были или будут. Динамические модели позволяют прогнозировать развития процесса на будущие, чтобы уже сейчас иметь представление о его результатах и соответствующим образом реагировать на определенные следствие этого развития.

Динамическое моделирование – многошаговый процесс, каждый шаг соответствует поведению экономической системы у определенный временный период. Каждый поточный шаг получает результаты предыдущего шага, за определенными правилами определяет текущий результат и формирует данные для следующего шага.

Таким образом, динамическая модель в ускоренном режиме позволяет исследовать развития сложной экономической системы, скажем, предприятия, на протяжении определенного периода планирования в условиях изменения ресурсного обеспечения (сырья, кадров, финансов, техники), и получение результаты представить у соответствующему плане развития предприятия на заданный период.

Динамические системы, в отличие от статических, помнят свое прошлое состояние, то есть обладают памятью. Поэтому в записи модели динамических систем присутствует производная, связывающая прошлое состояние системы с настоящим. Чем большей памятью обладает система, тем больше состояний из прошлого влияют на настоящее, тем большая степень старшей производной используется в записи модели.

Задача 1. На входе и выходе черного ящика (рис. 2.1) имеются зависимости параметров X и Y от времени t. Задача состоит в том, чтобы адекватно определить черный ящик.

Рис. 2.1. Черный ящик, содержащий динамическую систему. Условное обозначение

Графики зависимостей X(t) и Y(t) могут быть самыми разными, например, такими, как показано на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Временные зависимости — входной и выходной сигналы

Поскольку моделирование систем подразумевает численные расчеты на компьютере, то аналоговый сигнал переводят в дискретный вид.

Любая динамическая система характеризуется рядом параметров. Обычно (чаще всего) параметрами называют коэффициенты при производных (первой, второй и т. д.) в записи модели. Чем большая степень старшей производной присутствует в записи модели, тем больший порядок динамической системы, тем глубже ее память, и тем больше коэффициентов (параметров) надо определить, чтобы идентифицировать систему.

Как определить параметры динамической системы? Сначала нужно оценить порядок динамической системы: он совпадает со степенью наибольшей из производных Y по отношению к t.

Модель динамики популяции.

Будем считать, что учет численности популяии производится в дискретные моменты времени(один раз в год для зайцев или один раз в день для бактерий – непринципиально). Пусть N_n – численность популяции в n-й момент времени, n =1, 2 …

Для построения модели требуется учесть основные факторы, влияющие на изменение численности. Таковыми являются рождаемость и смертность. Предполагается, что за время, прошедшее между соседними моментами наблюдений n и n + 1, появилось на свет N_n и умерло N_n осыбей. Данное предположение кажется достаточно естественным: количество родившихся, как и количество умерших осыбей должно быть пропорционально общему числу N_n осыбей в популяуии. Соответствующие пропорции задаются параметрами - коэффициент рождаемости, – коэффициент смертности. Отметим, что 0< = , < =1.

В результате учета этих факторов получаем уровнение:

N_n+1= N_n + N_n + N_n= N_n (1),

То есть линейную модель динамики популяции. Эта модель в действительности зависит только от одного параметра - коэффициент естественного прироста, > =0.

Примеры математических моделей в различных отраслях знаний.

Примеры применения:

В физике: задача о движении снаряда

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v₀ = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Пренебрегая размерами снаряда, будем считать его материальной точкой. Введем систему координат xOy, совместив ее начало O с исходной точкой, из которой пущен снаряд, ось x направим горизонтально, а ось y — вертикально (рис. 1).

Рис. 1

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t — время, g = 10 м/с² — ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x₁ = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда).

В химии: Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.

Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из n атомов углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2...), связанных между собой так, как показано на рисунке 3 для n = 3. Пусть известны экспериментальные значения температур кипения этих соединений:

y_э(3) = – 42°, y_э(4) = 0°, y_э(5) = 28°, y_э(6) = 69°.

Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид

y » an + b,

где a, b — константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:

– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.

Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:

b » – 42 – 3a, b » – 4a, b » 28 – 5a, b » 69 – 6a.

Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4, 5a. Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a, получим для a следующие значения: a»37, a»28, a»28, a»36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a»34. Итак, искомое уравнение имеет вид

y » 34n – 139.

Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:

y_р(3) = – 37°, y_р(4) = – 3°, y_р(5) = 31°, y_р(6) = 65°.

Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: y_р(7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения y_э(7) = 98°.

19. Имитационное моделирование. Этапы имитационного моделирования.Отличительные признаки методов математического и имитационного моделирования. Имитационные эксперименты.

Имитационное моделирование - техника численных экспериментов, с помощью которых можно получить эмпирические оценки степени влияния различных факторов - исходных величин, которые точно не определены, на зависящие от них результаты - показатели.

Целью имитационного моделирования является построение вероятностных распределений для возможных значений выходной стохастической переменной при случайном изменении входных стохастических переменных {x_i, }.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени. Имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени [42].

Основным преимуществом имитационных моделей по сравнению с аналитическими является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют легко учитывать наличие дискретных или непрерывных элементов, нелинейные характеристики, случайные воздействия и др. Поэтому этот метод широко применяется на этапе проектирования сложных систем. Основным средством реализации имитационного моделирования служит ЭВМ, позволяющая осуществлять цифровое моделирование систем и сигналов.

При имитационном моделировании используемая ММ воспроизводит алгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды. Примером простейшей аналитической модели может служить уравнение прямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процесса с помощью имитационной.

Имитационные модели не только по свойствам, но и по структуре соответствуют моделируемому объекту. При этом имеется однозначное и явное соответствие между процессами, получаемыми на модели, и процессами, протекающими на объекте. Недостатком имитационного моделирования является большое время решения задачи для получения хорошей точности.

Понятие численного эксперимента. Проведение аналогии между численным и лабораторным экспериментом. Взаимосвязь численного эксперимента с натурным экспериментом и теорией. Достоверность численной модели. Анализ и интерпретация модели.

Численный эксперимент выясняет, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на компьютере, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности.

По сравнению с натурным экспериментом математическое моделирование имеет следующие преимущества:
• экономичность (сбережение ресурсов реальной системы);
• возможность моделирования гипотетических, т.е. не реализованных в натуре объектов;
• возможность реализации режимов, опасных или трудновоспроизводимых в натуре (критический режим ядерного реактора, работа системы противоракетной обороны);
• возможность изменения масштаба времени;
• легкость многоаспектного анализа;
• большая прогностическая сила вследствие возможности выявления общих закономерностей;
• универсальность технического и программного обеспечения проводимой работы.

Этапы вычислительного эксперимента:
1. Построение математической модели в виде формальной системы (исчисления).
2. Построение абстрактного вычислительного алгоритма (Р – полиномиальный, NP – недетерминированный полиномиальный, Е – экспоненциальный).
3. Построение физической компьютерной информационной модели.

Вычислительным экспериментом называется методология и технология исследований, основанные на применении прикладной математики и ЭВМ как технической базы при использовании ММ. Вычислительный эксперимент основывается на создании ММ изучаемых объектов, которые формируются с помощью некоторой особой математической структуры, способной отражать свойства объекта, проявляемые им в различных экспериментальных условиях, и включает в себя следующие этапы [26].

1. Для исследуемого объекта строится модель, обычно сначала физическая, фиксирующая разделение всех действующих в рассматриваемом явлении факторов на главные и второстепенные, которые на данном этапе исследования отбрасываются; одновременно формулируются допущения и условия применимости модели, границы, в которых будут справедливы полученные результаты; модель записывается в математических, терминах, как правило, в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений; создание ММ проводится специалистами, хорошо знающими данную область естествознания или техники, а также математиками, представляющими себе возможности решения математической задачи [37].

2. Разрабатывается метод решения сформулированной математической задачи. Эта задача представляется в виде совокупности алгебраических формул, по которым должны вестись вычисления и условия, показывающие последовательность применения этих формул; набор этих формул и условий носит название вычислительного алгоритма. Вычислительный эксперимент имеет многовариантный характер, так как решения поставленных задач часто зависят от многочисленных входных параметров. Тем не менее, каждый конкретный расчет в вычислительном эксперименте проводится при фиксированных значениях всех параметров. Между тем в результате такого эксперимента часто ставится задача определения оптимального набора параметров. Поэтому при создании оптимальной установки приходится проводить большое число расчетов однотипных вариантов задачи, отличающихся значением некоторых параметров. В связи с этим при организации вычислительного эксперимента можно использовать эффективные численные методы,

3. Разрабатываются алгоритм и программа решения задач на ЭВМ. Программирование решений определяется теперь не только искусством и опытом исполнителя, а перерастает в самостоятельную науку со своими принципиальными подходами.

4. Проведение расчетов на ЭВМ. Результат получается в виде некоторой цифровой информации, которую далее необходимо будет расшифровать. Точность информации определяется при вычислительном эксперименте достоверностью модели, положенной в основу эксперимента, правильностью алгоритмов и программ (проводятся предварительные «тестовые» испытания).

5. Обработка результатов расчетов, их анализ и выводы [35]. На этом этапе могут возникнуть необходимость уточнения ММ (усложнения или, наоборот, упрощения), предложения по созданию упрощенных инженерных способов решения и формул, дающих возможности получить необходимую информацию более простым способом.

Вычислительный эксперимент приобретает исключительное значение в тех случаях, когда натурные эксперименты и построение физической модели оказываются невозможными. Особенно ярко можно проиллюстрировать значение вычислительного эксперимента при исследовании влияния городской застройки на параметры распространения радиосигнала

Пригодность ММ для решения задач исследования характеризуется тем, в какой степени она обладает так называемыми целевыми свойствами, основными из которых являются адекватность, устойчивость и чувствительность.