Математика (курс практических занятий) 2 семестр

Приходовский М.А.

Математика (курс практических занятий) 2 семестр

Учебное пособие для специальности

Прикладная информатика в экономике

Группы 446-1, 446-2

Томск

ТУСУР

Электронное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения практических занятий на ФСУ в группах 446-1 и 446-2 весной 2017 года.

Во втором семестре, согласно рабочей программе, на специальности 09.03.03 в первой половине весеннего семестра изучаются следующие темы:

1. Интегральное исчисление.

2. Дифференциальные уравнения.

3. Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды, ряды Тейлора и Лорана. Ряды Фурье.

Может представлять методический интерес для преподавателей, работающих на аналогичных специальностях, в качестве материала для планирования занятий.

Содержание 3

Практика № 1 5

Практика № 2 12

Практика № 3 17

Практика № 4 23

Практика № 5 34

Практика № 6 42

Практика № 7 50

Практика № 8 53

Практика № 9 59

Номера практик по датам для групп 446-1, 446-2 согласно расписанию

Практика №	446-1	446-2
	14.02.17	14.02.17
	21.02.17	17.02.17
	21.02.17	21.02.17
	28.02.17	28.02.17
	07.03.17	03.03.17
	10.03.17	07.03.17
	14.03.17	14.03.17
	21.03.17	17.03.17
	24.03.17	21.03.17
	28.03.17	28.03.17
	04.04.17	31.03.17
	07.04.17	04.04.17
	11.04.17	11.04.17

Подведение под знак дифференциала.

Задача 12. Вычислить .

Решение. Замечаем, что присутствует множитель , который является производной от . А остальная часть функции как раз зависит только от . Поэтому можно подвести под знак дифференциала: =

Применяем замену : = .

Далее, = , и после обратной замены .

Ответ. .

Задача 13. Вычислить интеграл .

Решение. = = = = =

= = . Учитывая тот факт, что , знак модуля не нужен.

Ответ. .

Задача 14. Вычислить .

Решение. = = = = = .

Ответ. .

Для сведения, покажем, как выглядит график функции .

Зелёным цветом изображён график , синим .

Вертикальные асимптоты .

Задача 15. Вычислить интеграл .

Решение. = = = =

. Ответ. .

Домашнее задание.

1. Вычислить интеграл . Ответ. .

2. Вычислить интеграл . Ответ. .

3. Вычислить интеграл . Ответ. .

4. Вычислить интеграл . Ответ. .

ПРАКТИКА № 2

Задача 1. Вычислить .

Решение. = = = = = .

Ответ. .

Задача 2. Вычислить .

Решение. = = =

= = = .

Ответ. .

Задача 3. Вычислить .

Решение. = = = = = .

Ответ. .

Задача 4. Вычислить .

Решение. Если сразу подвести под знак дифференциала то, что есть в числителе, то будет , но тогда в знаменателе получится выражение . чтобы не происходило такого усложнения и не появились вложенные квадратные корни, надо подводить не весь числитель, а отделить тот множитель, который нам удобнее, чтобы потом всё выражалось через .

= = =

и теперь, после замены , получится .

Далее, сделаем преобразование, котрое позволит оставить только однотипные корни:

= = =

далее уже с помощью обычных действий со степенными функциями:

= .

После обратной замены получаем ответ, при этом также заодно обратно меняем дробные степени на корни.

Ответ. .

Задача 5. Вычислить .

Решение. = =

= = = =

= = .

Ответ. .

Задача 6. Вычислить .

Решение. Заметим, что в числителе производная того выражения, которое есть в знаменателе. Тогда = = = = .

Здесь фактически мы применили замену для упрощения выражения. Кстати, выделение полного квадрата в знаменателе это здесь был бы тупиковый путь, ведь в числителе не константа а многочлен, то есть не удалось бы свести к виду .

Ответ. .

Задача 7. Вычислить .

Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, в числителе уже произвольный многочлен, не соответствующий производной от знаменателя. Тем не менее, можно путём арифметических операций получить там дифференциал знаменателя:

Домножим и поделим на 2, чтобы исправился коэффициент при :

Теперь осталось прибавить и отнять 2, и будет получено :

= =

= .

В первом слагаемом делается ровно то же самое, что в прошлой задаче, а во втором - выделить полный квадрат, и в итоге сводится к арктангенсу:

Ответ. .

Задача 8. Вычислить .

Решение. Несмотря на то, что интеграл похож на , но, тем не менее, в числителе есть переменная , поэтому это не табличный интеграл, и ответ здесь вовсе не арксинус. Заметим, что в числителе 1-я степень, а под корнем в знаменателе 2-я. Домножим и поделим так, чтобы в числителе оказалось то выражение, которое под корнем в знаменателе.

= =

после замены переменной, это можно переписать так:

а значит, и после обратной замены:

Ответ. .

Задача 9. Вычислить .

Решение. = = = = .

Для того, чтобы применить формулу,

нужно обозначить . Но сначала сделаем так, чтобы и в числителе оказался не просто а :

= = .

Теперь интеграл имеет вид , и равен .

После обратной замены получаем ответ.

Ответ. .

Домашние задачи.

1. Ответ. . Указание. См. задачу № 3.

2. Ответ. .

Указание. См. задачу № 7.

3. . Ответ. . Указание. См. задачу № 9.

ПРАКТИКА № 3

Задача 1. Вычислить интеграл .

Решение.

= = .

Задача 2. Вычислить интеграл .

Решение. Так как степенная функция 2-й степени, то эта задача решается в 2 шага. На первом шаге, обозначаем , .

Тогда = .

На 2-м шаге, обозначим , .

В скобке происходит вычисление как бы для нового примера, выполним это вложенное действие:

= = .

Итак, ответ: .

Задача 3. Вычислить интеграл

Решение. Пусть , второго множителя нет, но мы формально можем считать, что он есть, только равен 1. Итак, .

Построим таблицу:

Тогда = =

= =

= .

Ответ: .

Задача 4. Вычислить интеграл

Производная арктангенса это рациональная дробь. И это мы используем, обозначая её при интегрировании по частям:

Тогда: = .

Второе слагаемое далее уже решается подведением под знак dx.

= =

. Знак модуля даже не нужен, т.к. .

Задача 5. Вычислить интеграл .

Решение. На этом примере вы увидите, что иногда полезно отступить от того, что мы, как правило, степенную функцию обозначали через u.

Дело в том, что если так сделать, то при переходе от dv к v возникает целая новая задача, связанная с поиском интеграла от арктангенса. Напротив, если , то его производная состоит только из степенных, то есть происходит значительное упрощение. Конечно же здесь придётся смириться с тем что усложняется, растёт его степень, т.е. перейдёт в , но зато арктангенс упрощается очень сильно. Итак, построим таблицу:

= = =

= =

= .

Задача 6. Вычислить интеграл

Решение. Пусть .

. На первом шаге, обозначаем , .

. = .

На 2-м шаге, в том интеграле, который получился, обозначим аналогичным образом: , .

Получается = = .

Из равенства можно выразить :

, .

Примечание. Интегралы вида и называются «циклические интегралы», потому что они решаются таким способом: через 2 цикла вычисления получается сведение к исходному интегралу.

Ответ. = .

Задача 7. Вычислить .

Решение. На первом шаге,

= . Теперь в скобках аналогичное выражение, применим к нему такие же преобразования.

Продолжим преобразования:

После двух действий, мы видим снова интеграл в конце строки.

Можно записать так, раскрыв скобки:

. А теперь можно просто выразить это арифметическим путём.

Итак, = .

Задача 8. Получить формулу вычисления интегралов вида .

Решение. Обозначим всю функцию через u и применим интегрирование по частям, и при этом формально считаем второй множитель равным 1. Для удобства, временно применим отрицательные степени вместо дробей.

= = =

Теперь можем разбить на две дроби, интеграл от первой сводится к , а второй к .

= , то есть

, откуда выразим через :

вывели «рекурсивную» формулу , с помощью которой интеграл такого типа для большей степени сводится к меньшей степени, а значит, все они последовательно сводятся к , который равен .

Задача 9. Вычислить интеграл .

Решение. Применим формулу, при этом n+1 = 2 (n=2 было бы неправильно, ведь в формуле та степень, которую выражаем, это n+1 а та, через которую, это n).

При этом n = 1. a = 1.

Формула приобретает такой вид: .

Ответ: = .

Домашнее задание.

1. Вычислить . (как в задаче 6).

2. Вычислить . (как в 7).

3. Вычислить или (по рекурсивной формуле).

Рациональные дроби.

ПРАКТИКА № 5.

Решение 1.

Обозначим как было в теории для случая .

Тогда

. Тогда = = .

Подставляем в интеграл. = = =

= . Первый это просто арктангенс, а второй раскрываем по рекурсивной формуле, это в точности как пример № 9 из позапрошлой практики (практ. № 3).

Напомним, формула для связи между номерами 2 и 1 была в таком виде: . и ответ там был такой:

= . Итак, = = , делаем обратную замену

= =

= .

Ответ. .

Решение 2 (с помощью тригонометрии, разобрать дома).

В интеграле обозначим , при этом . При этом, правда, второй корень усложняется:

= = .

Необходима 2-я замена, чтобы устранить корень .

У нас здесь . Вводим замену . Тогда .

Итак, = = .

Теперь уже просто по формуле понижения степени.

= = = =

= .

Обратные замены: сначала обращаем обратно вторую замену, которыу сделали последней: если то .

Далее, обращаем 1-ю замену: , тогда в итоге:

Ответ. .

Проверка. =

= = .

Замечание. Два ответа разными методами получились в разных, но на самом деле эквивалентных формах записи. Дело в том, что угол это то же самое, что . Рассмотрим прямоугольный треугольник:

Если синус равен , то при этом тангенс как раз и равен по теореме Пифагора.

ПРАКТИКА № 6.

ПРАКТИКА № 8.

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

и .

Решение. Рассмотрим чертёж, найдём точки пересечения графиков и увидим, какую часть плоскости они ограничивают.

График имеет максимум в точке 0 и проходит выше, чем , у которой, напротив, там минимум. Точки перечечения , . Все функции в интеграле чётные, фигура симметрична, можно вычислить площадь правой половины и удвоить: = = = = . Ответ. .

Задача 2. Найти площадь области, ограниченной линиями

Решение.

= = = = .

Чертёж:

Ответ. .

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Решение. Чертёж:

= = +

для раскрытия 1-го слагаемого, вспомним пример из лекйиц на интегрирование по частям, там делали именно этим методом.

Если , , , то:

+ = + =

+ = =

= .

Ответ. .

Задача 4. Найти объём, получающийся при вращении кривой , при условии что .

Решение. = = = = .

Ответ. .

Замечание. Эта задача может быть интерпретирована физическим примером: сколько воды может поместиться в эллиптический параболоид. Ведь если график корня повернуть на 90 градусов, это парабола.

Задача 5. С помощью основной формулы объёмов тел вращения, доказать формулу объёма конуса .