ПРАКТИКА № 7 (14 марта у обеих групп).

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Сегодня в первые 45 минут мы решим несколько задач, оставаясь в рамках темы «определённый интеграл» но при этом интегралы будут содержать такие функции, действия над которыми нужно повторить для контрольной работы.

Задача 1. Вычислить интеграл .

При этом осуществляется повторение темы «элементарные преобразования, подведение под знак дифференциала».

Решение. = = =

= =

= .

Ответ. .

Задача 2. Вычислить интеграл .

При этом осуществляется повторение темы «рациональные дроби».

Решение.Сначала представим дробь в виде суммы простейших.

. При приведении к общему знаменателю, числитель получится такой:

, что равно ,

система: решим её методом Гаусса.

Здесь от 2-й строки отняли удвоенную 1-ю и от 3-й 1-ю, а затем от 3-й строки 2-ю. Основная матрица системы стала треугольной, и С находится сразу же: . Тогда и тогда . Из 1-го уравнения тогда уже получается .

Значит, исходный интеграл распадается на сумму 3 интегралов: = =

= = .

Ответ. .

Задача 3. Вычислить интеграл .

При этом осуществляется повторение темы «интегрирование иррациональностей».

Решение. НОК(2, 4) = 4, поэтому замена . При такой замене , , . .

= = = = =

= . Ответ. .

Задача 4. Вычислить интеграл .

При этом осуществляется повторение темы «интегрирование тригонометрических функций».

Решение. Суммарная степень чётна, поэтому применяется замена

, тогда , , .

Пересчитаем границы. , .

Итак, подставим всё это в интеграл.

= = =

= = = = = .

Ответ. .

Контрольная работа: 45 минут

1. Подведение под знак дифференциала, преобразования.

2. Интегрирование по частям.

3. Интегрирование рациональных дробей.

4. Интегрирование иррациональностей и тригонометрических функций.

ПРАКТИКА № 8.

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

и .

Решение. Рассмотрим чертёж, найдём точки пересечения графиков и увидим, какую часть плоскости они ограничивают.

График имеет максимум в точке 0 и проходит выше, чем , у которой, напротив, там минимум. Точки перечечения , . Все функции в интеграле чётные, фигура симметрична, можно вычислить площадь правой половины и удвоить: = = = = . Ответ. .

Задача 2.Найти площадь области, ограниченной линиями

Решение.

= = = = .

Чертёж:

Ответ. .

Задача 3.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Решение.Чертёж:

= = +

для раскрытия 1-го слагаемого, вспомним пример из лекйиц на интегрирование по частям, там делали именно этим методом.

Если , , , то:

+ = + =

+ = =

= .

Ответ. .

Задача 4. Найти объём, получающийся при вращении кривой , при условии что .

Решение. = = = = .

Ответ. .

Замечание. Эта задача может быть интерпретирована физическим примером: сколько воды может поместиться в эллиптический параболоид. Ведь если график корня повернуть на 90 градусов, это парабола.

Задача 5. С помощью основной формулы объёмов тел вращения, доказать формулу объёма конуса .

Решение.Для удобства применения основной формулы, повернём конус на 90 градусов, так, чтобы высота лежала на оси .

На чертеже видно, что два катета имеют длины и . Тогда отрезок, вращением которого образована боковая поверхность конуса, находится на прямой .

= = = = = = .

Ответ: формула доказана.

Задача 6.Найти длину явно заданной кривой: .

Решение.Формула .

. Тогда =

= = =

= = .

Ответ. .

Задача 7.Найти длину 1 витка винтовой линии в пространстве

Решение.В данном случае кривая параметрически задана, в 3-мерном пространстве. Формула .

Производные: .

= =

Ответ. .

Замечание.Если была бы не винтовая линия, а окружность, а это было бы при параметре , то как раз бы и получалось длина окружности.

Задача 8.Найти длину дуги х = cos³(2t), y =sin³(2t),

Решение.Производные:

Для удобства вычислений, сразу вынесем за скобки произведение:

Тогда: ,

= = = = = 3.

Ответ. 3.

Замечание. Если бы не учли знак модуля и не разбили на 2 части, тогда получилось бы неверно, ведь эти части бы не складывались, а взаимно уничтожались:

Задача 9.Найти длину кривой, заданной в полярных координатах: , .

Решение.Формула: .

, .

= = = .

дальше будем делать замену , но чтобы она задавалась монотонной функцией и не возникло противоречие в том, что пределы интегрирования и 0 в ответе, заранее разбиваем на 2 части и удваиваем интеграл.