Рациональные дроби. Случай 2. Если есть кратные корни.

Задача 5. Вычислить интеграл .

Решение. Как видим, здесь корень 1 имеет кратность 2. Разложение на простейшие дроби нельзя проводить так, как будто бы здесь три независимых множителя , , , т.е. , иначе получится противоречие, ведь общий знаменатель будет содержать всего лишь 1-ю степень но никак не вторую. Надо степени знаменателя учитывать по возрастающей, до кратности корня, а именно, так: .

Приведём к общему знаменателю:

Числитель этой дроби равен числителю исходной, той, которая была в интеграле:

, система:

. Построим расширенную матрицу и решим систему уравнений:

Система приведена к виду:

Тогда , , . И теперь интеграл распадается на сумму трёх интегралов: .

В 1 и 3 слагаемых - как раньше, а вот во 2-м логарифм в ответе не получится, ведь тут уже 2-я а не 1-я степень в знаменателе.

Полезно вспомнить, что .

То есть, интеграл от -2 степени будет содержать -1 степень, и меняется знак.

Ответ. .

Задача 6. Вычислить интеграл .

Решение. = = .

Здесь корень 0 имеет кратность 2, остальные корни простые.

= .

После приведения к общему знаменателю, числитель будет такой:

После приведения подобных:

, это надо приравнять к

. Получится систему с 4 неизвестными:

Поскольку A, B определяются сразу же, , ,

то матрицу 4 порядка для метода Гаусса строить не надо, а останется только маленькая система на C, D.

тогда , .

, то есть, как видим, некоторые слагаемые в некоторых примерах могут и пропадать, однако те, где степень самая высокая, равная кратности - не могут, так, здесь не могло бы быть , иначе возникло бы противоречие при приведении к общему знаменателю.

= .

Ответ.

Задача 7. Вычислить интеграл .

Решение. Сначала запишем знаменатель подробнее, с учётом корней: = .

Это тот случай, когда оба корня кратные, кратности 2.

Разложение на простейшие дроби будет иметь такой вид:

После приведения к общему знаменателю, в числителе будет такое выражение:

здесь при А и С можно один множитель отделить от 2-й степени, с тем чтобы образовать выражение типа тогда привести подобные легче.

= .

перегруппируем слагаемые, чтобы вынести каждую степень отдельно:

Этот многочлен равен , таким образом, получается система уравнений:

Построим расширенную матрицу и применим метод Гаусса:

Сначала обнулим всё ниже чем , затем ниже .

Ниже можно уже и не обнулять, ведь идея метода Гаусса состоит в том, чтобы количество неизвестных снижалось, вплоть до одной в последнем уравнении, а здесь уже так и есть, в последнем уравнении всего один элемент. Сначала выразим , затем через неё и так далее. Система может быть представлена в виде:

, , , .

Тогда в интеграле функция распадается на сумму 4 слагаемых:

из всех вынесли общий коэффициент , и перед третьим слагаемым поставили знак минус. Получается:

= .

Ответ. .

Рациональные дроби. Случай 3. Если есть комплексные корни.

В следующих задачах в знаменателе будут неразложимые множители 2-й степени с отрицательным дискриминантом.

Задача 8. Вычислить интеграл .

Решение. Запишем разложение на простейшие дроби: .

Это равно .

Тогда .

, итого , , .

Тогда .

Во втором слагаемом, можно подвести под знак дифференциала:

= = .

Ответ. .

Задача 9. Вычислить интеграл .

Решение. Применим формулу суммы кубов

= .

Знаменатель дальше разложить невозможно, ведь во второй скобке отрицательный дискриминант. Теперь извлечём дробь и разложим на простейшие.

= . Тогда

(приравняли числители этой дроби и той исходной, что была в интеграле).

Тогда .

Система уравнений:

, решая её методом Гаусса, получаем:

на последнем этапе, от 3 строки отняли 2-ю. Получили систему:

, здесь , , .

Тогда надо рассматривать такую сумму интегралов:

= =

Разбили дробь так, чтобы в одной части подвести под знак дифференциала, а во второй в числителе 1, там можно выделить полный квадрат и свести к арктангенсу.

Модуль во втором логарифме не нужен, так как там у выражения отрицательный дискриминант, т.е. нет корней, оно положительно.