Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Контрольные работы по математикеСтр 1 из 4Следующая ⇒
Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Волгодонский инженерно-технический институт – филиал НИЯУ МИФИ
Контрольные работы по математике для студентов-заочников 1 курса и методические указания к их выполнению
Волгодонск
УДК 51 (076.5) ББК 22.1 К 65
Рецензент: д.т.н., проф. А.В. Чернов
Составители: Сысоев Ю.С., Замыслова А.И., Алексеева М.А., Лисичкина О.М., Столяр Л.Н., Чабанова Н.И.
Контрольные работы по математике для студентов-заочников 1 курса и методические указания к их выполнению. / сост. Ю.С. Сысоев [и др.]; ВИТИ НИЯУ МИФИ. – Волгодонск, 2016. – 66 с. Данное пособие предназначено для студентов-заочников, выполняющих контрольные работы по курсу «Математика». Сборник охватывает все темы, предусмотренные соответствующими ФГОС.
© ВИТИ НИЯУ МИФИ, 2016 © Коллектив авторов, 2016 ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Сборник содержит две контрольных работы для студентов-заочников 1 курса всех направлений, по которым ведется обучение в Волгодонском инженерно-техническом институте — филиале НИЯУ МИФИ. Эти контрольные работы охватывают все разделы, представленные в федеральных государственных образовательных стандартах, и составлены в соответствии с унифицированными планами и соответствующими рабочими программами подготовки бакалавров всех направлений филиала. Предусмотрен следующий порядок выполнения контрольных работ:
Выбор варианта производится по последней цифре номера зачетной книжки.
Контрольная работа № 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Предел и производная функции одной переменной. Задание 1. Дана система линейных уравнений
Решить двумя способами: 1) методом Крамера; 2) методом матричного исчисления.
Задание 2. Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) объем пирамиды ; 5) уравнение прямой ; 6) уравнение плоскости ;
Задание 3. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Т.2.-M.: Наука, 1985.- 560с. 2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1976.- 200с. 3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Т.1.-M.: Наука, 1985.- 456с. 4. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов - СПб.: Изд-во “Лань”, 2003. – 736c. Контрольная работа № 2. Приложение производной. Интегралы. Задание 1. Вычислить пределы по правилу Лопиталя.
1. a) , б) . 2. a) , б) . 3. a) , б) . 4. a) , б) . 5. a) , б) . 6. a) , б) . 7. a) , б) . 8. a) , б) . 9. a) , б) . 10. a) , б) .
Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Задание 3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы.
Задание 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах. Сделать чертеж.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Т.1.-M.: Наука, 1985.- 456с. 2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов - СПб.: Изд-во “Лань”, 2003. – 736c. Методические указания к выполнению контрольной работы №1 Матрицы и их приложения Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел , имеющая строк (одинаковой длины) и (одинаковой длины) столбцов. Элементы матрицы снабжаются двумя индексами, первый из которых обозначает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент . Если матрица имеет строк и столбцов, то матрицу называют квадратной.
Матрицы одинакового размера можно складывать. При этом суммой матриц и называют матрицу , для которой . Например, . Произведением матрицы на число называют матрицу , каждый элемент которой . Например, .
Задача. Даны матрицы и : ; . Найти матрицы: a) , б) . Решение. а) ; ; ; б) ; ; ; Произведением матрицы размером на матрицу размером называют матрицу C размером , каждый элемент которой , где ; . То есть элемент – ой строки и – го столбца матрицы произведения равен сумме произведений элементов – ой строки матрицы на соответствующие элементы – го столбца матрицы . Если определено произведение , то это не значит, что определено произведение . Это произведение может не иметь смысла. Если выполняется , то матрицы называются перестановочными, или коммутирующими. Отметим сразу же, что обычно . Задача. Даны матрицы и : ; . Найти матрицу . Решение. . . Обратные матрицы Квадратная матрица называется обратимой, если существует матрица такая, что . Эту матрицу называют обратной к матрице и обозначают . Каждой квадратной матрице соответствует определитель . Оказывается, что если , то . Так как , то . Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является условие . Алгебраическим дополнением элемента называется произведение числа на определитель, получающийся при вычеркиванием -ой строки и -го столбца. Например, определитель имеет следующие алгебраические дополнения: ; ; ; . Если определитель матрицы отличен от нуля , то обратную матрицу строят следующим образом: 1) находят все алгебраические дополнения; 2) составляют матрицу алгебраических дополнений ; 3) транспонируют матрицу B и умножают на число . Полученная матрица и будет обратной матрицей.
Задача. Решить матричным способом систему уравнений Решение. Положим, что ; ; . Тогда матричная запись рассматриваемой системы уравнений будет иметь вид . (10) Найдем определитель матрицы : . Так как , то существует обратная матрица . Умножая слева на матрицу равенство (10), получим, что или . Найдем обратную матрицу : ; ; ; ; ; ; ; ; . Обратная матрица . Но тогда . Ответ:
Элементы векторной алгебры Умножение векторов Умножение вектора на вектор бывает двух типов: скалярное и векторное. В результате скалярного умножения двух векторов получаем число (скаляр). В результате векторного произведения двух векторов получаем вектор. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где . Свойства скалярного произведения во многом сходны со свойствами произведения действительных чисел. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который: 1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и : ; 2) перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма; 3) направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от к рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов , и называется правой тройкой векторов). Отличительная особенность векторного произведения состоит в том, что для него переместительное свойство (коммутативность) не имеет места. От перестановки векторов – сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный: . Три вектора могут быть перемножены несколькими способами. Чаще всего рассматривают смешанное произведение двух векторов векторно и на третий скалярно.В результате получают число. Смешанное произведение трех векторов , и , которое обозначается или , есть скаляр, абсолютная величина которого равна обьему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах. Пусть заданы два вектора и . Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов: . Угол между векторами вычисляется по формуле , или в координатной форме . Условием перпендикулярности ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения: . Векторное произведение ненулевых векторов выражается через координаты данных векторов и следующим образом: . Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е. ½ ½ . Скаляр , представляющий смешанное произведение трех векторов, равняется определителю третьего порядка, составленному из координат этих трех векторов: . Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: .
Задача. Определить внутренние углы c вершинами . Решение. Найдем . Для этого надо найти векторы и . Зная векторы и , из формулы (2) получим
Легко видеть, что . Тогда . Отсюда . Аналогично, находя предварительно, что , получим . Отсюда и .
Задача. Вычислить площадь треугольника с вершинами . Решение. Найдем вначале площадь параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах. По определению векторного произведения . Но . Тогда . Следовательно, .
Задача. Вычислить объем пирамиды с вершинами . Решение. Найдем координаты векторов . Очевидно, что . Тогда . Но .. Следовательно, .
Уравнения плоскости
Общее уравнение плоскости имеет вид (8) Вектор - перпендикулярен к плоскости, задаваемой уравнением (8). Вектор называется вектором нормали к плоскости или ее нормальным вектором. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид . (9) Условие параллельности плоскостей и является одновременно и условием коллинеарности векторов и и записывается в виде: . Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид . Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки , имеет вид .
Пределы и непрерывность Отметим некоторые теоремы о пределах, которые часто применяются для решения задач. Если существуют конечные пределы и , то 1) ; 2) ; 3) ( если ). Отметим еще два замечательных предела и следствия из них: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
Задача. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя: а) ;
б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) . ж) .
Решение. а) Если , то для нахождения предела частного двух многочленов достаточно разделить и числитель, и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на , где - степень многочлена, стоящего в знаменателе: . б) Умножим числитель и знаменатель дроби на , избавившись тем самым от иррациональности в знаменателе. Итак, |
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 1045; Нарушение авторского права страницы