![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Пределы и непрерывность Отметим некоторые теоремы о пределах, которые часто применяются для решения задач. Если существуют конечные пределы 1) 2) 3) Отметим еще два замечательных предела и следствия из них: 1) 2) 3)
Задача. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя: а)
б)
в) г)
д) е)
Решение. а) Если б) Умножим числитель и знаменатель дроби на
в) Для решения этой задачи воспользуемся первым замечательным пределом: (Так как г) Для решения данной задачи воспользуемся вторым замечательным пределом:
Последнее равенство вытекает из того, что в квадратной скобке стоит
Решения задач е, ж аналогичны решению задачи а. Например, задача ж имеет следующее решение:
Производная функции Производная функция
Таблица производных выглядит следующим образом: 1. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Основные правила дифференцирования 1. Задача. Найти производные следующих функций: а) Решение. а) Преобразуем выражение в скобках, переходя к дробным и отрицательным показателям. Получим
Используя правило дифференцирования произведения и суммы находим = б) Проведем предварительное преобразование функции:
Используя правила дифференцирования произведения, суммы и частного, получим
=
Дифференцирование сложной функции Если функция
где индекс внизу показывает, по какой переменной берется производная.
Задача. Найти производные следующих функций:
а) б) в) Решение. а) Функцию Тогда
б) Функцию
Производную сложной функции находим по формуле Аналогично решается задача в:
= г) Предварительно упростив выражение, определяющее функцию, до вида
находим производную:
Методические указания к выполнению Контрольной работы № 2 Приложение производной функции одной переменной Теорема Лопиталя. Пусть функции
Таким образом, для нахождения предела Такое же правило применяется при Замечание. Если производные числителя и знаменателя в свою очередь стремятся к нулю или
Пример. Вычислить Решение.
Пример. Вычислить Решение.
Если функция
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Решение. Определяем критические, или стационарные, точки функции
Рассматриваем только те стационарные точки, которые принадлежат отрезку Вычисляем значения функции на концах промежутка и в точке 1) 2) 3) Ясно, что наибольшее значение функции будет равно
Общее исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме: 1) Найти область определения функции. 2) Найти точки пересечения с осями координат. 3) Выяснить, не является ли функция четной или нечетной, периодической или непериодической. 4) Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить интервалы монотонности функции. 5) Найти точки перегиба графика функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. 6) Найти асимптоты графика функции. 7) Используя результаты исследований, построить график функции.
Пример. Исследовать функцию Решение. 1) Функция определена и непрерывна на всей оси. Итак,
2) Найдем точки пересечения с осями координат. а) с осью ОХ: Следовательно, точки пересечения с осью ОХ - б) с осью ОY: Следовательно, точка пересечения с осью ОY -
3) Функция четная, так как Функция непериодическая.
4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции. Имеем
5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную:
Исследуем знак второй производной на промежутках
6) Вертикальных асимптот нет, поскольку область определения функции – вся числовая ось. Найдем наклонную асимптоту
Следовательно, наклонных асимптот нет.
7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.1).
Рис. 1
Пример. Исследовать функцию Решение. 1) Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки
2) Найдем точки пересечения с осями координат. а) с осью ОХ: Следовательно, точка пересечения с осью ОХ - б) с осью ОY: Следовательно, точка пересечения с осью ОY -
3) Функция общего вида, так как Функция непериодическая.
4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции. Имеем Следовательно, точка
5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную:
Находим точки, в которых
6) Найдем вертикальные асимптоты: Исследуем поведение функции в окрестности точки
Пределы не конечны, следовательно, вертикальная асимптота имеет вид: Найдем наклонную асимптоту
Следовательно, наклонная асимптота:
7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.2).
Рис. 2
Неопределенный интеграл
Функция Согласно вышеприведенному:
где Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами: 1) 2) 3) 4) 5) Таблица основных неопределенных интегралов:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 443; Нарушение авторского права страницы