Заряд конденсатора через активное сопротивление (резистор)

Электрическая цепь зарядки конденсатора показана на рисунке 1.

 

R

C

UC

UR

K

I

I

 

Рис. 1

 

Конденсатор емкостью C и последовательно соединенный с ним резистор сопротивлением R подключены с помощью ключа K к источнику постоянного напряжения с ЭДС, равной . Внутренним сопротивлением источника тока будем пренебрегать.

Пусть в момент времени конденсатор не заряжен и напряжение между его обкладками равно нулю. Переведем ключ K в положение 1. С этого момента конденсатор начинает заряжаться от источника.

Направление тока, протекающего по цепи при зарядке конденсатора, показано на рисунке 1 пунктирной линией. За направление электрического тока принимается направление движения положительных зарядов. Поэтому верхняя пластина конденсатора приобретает положительный заряд, а нижняя пластина приобретает отрицательный заряд.

Известно, что любая заряженная система обладает энергией. Тогда энергия заряженного конденсатора определяется формулой:

(1)

Здесь - заряд конденсатора электроемкостью , - напряжение на обкладках конденсатора.

Конденсатор приобретает энергию за счет работы, совершаемой источником тока при заряде конденсатора. Работа источника тока, совершаемая за время , определяется формулой:

(2),

где - ЭДС источника тока, а - сила тока в цепи.

За время конденсатор приобретает энергию . Кроме того, некоторая энергия выделяется в виде тепла на резисторе R. Это количество теплоты можно определить по закону Джоуля – Ленца:

(3)

Применяя закон сохранения энергии, можно записать:

(4)

Формула (4) показывает, что работа, совершенная источником тока за время идет на увеличение энергии конденсатора и на энергию, выделяющуюся в виде тепла на сопротивлении R.

Из формулы (1) найдем изменение энергии конденсатора за время :

(5)

Подставляем формулы (2), (3) и (5) в формулу (4), получаем:

(6)

Для того чтобы преобразовать формулу (6), используем понятие электрического тока и формулой заряда конденсатора, тогда получим:

(7)

Подставляем формулу (7) в формулу (6) и получаем:

После сокращения подобных членов формула (8) будет иметь вид:

(8)

Выражение (8) представляет собой второе правило Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС источников, входящих в состав этого контура. В рассматриваемом случае замкнутым контуром является изучаемая замкнутая цепь. В изложенных выше преобразованиях второе правило Кирхгофа получено при рассмотрении энергетических превращений в изучаемой цепи.

Для того чтобы определить зависимость напряжения на конденсаторе от времени при заряде конденсатора, на основе формулы (8) получим дифференциальное уравнение, подставив в формулу (8) формулу (7):

(9)

При решении этого уравнения надо получить зависимость напряжения на конденсаторе от времени. Решение этого уравнения возможно методом разделения переменных. Чтобы воспользоваться этим методом, преобразуем формулу (9) и запишем в виде:

(10)

Так как ЭДС источника тока величина постоянная, то можно ввести новую переменную:

(11)

Теперь продифференцируем эту величину и получим:

(12)

Подставляем формулы (11) и (12) в формулу (10) и получаем:

(13)

Это выражение можно преобразовать и получить:

(14)

Формулы (13) и (14) позволяют провести разделение переменных:

(15)

В формуле (15) в правой части находятся члены, содержащие одну переменную , а в левой части находятся члены, содержащие только переменную . В таком случае можно проинтегрировать выражение (15):

(16)

Здесь - постоянная интегрирования.

Из формулы (16) определяем зависимости и :

(17)

(18)

В формулах (17) и (18) величина - новая постоянная величина, значение которой можно найти из начальных условий. В момент времени ключ переключается в положение 1, и в этот момент времени напряжение на конденсаторе равно нулю: . Подставляем это условие в формулу (18) и получаем значение постоянной величины :

Подставляем значение постоянной в формулу (18) и получаем зависимость напряжения конденсатора от времени при заряде конденсатора:

(19)

Теперь можно определить зависимость от времени заряда на пластинах конденсатора:

(20)

Здесь - заряд конденсатора после окончания его зарядки при условии, что .

По формуле (7) можно определить зависимость силы тока, протекающего в цепи (ток зарядки конденсатора) от времени:

(21)

Здесь - сила тока заряда конденсатора в начальный момент времени при . Отсюда следует, что

Напряжение на резисторе в процессе заряда конденсатора можно определить по формуле:

(22).

Зная свойства экспоненциальных функций, можно построить графики зависимости от времени напряжения (19) на конденсаторе (Рис. 2), заряда (20) на конденсаторе (Рис. 3), силы тока (21) в цепи (Рис. 4) и напряжение (22) на сопротивлении (Рис. 5). Вид этих графиков представлен на рисунке 2 - 5.

 

t

UC

Рис. 2

 

t

q

C

Рис. 3

t

I

Рис. 4

 

t

UR

Рис. 5

 

Разряд конденсатора

 

Пусть к некоторому моменту времени конденсатор зарядился до напряжения и в этот момент ключ К (Рис.1) размыкается и ставится в среднее незамкнутое положение. Теперь принимая это напряжение за начальное напряжение конденсатора С, поставим ключ К в положение 2 (Рис.6) и рассмотрим работу цепи при разряде конденсатора.

В момент установки ключа в положение 2 обкладки конденсатора С соединяются между собой через сопротивление R, в результате чего начинается разряд конденсатора через это сопротивление. Направление электрического тока, протекающего по цепи при разряде конденсатора, показано на рисунке 6. Напомним, что за направление тока принято направление движения положительных зарядов. Таким образом, положительные заряды с положительно заряженной обкладки конденсатора через ключ К и резистор сопротивлением R перетекают на отрицательно заряженную обкладку, и конденсатор разряжается.

R

C

UC

UR

K

I

I

Рис. 6

 

Найдем зависимость напряжения на конденсаторе от времени при разряде конденсатора. Цепь, по которой происходит разряд конденсатора, не содержит источника тока, поэтому, применяя второе правило Кирхгофа, можно записать выражение:

(23)

Здесь - напряжение на резисторе , а - сила тока.

Учитывая, что , получаем . Подставляя полученное выражение в формулу (23), получаем дифференциальное уравнение:

(24)

По внешнему виду это уравнение совпадает с уравнением (14), решение которого уже было найдено. Воспользовавшись результатами этого решения, с учетом того, что напряжение на конденсаторе в начальный момент времени при разряде равно , находим постоянную интегрирования и получаем решение уравнения (24):

(25)

Тогда заряд на конденсаторе при разряде конденсатора изменяется по закону:

(26)

Здесь - заряд конденсатора в начальный момент времени.

Теперь можно найти зависимость силы тока при разряде конденсатора от времени:

(27)

Здесь величина тока в начальный момент времени . Знак «минус» в формуле (27) указывает на то, что направление разрядного тока противоположно направлению зарядного тока. Сравнивая формулы (21) и (27), можно сказать, что токи изменяются по одному и тому же закону, но имеют противоположные направления.

Напряжение на резисторе при разряде конденсатора можно найти по формуле:

(28)

Знак «минус» в формуле (28) показывает, что полярность напряжения на резисторе при разряде конденсатора противоположна полярности напряжения на резисторе при заряде конденсатора.

Графики зависимости от времени , , и представлены на рисунках 7 – 10.

UC

U0

t

Рис. 7

 

q

q0

t

Рис. 8

 

 

I

-I0

t

Рис. 9

 

UR

-U0

t

Рис. 10

 

⇐ Предыдущая12131415161718192021Следующая ⇒

Поделиться: