Приведение пространственной системы сил к заданному центру. Условия равновесия

1.5.1. Лемма о параллельном переносе силы. Пусть в точке А абсолютно твердого тела приложена сила (см. рис. 12).

Сохраняя состояния тела неизменным, найдем условие, при котором возможен перенос силы в другую точку В, не лежащую на линии действия силы .

Для этого дополнительно приложим в точке В систему из двух равных и противоположно направленных сил , модули которых будут равны модулю силы , а линия действия будет параллельна линии действия силы .

 

Очевидно, что от приложения уравновешенной системы сил состояние абсолютно твердого тела не изменяется (см. рис. 13.а)

 

Силы и образуют пару сил и могут быть заменены моментом пары, направленным по нормали к плоскости, в которой пара расположена. Так как момент пары - свободный вектор, его можно приложить в любой точке, например в точке В. В этой же точке приложена сила , равная по модулю и совпадающая по направлению с силой (см. рис. 13.б).

 

Заметим, что момент пары сил и совпадает с моментом силы относительно точки В; при этом первый является свободным вектором, а второй – связанным.

Эквивалентные системы сил, изображенные на рис. 12 и рис. 13.б, иллюстрируют лемму: состояние абсолютно твердого тела не изменится при параллельном переносе силы, если дополнительно приложить момент пары сил, равный моменту силы относительно новой точки ее приложения.

 

1.5.2. Приведение пространственной системы сил к заданному центру. Главный вектор и главный момент системы сил. Пусть задана пространственная система сил , приложенных к абсолютно твердому телу (рис. 14).

 

Примем за центр приведения некоторую точку тела О. Согласно следствию из первых двух аксиом, перенос любой из сил вдоль ее линии действия не изменяет состояния тела. При параллельном переносе каждой из сил в точку О, в соответствии с леммой, будет дополнительно возникать момент пары сил, равный моменту переносимой силы относительно точки О.

Таким образом, в центре приведения (точка О) образуются две системы сходящихся векторов – система из перенесенных сил и система моментов пар (см. рис.15.а).

 

 

Равнодействующая системы сходящихся сил называется главным вектором пространственной системы сил, а результат сложения моментов пар – главным моментом пространственной системы сил (рис.15.б). Поскольку момент пары может быть вычислен как момент силы относительно центра приведения, главный момент может быть вычислен как геометрическая сумма соответствующих моментов.

 

 

Системы сил, изображенные на рис.14 и рис.15.б эквивалентны. В общем случае главный вектор пространственной системы сил не может быть назван ее равнодействующей, так как образует систему сил, эквивалентную заданной, только вместе с главным моментом.

Очевидно, что выбор за центр приведения иной точки не вызывает изменения модуля и направления главного вектора пространственной системы сил (иными словами величина и направление главного вектора инвариантны, т.е. не зависят, от выбора центра приведения). Это утверждение называется первым инвариантом статики. В то же время изменение положения центра приведения изменяет моменты переносимых сил, что приводит, как правило, к изменению главного момента рассматриваемой системы сил.

 

ПРИМЕР 3. На вершины прямоугольного параллелепипеда со сторонами и действуют силы и (см. рис.16).

Приняв за центр приведения системы сил начало координат указанной на рисунке декартовой координатной системы, записать выражения для проекций главного вектора и главного момента.

 

 

Для получения проекций сил на оси декартовой системы введем углы и запишем тригонометрические соотношения для их определения:

 

.

 

Решение задачи может быть выполнено одним из двух способов.

В первом способе составляется таблица, в строках которой для каждой точки приложения силы в столбцах записываются ее координаты, проекции приложенной силы и проекции момента (последние вычисляются по формуле (5.в). Суммы слагаемых в последних шести столбцах есть проекции главного вектора и главного момента системы сил на соответствующие оси.

 

Точка	Сила
№	X	Y	Z
	b		c
	b	a	c
	b	a

Точка	Момент
№	X	Y	Z
	b		c
	b	a	c
	b	a

 

Второй способ решения базируется на рассмотрении проекций пространственной силовой схемы на координатные плоскости; при этом решение пространственной задачи сводится к рассмотрению трех плоских. Такой подход близок инженеру, так как умение читать и исполнять чертежи является одним из основных элементов его деятельности.

Ниже, на рисунках 17.а, б, в изображены виды с осей абсцисс (проекция на плоскость yz), ординат (проекция на плоскость xz) и аппликат (проекция на плоскость xy); рядом записаны соответствующие уравнения равновесия.

Вид с оси «х»:

 

Вид с оси «y»:

 

Вид с оси «z»:

 

.

 

Знание проекций вектора на координатные оси позволяет вычислить его величину и направляющие косинусы. Например, выражения для вычисления величины главного вектора действующих сил и направляющего косинуса с осью будут

.

 

1.5.3. Условия равновесия произвольной системы сил. Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор и главный момент равны нулю, т.е.

(10)

- система сил уравновешена. Под действием такой системы сил твердое тело будет находиться в равновесии.

Очевидно, что в общем случае двум векторным уравнениям (10) соответствуют шесть скалярных уравнений, отражающих равенство нулю проекций этих векторов на оси выбранной координатной системы (например, декартовой). Если уравновешенная система сил расположена в плоскости (например, в плоскости xy), то должны быть равны нулю проекции главного вектора системы сил на оси x и y, и проекция главного момента на ось z (это уравнение соответствует моменту сил относительно какой-либо точки на плоскости xy). Заметим, что три независимых уравнения равновесия для плоской системы сил могут состоять, так же, из двух уравнений моментов и одного уравнения для проекций сил на выбранную ось, либо из трех уравнений моментов (при условии, что выбранные точки не лежат на одной прямой).

 

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какое количество независимых уравнений равновесия (в аналитическом виде) можно записать для системы сходящихся сил, действующих на твердое тело, если все они расположены в одной плоскости?

2. Сформулируйте теорему о трех силах, действующих на твердое тело при его равновесии.

3. Какие аксиомы статики были использованы при нахождении равнодействующей системы сходящихся сил?

4. Как должны были бы располагаться лебедь, рак и щука в басне А.Н.Крылова, при условии, что воз оказался в покое на гладкой горизонтальной поверхности?

5. В каком случае сила не создает момент относительно точки?

6. В каких случаях сила не создает момент относительно оси?

7. Найдите величину момента силы относительно начала координат, если координаты точки и проекции силы известны.

8. Найдите величину момента силы относительно точки О, если величина силы и расстояние ОА, а так же углы и с горизонтом известны.

 

9. Сформулируйте теорему Вариньона.

10. Как вычислить величину момента пары сил, если проекции сил, ее образующих, и координаты точек их приложения известны?

11. Какие из шести проекций необходимы для вычисления момента относительно начала координат силы , приложенной в точке ?

12. Сформулируйте лемму о параллельном переносе силы, приложенной к твердому телу.

13. Запишите формулу для вычисления главного вектора системы сил, приложенных к твердому телу, если проекции сил на выбранные координатные оси известны?

14. Запишите формулу для вычисления главного момента системы сил, приложенных к твердому телу, если проекции сил на выбранные координатные оси и координаты точек их приложения сил известны?

15. Для системы из двух сил, изображенной ниже, записать выражения для проекций на ось главного вектора и главного момента.

16. Сформулируйте первый инвариант статики.

 

 

Лекция 2.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: