Трение нити о цилиндрическую поверхность. Формула Эйлера

Рассмотрим равновесие нити, прилегающей к неподвижному шероховатому цилиндру на дуге с углом (см. рис. 37 ).

Пусть к одному из концов нити приложена сила Р. Какую наименьшую силу Q надо приложить к другому концу нити, что бы она оставалась в покое?

Выделим элемент нити длиной , обозначим действующие на него силы (см. рис. 37).

Запишем проекции на касательную и нормаль уравнения равновесия сил, действующих на элемент:

 

Здесь T и (T+dT) - силы натяжения нити на правом и левом концах элемента, соответственно,

dN - сила нормального давления, приложенная со стороны цилиндра к элементу нити,

- сила трения элемента нити о поверхность цилиндра.

Отбросив величины высших порядков малости и учитывая малость угла (в этом случае ), решим систему уравнений относительно dT:

Разделив переменные и взяв определенные интегралы от левой и правой частей, получим:

 

(20)

Выражение (20) называется формулой Эйлера.

Заметим, что величина наименьшей удерживающей силы Q не зависит от радиуса цилиндра.

Как и в задаче о покое груза на наклонной плоскости в рассматриваемой задаче можно определить наибольшее значение силы, при котором нить на цилиндрической поверхности остается в покое (для этого следует изменить направление силы трения на противоположное). Выполнив действия, аналогичные приведенным выше, получим

 

(21)

 

Тогда нить, прилегающая к шероховатой цилиндрической поверхности при действии на ее конец силы , будет покоиться при любом значении .

ПРИМЕР 11. В сказке о храбром портняжке имеется эпизод, в котором он доказывает великану свое превосходство в силе. Для этого портняжка обматывает могучий дуб прочным канатом, за один конец которого берется сам, а великану предлагает тянуть за другой конец каната. В описанных условиях великан как не старался, не мог перетянуть храброго (и, конечно, сообразительного! ) портняжку. Рассчитайте угол охвата дерева канатом при условии, что сила натяжения каната портняжкой в 100 раз меньше силы, прикладываемой великаном.

РЕШЕНИЕ. Из формулы (20-9.3) получим выражение для угла :

.

Тогда, при и =0.5 для пенькового каната и дерева, получаем , что составляет полтора оборота.

Заметим, что при этом дуб не должен быть вырван силой тяги великана.

 

Трение качения

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рассмотрим круглый цилиндр радиуса R и веса P, лежащий на горизонтальной и шероховатой поверхности. Приложим к оси цилиндра горизонтальную силу T, не достаточную для начала скольжения цилиндра по поверхности ( ). Реакция от взаимодействия цилиндра с поверхностью должна быть приложена в точке их соприкосновения А; ее составляющие - сила нормального давления и сила трения (см. рис. 38).

 

 

 

При такой силовой схеме цилиндр должен катится при любой, сколь угодно малой, силе Т, что противоречит нашему опыту. Отмеченное противоречие возникло вследствие использования моделей в виде абсолютно твердых тел, соприкасающихся между собой в одной точке. Фактически из-за деформации соприкосновение происходит вдоль некоторой площадки, смещенной в сторону качения.

Учтем это обстоятельство, перенеся в ту же сторону на некоторое расстояние k точку приложения реакции поверхности (точка В на рис. 39.а).

 

 

Проведенные эксперименты показывают, что с ростом величины силы Т величина k возрастает до некоторого предельного значения, называемого коэффициентом трения качения, после чего качение начинается. Ниже приведены значения этого коэффициента (в сантиметрах) для некоторых материалов:

 

Дерево по дереву 0, 05 – 0, 08

Сталь мягкая по стали

(колесо по рельсу) 0, 005

Сталь закаленная по стали

(шариковый подшипник) 0, 001

 

Иногда удобно осуществить учет трения качения добавлением момента пары сил, называемого моментом трения качения и равным, соответственно

(22)

 

 

 

Очевидно, что силовые схемы, изображенные на рисунках 39.а и 39.б эквивалентны.

Сравнение силовых схем рисунков 38 и 39.б показывает, что учет дополнительного фактора (деформация взаимодействующих при качении поверхностей) осуществлен нами добавлением момента трения качения к используемой ранее модели взаимодействия абсолютно твердых тел.

 

ПРИМЕР 12. На горизонтальной плоскости лежит каток радиуса R=5 cм и веса Р. Коэффициент трения скольжения катка о плоскость = 0.2, коэффициент трения качения к = 0.005 cм. Определить наименьшую горизонтальную силу Т, перпендикулярную оси катка, при которой каток начинает движение.

На рисунке изображен каток и схема действующих на него сил. Запишем уравнения равновесия:

 

 

 

 

 

Дополнив систему выражением для предельного момента трения качения ,

найдем значение

Дополнив систему выражением для предельной силы трения ,

найдем значение

Вывод: При значениях каток покоится,

При значениях каток катится без скольжения,

При значениях каток катится со скольжением.

Так как , качение начинается при существенно меньшей горизонтальной силе. Именно это обстоятельство обуславливает замену подшипников скольжения на подшипники качения в ситуациях, когда такая замена технически осуществима.

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какова размерность коэффициента трения скольжения?

2. Какова размерность коэффициента трения качения?

3. Можно ли использовать формулу (19), если сила трения не достигла предельного значения? Как в этом случае определить величину силы трения?

4. Определить минимальную ситу натяжения нити, необходимую для начала движения вверх бруска веса Р по наклонной шероховатой плоскости.

 

5. Выберете вариант вычисления силы , необходимой для начала качения колеса без проскальзывания вверх по наклонной плоскости. Вес колеса Р, его радиус , угол наклона и коэффициент трения качения известны.

Лекция 5

Кинематика точки

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: