Координатное описание. Скорость и ускорение

Наиболее просто кинематические характеристики движения определяются в ортонормированном базисе (единичные базисные векторы ортогональны). Обычно с этим базисом связывают декартову систему осей . Три числа , которые определяют положение точки М относительно этой системы координат, - это проекции радиуса-вектора на координатные оси:

(25)

Координаты движущейся точки

(26)

обычно полагают дважды дифференцируемыми по времени функциями. Сами уравнения (26) называют уравнениями движения точки в декартовой координатной системе или уравнениями траектории точки в параметрической форме. Если удается исключить из этих уравнений время , то комбинации любых двух полученных соотношений задают траекторию движения точки явно.

Для траектории движения, расположенной в одной плоскости (ее всегда можно совместить с плоскостью ), в (26) достаточно записать лишь первые два уравнения либо получить .

Продифференцировав (25) по времени, вектор скорости можно представить в форме:

(27)

где - проекции вектора скорости на соответствующие оси координат.

Модуль вектора скорости определяется по формуле

(28)

а направление этого вектора задается косинусами углов с соответствующими координатными осями («направляющие косинусы»):

. (29)

Выполнив такую же последовательность операций, можно получить выражения для вектора ускорения, его проекций, модуля и направляющих косинусов углов:

 

(30)

.

ПРИМЕР 13. Морское орудие, дульный срез которого расположен на высоте над уровнем моря, производит выстрел под углом к горизонту; скорость вылета снаряда (см. рис.43).

Полагая известными уравнения движения снаряда в декартовой координатной системе (начало координат на дульном срезе, - ускорение свободного падения, - время движения, сопротивление воздуха не учитывается):

необходимо рассчитать дальность полета снаряда, его скорость и ускорение в момент удара о воду.

РЕШЕНИЕ. Формулы для вычисления проекций скорости и ускорения на оси декартовой системы получаются дифференцированием по времени уравнений движения снаряда:

В общем случае значения величин проекций могут быть получены только после расчета времени полета снаряда . Заметим, что в рассматриваемом случае на всем протяжении полета ускорение снаряда оказалось постоянным и равным ускорению свободного падения.

Время полета снаряда определим из условия .

Решив квадратное уравнение относительно , получим:

.

Второй, отрицательный, корень уравнения отброшен, как не имеющий физического смысла.

Подставим найденное значение в формулы для проекций скорости:

Тогда величина скорости снаряда при ударе о воду будет

,

а дальность полета снаряда равна

.

ПРИМЕР 14. Кривошип ОА кривошипно-шатунного механизма вращается с постоянной угловой скоростью . В начальный момент времени кривошип занимал горизонтальное положение. Длина шатуна АВ = ОА = 80 см. Точка М шатуна лежит на его середине. Составить уравнения для вычисления координат точек А, В и М механизма в декартовой координатной системе, изображенной на рисунке 44. Найти положение точки М в момент времени , а так же проекции скорости и ускорения, их модули и направляющие косинусы с координатными осями.

 

РЕШЕНИЕ. Запишем выражения для проекций точек механизма на оси декартовой координатной системы:

.

Для нахождения положения точки М в заданный момент времени подставим значение в выражения для проекций, тогда

.

Для вычисления проекций скорости продифференцируем полученные выражения по времени и подставим величину . Тогда

.

Теперь можно вычислить модуль вектора скорости и его направляющие косинусы:

; .

Для вычисления проекций ускорения второй раз продифференцируем полученные выражения по времени и подставим величину . Тогда

.

Теперь можно вычислить модуль вектора ускорения и его направляющие косинусы:

; .

Результаты выполненных расчетов нанесены на рисунок 45.

 

 

Кинематика несвободной точки (движение по заданной траектории)

Задание положения точки. Естественный трехгранник кривой и его оси

В технических приложениях выделяется круг задач о движении точки по заранее известной траектории (в общем – криволинейной). В таких случаях для описания движения точки достаточно задаться лишь одной криволинейной координатой – длиной дуги , измеряемой вдоль траектории от избранного на траектории начала (рис.46).

 

 

 

Движение точки определится законом изменения дуги как функции времени

 

. (31)

Дуговая координата точки, в общем случае, отличается от пройденного пути, который является неубывающей функцией времени (они совпадают при условии движения точки по траектории только в одну сторону).

Для определения скорости и ускорения несвободной точки напомним некоторые сведения из дифференциальной геометрии пространственных кривых.

 

 

Плоскость , перпендикулярная касательной к траектории в точке , называется нормальной плоскостью (рис.47). Любая прямая, лежащая в этой плоскости и проходящая через точку , направлена по нормали к кривой.

Касательную к траектории в точке , близко расположенной к точке , обозначим , а дугу (см. рис.46).

Если перенести прямую параллельно самой себе в точку , то можно провести плоскость, содержащую прямые и ; угол между этими прямыми называется углом смежности. С уменьшением до нуля эта плоскость, поворачиваясь вокруг прямой , приближается к некоторому предельному положению – соприкасающейся плоскости (см. рис.46). Прямая, по которой пересекаются нормальная и соприкасающаяся плоскости, называется главной нормалью к кривой в точке . Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью кривой. Плоскость , проходящая через касательную и бинормаль в точке М, называется спрямляющей плоскостью.

Нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая плоскости образуют естественный трехгранник кривой в точке , а оси являются его осями. Единичные орты этих осей образуют ортонормированный базис локальной естественной координатной системы.

 

Скорость и ускорение точки

Найдем проекции векторов скорости и ускорения точки в естественном базисе.

Радиус-вектор точки представляет собой сложную функцию времени , поэтому

. (32)

При выводе формулы учтено, что

- является единичным ортом касательной к траектории движения точки .

По определению ускорения имеем

. (33)

При выводе формулы учтено, что, во-первых,

- есть орт главной нормали, а, во-вторых, кривизна траектории , где - радиус кривизны траектории в точке .

Для доказательства первого обстоятельства продифференцируем по углу смежности скалярное произведение

. Получим, что , т.е. скалярное произведение двух векторов, расположенных в соприкасающейся плоскости, равно нулю. Это возможно только в случае их ортогональности.

Величина проекции ускорения на касательную

называется касательным ускорением, оно характеризует изменение вектора скорости по величине. Величина проекции ускорения на главную нормаль

называется нормальным ускорением, оно характеризует изменение вектора скорости по направлению. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории.

Полное ускорение точки равно

.

Заметим, что в выбранной координатной системе отсутствуют проекции скорости на главную нормаль и бинормаль, а так же проекция на бинормаль ускорения точки.

Рассмотрим несколько частных случаев движения точки.

1.Равномерное движение точки по прямой. Скорость движения не изменяется, поэтому равно нулю касательное ускорение.

Нормальное ускорение так же равно нулю (бесконечно большой радиус кривизны). Тогда

.

2.Равнопеременное движение по прямой ( ). Нормальное ускорение равно нулю. Тогда

; .

3. Равномерное движение по окружности радиуса . Вектор скорости направлен по касательной к окружности (к радиусу - под прямым углом). Скорость движения не изменяется по величине, поэтому равно нулю касательное ускорение. Полное ускорение равно нормальному, т.е. . Ускорение направлено к центру окружности.

4. Равнопеременное движение по окружности радиуса . В этом случае скорость изменяется и по величине и по направлению, поэтому

; ; ; .

 

ПРИМЕР 15. Центр тяжести катера, разгоняющегося из состояния покоя, описывает дугу окружности радиуса R=75м. Его касательное ускорение изменяется по закону . Определить скорость и ускорение центра тяжести катера в момент, когда он пройдет путь 50 м.

РЕШЕНИЕ. Интегрируя условие дважды по времени с учетом нулевых начальных условий, получим:

; .

Значение достигается в момент времени . При этом скорость центра тяжести катера будет , а касательное ускорение - . Тогда полное ускорение равно

.

 

5.4. Связь кинематических характеристик при различных способах задания положения точки

 

В качестве примера разберем переход от задания положения точки в декартовой координатной системе к ее заданию в естественной координатной системе, а так же выведем формулы связи между соответствующими кинематическими характеристиками.

Пусть заданы уравнения движения точки в декартовой координатной системе . Как уже говорилось выше, будем полагать эти функции дважды дифференцируемыми по времени.

Записанные уравнения могут быть трактованы как уравнения траектории точки в параметрической форме. Если удается исключить из этих уравнений время , то комбинации любых двух полученных соотношений задают траекторию движения точки явно как линию пересечения соответствующих поверхностей.

Для траектории движения, расположенной в одной плоскости (ее всегда можно совместить с плоскостью ), достаточно записать первые два уравнения либо получить .

Координаты точки начала движения получаются подстановкой начального времени (обычно ) в уравнения движения, а анализ изменения координат с ростом параметра определяет положительность или отрицательность направления движения вдоль траектории.

Теперь получим зависимость криволинейной координаты от времени. Для этого воспользуемся формулами для вычисления скорости точки в декартовой и естественной координатных системах:

(34)

Разделим переменные и возьмем интегралы от правой и левой частей равенства. Получим

(35)

ПРИМЕР 16. По заданным уравнениям движения точки на плоскости

;

найти ее траекторию, указать начало движения, его положительное направление, а так же получить закон изменения во времени криволинейной координаты точки.

РЕШЕНИЕ. Исключим время из уравнений движения точки, выразив время из первого уравнения и подставив его во второе уравнение. Получим уравнение параболы . Так как время не может быть отрицательным ( ), траектория точки – правая ветвь параболы (см. рис.48).

 

 

Подставив в уравнения движения, получим координаты точки начала движения:

; .

Анализ изменения координат при возрастании времени показывает, что и абсцисса и ордината точки возрастают; что соответствует движению точки от начального положения вправо вверх (на рисунке положительное направление движения указано стрелкой).

Для получения закона изменения криволинейной координаты от времени сначала найдем выражения для соответствующих проекций скорости ; , а затем воспользуемся соотношением (2.4). Тогда

.

ПРИМЕР 17. По заданным уравнениям движения точки на плоскости

;

найти ее траекторию, указать начало движения и его положительное направление, а так же записать закон изменения во времени криволинейной координаты точки.

РЕШЕНИЕ. Для исключения времени из уравнений движения воспользуемся известным тригонометрическим соотношением . В этом случае уравнение траектории будет иметь вид (окружность радиуса 4 см, сдвинутая на 2 см вдоль оси абсцисс влево, изображена на рис.49).

 

 

Подставив в уравнения движения, получим координаты точки начала движения:

; .

Анализ изменения координат при возрастании времени показывает, что абсцисса точки возрастает, а ордината убывает; что соответствует движению точки от начального положения вправо вниз (на рисунке положительное направление движения указано стрелкой).

Для получения закона изменения криволинейной координаты от времени сначала найдем выражения для соответствующих проекций скорости ; , а затем воспользуемся соотношением (6.4). Тогда

.

Формула (2.4) показывает связь между вычислением скорости точки в декартовой и естественной координатных системах

.

Для получения связи между вычислением ускорения точки в указанных координатных системах запишем формулы для его касательной и нормальной составляющих ускорения через проекции скорости и ускорения на оси декартовой координатной системы:

(36)

(37)

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке может быть вычислен как

(38)

 

ПРИМЕР 18. Продолжить решение предыдущего примера, определив положение точки М и вычислив в декартовой и естественной координатных системах ее скорость и ускорение в момент времени .

РЕШЕНИЕ. Для определения положения точки М подставим в уравнения движения точки:

; .

Теперь вычислим проекции скорости и ускорения точки М в декартовой координатной системе, взяв соответствующие производные по времени от уравнений движения точки и подставив в них время . Тогда получим:

.

Все вычисленные характеристики нанесены на рис.50.

 

Для определения положения точки М на окружности подставим в закон изменения криволинейной координаты:

.

Поскольку длина окружности радиуса будет , то точка М за указанное время прошла в положительном направлении одну восьмую часть окружности.

Теперь вычислим скорость и проекции ускорения точки на оси естественной координатной системы, взяв соответствующие производные от полученного выше закона изменения криволинейной координаты :

.

При желании можно убедиться, что вычисления по формулам (36, 37 и 38) совпадают с полученными результатами.

Все вычисленные кинематические характеристики так же нанесены на рис.50.

 

ПРИМЕР 19. Продолжить решение примера 16, определив положение точки М и вычислив в декартовой и естественной координатных системах ее скорость и ускорение в момент времени .

РЕШЕНИЕ. Для определения положения точки М в декартовой координатной системе подставим в уравнения движения точки:

; .

Теперь вычислим проекции скорости и ускорения точки М, взяв соответствующие производные по времени от уравнений движения точки и подставив в них время . Тогда получим:

.

Для вычисления касательной и нормальной проекций ускорения и радиуса кривизны траектории в точке М воспользуемся формулами (36, 37 и 38). В случае движения точки по плоскости формулы примут более простой вид:

;

;

.

Все вычисленные характеристики нанесены на рис.51.

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Запишите формулы для скорости и ускорения точки при векторном способе задания ее положения. Каковы достоинства и недостатки этого способа?

2. В каком случае величины средней скорости точки и скорости в данный момент времени совпадают?

3. Запишите формулы для проекций скорости и ускорения точки при задании ее положения в декартовой системе координат.

4. Вычислите величину скорости точки через 1 секунду после начала движения, если ее положение на плоскости задано радиусом – вектором , где - орты координатных осей. Размерность проекций радиуса – вектора - метр, времени – секунда.

5. Что должно быть известно при естественном способе задания положения точки?

6. Что характеризует нормальная составляющая ускорения? Запишите формулу для ее вычисления. Как направлена эта составляющая по отношению к траектории?

7. Что характеризует касательная составляющая ускорения? Запишите формулу для ее вычисления.

8. Как движется точка по траектории, если скорость и касательная составляющая ускорения сонаправлены? Если они направлены в разные стороны?

9. Чему равна проекция ускорения точки на бинормаль?

10. По какой траектории движется точка, если векторы ее скорости и ускорения сонаправлены?

 

Лекция 6:

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: