Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Дифференциальное уравнение динамики относительного движения точки
Запишем сначала дифференциальное уравнение динамики точки в инерциальной системе отсчета (11) где - равнодействующая всех задаваемых сил, - равнодействующая сил реакций. Формула, связывающая ускорения точки в неподвижной и подвижной системах отсчета, была получена в курсе кинематики: , (12) где - ускорение Кориолиса; - угловая скорость вращения подвижной системы относительно неподвижной; - ускорение точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая точка (переносное ускорение); - скорость и ускорение точки в подвижной системе отсчета (относительные скорость и ускорение). Поскольку неподвижная система отсчета инерциальная, подставим (12) в (11) и запишем дифференциальное уравнение в виде . (13) Слагаемые и называются, соответственно, переносной силой инерции и силой инерции Кориолиса. Уравнение (13) представляет собой основное уравнение динамики материальной точки, записанное в системе отсчета, движение которой по отношению к неподвижной (инерциальной) системе отсчета известно. Ниже такие системы отсчета будем называть неинерциальными. Сопоставление уравнений (11) и (13) показывает, что в инерциальной системе отсчета ускорение материальной точки является результатом действия приложенных к ней сил, т.е. взаимодействия с другими материальными телами; в неинерциальной системе ускорение материальной точки является как результатом действия на нее сил, так и результатом движения самой системы. Если действие сил является динамической причиной движения точки с некоторым ускорением, то движение системы отсчета по отношению к инерциальной системе можно назвать кинематической причиной появления ускорения. Силы инерции и можно рассматривать как поправки к закону Ньютона на неинерциальность подвижной системы отсчета. Если в рамках конкретной задачи их величинами можно пренебречь по сравнению с остальными действующими на материальную точку силами, то рассматриваемую подвижную систему отсчета полагают инерциальной. Так, например, поступают при изучении движения тел с малыми скоростями относительно Земли. Но при скорости 1000м/с и выше (с которыми движутся снаряды, самолеты и ракеты) введение в основное уравнение динамики слагаемых и является обязательным. Если движение происходит длительное время, то влияние сил инерции и (особенно силы инерции Кориолиса) становится так же заметным и их следует учитывать. В частности, действием силы инерции Кориолиса объясняются следующие явления в северном полушарии Земли: - размывание реками правых берегов (закон Бэра); - отклонение вправо морских течений и дрейфующих льдов; - отклонение вправо ветров постоянного направления; - отклонение снарядов и ракет вправо от плоскости стрельбы; - больший износ правого рельса по сравнению с левым на двухколейных железных дорогах; - отклонение падающих тел к востоку.
3.2. Частные случаи. Движение подвижной системы отсчета (переносное движение материальной точки) определяет вид основного уравнения динамики относительного движения материальной точки. Так, если переносное движение – поступательное (в общем случае – криволинейное), то (т.к. ), а , где . Тогда уравнение (1.23) принимает вид . (14) В том случае, когда переносное движение поступательное ( ) и прямолинейное ( ), в полученном уравнении будет отсутствовать последнее слагаемое, т.е. . (15) Если переносное движение будет поступательным, прямолинейным и равномерным ( ), будут равны нулю все силы инерции; при этом вид уравнения аналогичен (11), т.е. (16) В этом случае подвижная система отсчета так же, как и неподвижная, будет инерциальной. Очевидно, что сделанный вывод позволяет в предыдущих рассуждениях заменить термин неподвижная система отсчета на более общий термин инерциальная. Отсутствие принципиальной возможности каким-либо механическим опытом, основанным на наблюдении за движением материальных тел, отличить одну инерциальную систему отсчета от другой лежит в основе принципа относительности классической механики. Этот принцип утверждает: все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаково; либо - никаким механическим опытом нельзя обнаружить инерциальное движение системы отсчета, участвуя вместе с ней в этом движении. Если переносно движение – вращение вокруг неподвижной оси, то ; где ; ; , а уравнение (13) принимает вид (17) Если вращение происходит с постоянной угловой скоростью , то четвертое слагаемое в правой части (17) будет равно нулю.
3.3. Условие относительного покоя. В этом случае относительная скорость и относительное ускорение точки равны нулю, следовательно, равна нулю и сила инерции Кориолиса. Тогда уравнение относительного покоя будет иметь вид . (18) ПРИМЕР 6. Призма движется по плоскости с постоянным ускорением . На гладкой наклонной плоскости призмы находится груз М. Найти угол , при котором груз будет неподвижен относительно призмы. РЕШЕНИЕ. Свяжем с плоскостью неподвижную координатную систему , а подвижную координатную систему - с призмой. Тогда движение груза по призме будет его относительным движением, а поступательное вместе с призмой (с ускорением ) – переносным. На рис.10 изобразим призму, груз и силы, на него действующие ( вес , реакция гладкой поверхности и сила инерции переносного поступательного прямолинейного движения ). Спроецировав слагаемые уравнения относительного покоя (18) на ось , получим . Отсюда величина искомого угла будет . ПРИМЕР 7 (задача 33.4 из [2]). Железнодорожный поезд идет со скоростью 15 м/сек по рельсам, проложенным по меридиану с юга на север. Масса поезда 2000 т.
РЕШЕНИЕ. Для определения бокового давления поезда на рельсы необходимо учесть вращение Земли вокруг своей оси с угловой скоростью . На рисунке 11.а нанесены естественная координатная система и кинематические характеристики, необходимые для вычисления действующих сил. Здесь - скорость относительного движения поезда, - нормальное ускорение в переносном движении, - ускорение Кориолиса. На рисунке 11.б - изображена схема сил, действующих на поезд. Здесь и - сила тяги и сила трения, - сила притяжения, и - силы инерции переносного движения и Кориолиса, и -вертикальная и боковая составляющие силы нормального давления на рельсы. Проецируя силы на бинормаль к траектории, получим . Откуда Боковое давление поезда на правый рельс обусловлено силой инерции Кориолиса (см. рис.11.б). ПРИМЕР 8 (задача 33.10 из [2]). Горизонтальная трубка СD равномерно вращается вокруг вертикальной оси АВ с угловой скоростью . Внутри трубки находится шар М. Определить скорость шара относительно трубки в момент его вылета, если в начальный момент , длина трубки . Трением пренебречь. РЕШЕНИЕ. Свяжем с неподвижными опорами и землей неподвижную инерциальную систему . С трубкой свяжем подвижную координатную систему и для некоторого промежуточного момента времени изобразим (см. рис.12) трубку и шарик с действующими на него силами (включая силы инерции). Движение шарика по трубке примем за относительное движение, а вращение вместе с трубкой – за переносное. Воспользовавшись формулами кинематики, будем иметь ; ; . Вычислим соответствующие силы инерции и и приложим их к шарику. Добавим вертикальную и горизонтальную составляющие силы нормального давления со стороны трубки. Спроецировав соответствующие члены уравнения (1.23) на ось , получим дифференциальное уравнение: . Воспользуемся заменой и разделим переменные. Возьмем определенные интегралы от левой и правой частей уравнения: . Окончательно имеем: . Заметим, что проецирование действующих сил на ось позволяет определить вертикальную составляющую реакции , а проецирование на ось - горизонтальную как . Вопросы и задачи для самоконтроля 1. Чем отличаются дифференциальные уравнения движения материальной точки в инерциальной и неинерциальной системах отсчета? 2. Запишите условие покоя материальной точки в неинерциальной системе отсчета. 3. Чем обусловлено в северном полушарии отклонение морских течений и воздушных потоков вправо? 4. При каком движении подвижной системы отсчета можно воспользоваться выражением второго закона Ньютона для расчете параметров движения материальной точки? 5. В каком случае можно допустить использование второго закона Ньютона при расчете параметров движения материальной точки в подвижной системе отсчета?
Лекция 4 |
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 562; Нарушение авторского права страницы