Теорема об изменении кинетической энергии

8.1. Кинетическая энергия механической системы. Кинетической энергией материальной точки массы , движущейся со скоростью , называют величину

. (47)

Кинетической энергией механической системы называют сумму кинетических энергий включенных в эту систему материальных точек:

. (48)

В тех случаях, когда масса системы распределена непрерывно, суммирование в выражении (48) заменяют интегрированием по области распределения.

Найдем связь между значениями кинетической энергии механической системы в двух системах отсчета, одна из которых неподвижна, а другая движется поступательно со скоростью . В этом случае скорость точки в неподвижной координатной системе и относительная скорость связаны соотношением

.

Тогда вместо (48) получим

. (49)

Здесь - относительная скорость центра масс; - кинетическая энергия механической системы в подвижной системе координат.

Если за начало координат подвижной системы принимается центр масс механической системы С, то выражение (49) упрощается (теорема Кенига):

. (50)

Использование выражений (48) и (50) позволяет сформулировать следующие правила вычисления кинетической энергии твердого тела: при поступательном движении тела массой со скоростью

; (51)

при вращении с угловой скоростью вокруг неподвижной оси тела с моментом инерции

; (52)

при плоскопараллельном движении твердого тела с угловой скоростью при значении центрального момента инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости движения, и значении момента инерции относительно мгновенной оси вращения

; (53)

при сферическом движении с угловой скоростью вращения

и значении момента инерции тела относительно мгновенной оси вращения

; (54)

в общем случае движения твердого тела

. (55)

Здесь момент инерции вычисляется относительно мгновенной оси такого сферического движения тела, которое оно совершает в системе осей, перемещающихся поступательно вместе с центром масс С.

В качестве примера вычислим кинетическую энергию механической системы, изображенной на рис.28, как сумму кинетических энергий тел ее формирующих. В этом случае

.

С учетом уравнений кинематических связей и выражение для кинетической энергии рассматриваемой механической системы с двумя степенями свободы может быть записано через любые две переменные, принятые за независимые. Например, если полагать независимыми и , то выражение для кинетической энергии примет вид

.

 

8.2. Энергетические характеристики. К энергетическим характеристикам силы относят ее мощность, работу и потенциальную энергию.

Мощностью силы , точка приложения которой движется со скоростью , называют величину

. (56)

Работа силы на элементарном интервале времени и соответствующем этому промежутку времени элементарному смещению точки приложения определяется по правилу

. (57)

Работой силы на конечном интервале времени [0; ] и соответствующем изменении радиуса – вектора точки приложения этой силы от до называют величину

. (58)

Работа момента пары сил вычисляется аналогично.

Потенциальная энергия определена только в тех случаях, когда выражение (57) представляет собой полный дифференциал :

. (59)

При выполнении условия (59) говорят, что сила потенциальна. Сопоставление формул (57) и (59) позволяет записать соотношения, связывающие проекции силы на оси выбранной координатной системы с функцией :

; ; . (60)

Если точка приложения силы переместилась из положения в положение , то путем интегрирования (59) можно получить

. (61)

Заметим (см. формулы (57), (60) и (61)), что потенциальная энергия определена с точностью до постоянного слагаемого; отмеченная особенность позволяет полагать потенциальную энергию равной нулю в выбираемой нами точке (например, в начале координат). В последнем случае формула (61) принимает вид

. (62)

Иными словами – потенциальная энергия равна работе сил по переводу системы из отклоненного положения в начальное.

В том случае, когда для совокупности сил, действующих на механическую систему, можно записать выражение потенциальной энергии , механическую систему называют консервативной. Такие механические системы обладают важными особенностями – работа действующих сил не зависит от вида траектории и закона движения по ней; работа при движении по замкнутому контуру равна нулю (см. (61)). Из (60) легко получить условия, при выполнении которых существует функция :

; ; . (63)

В качестве примера вычислим потенциальную энергию для трех частных, но важных для технических приложений, случаев: действуют сила тяжести, центральная сила и сила упругости пружины.

Для силы тяжести выполняются критерии (63); тогда, в соответствии с формулами (58) и (62), имеем

. (64)

Для центральной силы , модуль которой зависит от расстояния до начала координат, так же выполняются критерии (63), поэтому

. (65)

Силу упругости пружины можно считать центральной силой, направленной к началу координат; в случае прямой пропорциональности между величиной силы и удлинением пружины имеем . В этом случае

. (66)

При определении энергетических характеристик системы сил суммируют соответствующие характеристики для всех сил, действующих на механическую систему.

 

8.3. Теорема об изменении кинетической энергии. Умножим уравнения (2.5) скалярно на скорость и сложим.

,

где и - мощности внешних и внутренних сил, действующих на механическую систему.

Заметим, что если связи между телами, формирующими систему, допускают деформацию (см. пружину жесткостью в примере 21), то точки приложения равных и противоположно направленных внутренних сил имеют различные скорости, вследствие чего их суммарная мощность не будет равной нулю.

Изменив порядок суммирования и дифференцирования в левой части равенства, ее можно привести к виду

.

Окончательно имеем запись теоремы об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

. (67)

- производная по времени от кинетической энергии механической системы равна мощности всех действующих сил.

В дифференциальной форме, основанной на понятии работы силы за элементарный промежуток времени, получим

. (68)

Интегрируя (68) на интервале времени [0; ], получим интегральную форму записи теоремы об изменении кинетической энергии

, (69)

где ; ; ; .

В частном случае, когда для совокупности внешних и внутренних сил системы можно записать выражение потенциальной энергии

,

вместо (68) имеем соотношение

. (70)

В такой системе выполняется закон сохранения полной механической энергии

,

а сама система называется консервативной.

ПРИМЕР 22 (задача 38.24 из [ 2 ]). На рисунке 29 изображен подъемный механизм лебедки. Груз А, массой поднимается посредством троса, переброшенного через блок С и навитого на барабан В радиуса массы . К барабану приложен вращающий момент, который с момента включения пропорционален квадрату угла поворота барабана: , где - постоянный коэффициент. Определить скорость груза А в момент, когда он поднимется на высоту . Массу барабана В считать равномерно распределенной по его ободу. Блок С – сплошной диск массы . Массой троса пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.

 

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в интегральной форме

,

где , так как в начальный момент система покоилась, и , так как трос не растяжим (система с геометрически неизменяемыми связями).

Составим выражение для кинетической энергии механической системы

.

Рассматриваемая механическая система обладает одной степенью свободы, поэтому возможно выразить и через скорость груза . Для этого запишем уравнения кинематических связей

;

Тогда выражение для кинетической энергии может быть приведено к виду

.

Теперь получим выражение для работы внешних усилий, действующих на точки механической системы

.

При записи учтено, во-первых, что связи рассматриваемой механической системы идеальны, а во-вторых, что интегрирование уравнения кинематических связей позволяет выразить через .

Окончательно имеем

.

 

ПРИМЕР 23. При посадке самолета на палубу его посадочная скорость совпадает с направлением скорости равномерного прямолинейного движения авианосца . Улавливающее и тормозящее устройство (аэрофинишер) состоит из нерастяжимого троса, охватывающего безынерционные расположенные на расстоянии друг от друга блоки и . Трос нагружен постоянной по модулю силой (см. рис.30). В момент посадки он захватывается специальным устройством самолета и далее вытягивается симметрично, как показано на рисунке. Найти значение силы , при которой пробег самолета массы до полной остановки на палубе не превысит .

 

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в интегральной форме

,

где , так как в конечный момент механическая система (самолет – трос) покоится, и , так как трос не растяжим. Составим выражение для кинетической энергии механической системы

.

Работа постоянных внешних сил равна , где перемещение каждого из концов троса .

Приравняв выражения для работы и кинетической энергии, найдем, что

.

Заметим, что если силы обеспечиваются не постоянными грузами, а упругими элементами, то величина этих сил в процессе торможения самолета будет переменной и равной

, где - жесткость упругого элемента, - его предварительное растяжение, а - дополнительное растяжение, обусловленное вытяжкой троса в процессе посадки. В таком случае может быть поставлена задача о нахождении величины предварительного растяжения упругого элемента, обеспечивающего заданный пробег самолета по палубе.

При этом выражение для работы сил упругих элементов будет

Приравняв выражения для работы и кинетической энергии, найдем, что

.

ПРИМЕР 24. Для механической системы, описанной в примере 20, получить дифференциальное уравнение движения груза.

 

РЕШЕНИЕ. Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме (67). Мысленно освободимся от связей, приложив к телам механической системы соответствующие реакции (см.рис.31).

Составим выражение для кинетической энергии механической системы:

.

Запишем уравнения кинематических связей:

или ;

или ;

или .

При записи учтено, что мгновенный центр скоростей диска, катящегося без скольжения, расположен в точке его соприкосновения с плоскостью.

В формулу для кинетической энергии подставим угловые скорости вращения соосных блоков, диска и скорость центра масс диска, выраженные через скорость первого груза; тогда

.

При получении результата учтено, что осевой момент инерции однородного диска .

Продифференцировав выражение для кинетической энергии по времени, получим левую часть равенства (67):

.

Отметим, что в рассматриваемой системе внутренние связи не деформируемы, поэтому мощность внутренних сил должна быть равна нулю. Запишем выражение для мощности внешних сил:

,

при записи учтено, что сила упругости , а мощность силы сцепления, приложенной в мгновенном центре скоростей, равна нулю.

В выражение для мощности подставим скорость центра диска, выраженную через скорость первого груза; тогда

.

Приравняем выражения для левой и правой частей равенства (67) и сократим их на . Перенесем переменные величины в левую часть равенства и поделим все слагаемые на постоянный коэффициент при ускорении первого груза. Окончательный вид искомого дифференциального уравнения будет

,

где .

Полученное неоднородное дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания с частотой около смещенного на величину положения (положения статического равновесия механической системы), т.е.

,

где , а постоянные амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий движения.

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Как вычислить кинетическую энергию материальной точки и механической системы?

2. Как вычислить кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

3. Как формулируется теорема Кенига?

4. Как вычислить кинетическую энергию тела при его плоском движении?

5. Как вычислить работу и мощность постоянной силы на линейном перемещении? Как связаны эти величины?

6. Как вычислить работу и мощность постоянного момента силы на угловом перемещении?

7. Чему равна работа и мощность внутренних сил в механической системе, если наложенные связи геометрически неизменяемы?

8. Чему равна работа и мощность реакций в механической системе, если наложенные связи идеальные?

9. Запишите теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме.

10. Запишите теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме.

 

Лекция 9

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: