Теория моментов инерции твердого тела

Понятия о полярных, осевых и центробежных моментах инерции. Тензор инерции, главные и центральные оси инерции

В параграфе 6.2 для выражения векторной меры вращательного движения механической системы были введены моменты инерции. Рассмотрим более подробно их вычисление для частного случая, когда механическая система представляет из себя твердое тело.

Полярным моментом инерции твердого тела называется величина

, (71)

где О – точка, принятая за начало декартовой координатной системы, - плотность тела в точке с координатами , а - объем тела. Величины ; ; (72)

называются моментами инерции тела относительно осей , и , соответственно, а

, , (73)

- центробежными моментами инерции твердого тела.

Все эти величины характеризуют инерционные свойства тела и являются характеристиками распределения массы в твердом теле. Для однородных тел, у которых плотность постоянна, соотношения между моментами инерции определяются только формой тела и расположением координатных осей .

Радиусом инерции тела относительно оси называют расстояние , на котором следует расположить массу, равную массе тела , чтобы величина была равна моменту инерции тела относительно этой оси.

Полярные и осевые моменты инерции всегда положительны, центробежные моменты инерции могут иметь любой знак и даже равняться нулю. Центробежные моменты инерции симметричны относительно своих индексов, т.е. .

Если, например, , то ось - главная ось инерции твердого тела. Если эта ось проходит через центр масс тела – ось главная центральная.

Так, если тело имеет плоскость материальной симметрии, то любая ось, перпендикулярная этой плоскости будет главной осью инерции. Если тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции.

Из шести моментов инерции составляют симметрическую матрицу

, (74)

которую называют тензором инерции. Тензор инерции характеризует распределение масс тела относительно выбранной координатной системы.

 

Вычисление моментов инерции

9.2.1. Получение аналитических выражений для моментов инерциипо формулам (71)-(73). В качестве примера рассмотрим вычисление момента инерции однородного цилиндра массы , радиуса и высоты относительно оси вращения (рис.32).

Мысленно выделим цилиндрическую трубку радиуса и толщиной . За элемент массы возьмем массу этой трубки. Тогда объем трубки будет , а масса , где - плотность материала цилиндра. Объем всего цилиндра , а масса .

 

Умножим элемент на квадрат расстояния до оси и возьмем соответствующий интеграл

.

Удачный выбор элемента позволил избежать записи тройного интеграла по объему; в общем случае это сделать не удается.

9.2.2. Использование типовых элементов, для каждого из которых в справочной литературе приведены формулы для вычисления объема, координат центра тяжести, а так же моментов инерции относительно осей, проходящих через его центр масс, оказывается очень удобным, когда рассматриваемое тело может быть представлено состоящим из таких элементов. В этом случае при вычислении соответствующих моментов инерции можно заменить интегрирование суммированием. Заметим, что как и при нахождении центра тяжести, отверстия трактуются как типовые элементы отрицательной массы.

Ниже приводится таблица для некоторых типовых элементов.

 

Таблица 9.1

тело	Моменты инерции

 

9.2.3. Экспериментальное определение осевых моментов инерции применяется в случаях, когда форма тела оказывается достаточно сложной (зубчатое колесо, шатун, ротор электродвигателя, корпус модели судна и т.п.).

В [6] достаточно подробно обсуждены методы, использование которых позволяет получить осевые моменты инерции таких тел (метод крутильных колебаний, метод качаний, метод падающего груза, использование бифилярного подвеса). Ниже приведем несколько примеров, иллюстрирующих эти методы.

ПРИМЕР 25. Для определения момента инерции тела А относительно вертикальной оси его прикрепили к упругому вертикальному стержню , закрутили этот стержень, повернув тело А вокруг вертикальной оси на малый угол и отпустили; период возникших колебаний оказался равным . Момент сил упругости относительно оси равен , где коэффициент упругости получен тарировкой.

РЕШЕНИЕ. Составим дифференциальное уравнение вращения тела А вокруг вертикальной оси

.

Приведем его к стандартному виду , где .

Общеизвестно, что решением полученного уравнения являются гармонические колебания с периодом .

Отсюда .

Заметим, что при наличии еще одного тела, момент инерции которого известен (такое тело называется эталоном; им может служить, например, однородный диск), можно обойтись без выполнения тарировки для определения жесткости стержня . Очевидно, что для эталона можно выполнить аналогичный эксперимент и получить значение периода его колебаний . При этом для него так же справедлива формула .

Поделив выражения для моментов инерции тела и эталон друг на друга, получим соотношение для вычисления момента инерции тела, не содержащее жесткости стержня :

.

При рассмотрении задачи предполагалось, что инерционностью крепления стержня к телу можно было пренебречь. Если это предположение не подтверждается, то найденное значение включает момент инерции крепления . Для их раздельного вычисления следует выполнить опыт с еще одним эталоном и получить соотношение

, где индекс «1» присвоен моменту инерции первого эталона и его периоду колебаний, а индекс «2» - соответствующим величинам для второго эталона.

Отсюда .

ПРИМЕР 26. Для определения момента инерции шатуна его заставляют качаться вокруг горизонтальной оси, продев ось через втулку цапфы (см. рис.34.а). Для определения отстояния центра тяжести шатуна С от оси качания О шатун располагают горизонтально, оперев на две точечные опоры; одну располагают под осью качания О, а другую, оснащенную датчиком, под точкой В (см. рис.34.б). Зная массу шатуна , расстояние , показание датчика усилия и период качаний получить выражение для расчета моментов инерции шатуна относительно оси качания и параллельной ей оси, проходящей через центр масс шатуна.

РЕШЕНИЕ. Сначала рассчитаем отстояние центра тяжести шатуна от оси качания, составив сумму моментов относительно точки О шатуна в его двуопорном положении (см. рис.34.б)

.

Отсюда .

Теперь составим дифференциальное уравнение вращательного движения шатуна относительно оси качания , предполагая, что углы отклонения шатуна малы. В этом случае

.

Приведем полученное дифференциальное уравнение к стандартному виду

, где .

Общеизвестно, что решением полученного уравнения являются гармонические колебания с периодом .

Отсюда .

Момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс шатуна, можно получить, воспользовавшись формулой (74)

.

ПРИМЕР 27 (задача 37.44 из [2]). Для определения момента инерции махового колеса А радиуса относительно оси, проходящей через центр масс, колесо обмотали тонкой нитью, к которой привязали гирю В массы и наблюдали продолжительность опускания гири с высоты . Для исключения трения в подшипниках проделали второй опыт с гирей массы , причем продолжительность опускания оказалась равной при прежней высоте. Считая момент силы трения постоянным и не зависящим от массы гири, вычислить момент инерции колеса .

РЕШЕНИЕ. Составим дифференциальное уравнение вращения колеса вокруг оси О

.

При постоянном угловом ускорении и нулевых начальных условиях, решение уравнения общеизвестно: .

Тогда, зная высоту и радиус колеса , можно получить выражение

, содержащее две неизвестные величины и .

Проделав опыт со второй массой, получим аналогичное выражение

.

 

 

Исключив из них , получим выражение для расчета момента инерции махового колеса

.

Заметим, что особенно удобен этот способ для определения момента инерции для ротора, ось которого проходит сквозь корпус статора. Если насадить на ось ротора колесо, можно воспользоваться описанным выше методом падающего груза.

ПРИМЕР 28. Модель судна подвешена с помощью двухнитевого (бифилярного) подвеса так, что бы вертикальная ось вращения проходила через центр тяжести С модели (см. рис.36). Нити бифилярного подвеса в первоначальном положении параллельны оси и находятся на одинаковом удалении от центра тяжести модели. Модель отклонили в горизонтальной плоскости на небольшой угол и отпустили; модель стала совершать колебания вокруг вертикальной оси с периодом колебаний, равным . Зная длину нитей бифилярного подвеса и массу модели найти ее момент инерции масс относительно оси .

 

 

РЕШЕНИЕ. Запишем дифференциальное уравнение вращения модели вокруг вертикальной оси

, где - проекция силы натяжения нити на горизонтальную плоскость.

Сделаем допущение о малости углов и , оно позволит, во-первых, получить соотношение для связи этих углов как ; и во-вторых, считать силу натяжения каждой нити как . С учетом сделанного допущения перепишем уравнение колебаний в виде

, где .

Отсюда .

Замечание: способ удобен для тел, подвес которых за одну точку вызывает конструктивные трудности.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: