Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)
Замечание: Для получения интегралов от элементарных функций можно воспользоваться известным фактом: операции дифференцирования и интегрирования являются взаимообратными. ; . Табличные интегралы
Методы интегрирования Непосредственное интегрирование Правило:
Упражнения: Вычислить неопределённые интегралы:
Метод подстановки (замены переменной) Если ни одно из известных преобразований не приводит данный интеграл к такому виду, чтобы можно было применить какую-нибудь формулу интегрирования, приходится прибегать к искусственным приёмам. Один из широко распространённых приёмов интегрирования – способ подстановки. Замечание: Способ подстановки применяется в том случае, если под знаком интеграла стоит сложная функция. Промежуточная функция заменяется новой переменой с таким расчётом, чтобы получившийся интеграл был табличным. Пример: Вычислить неопределённые интегралы:
Решение: 1) К какому табличному интегралу можно привести данный интеграл (на какой табличный интеграл похож данный интеграл)? ; Какую часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной? тригонометрическая, линейная функция; ; ; 3) Вычислим дифференциал новой переменной, чтобы выразить через него оставшийся без замены дифференциал аргумента х: ; ; 4) Выполним замены под знаком интеграла: ; 5) Вынесем за знак интеграла постоянный множитель: ; 6) Вычислим полученный табличный интеграл: ; 7) Выполним обратную замену: . Ответ: .
Решение: 1) ; 2) ; 3) ; ; . Ответ: . Правило: 1) Определить, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл; 2) Определить, какую часть подынтегральной функции необходимо заменить новой переменной, записать эту замену; 3) Вычислить дифференциал новой переменной и выразить через него оставшуюся без замены часть подынтегрального выражения; 4) Выполнить замены под знаком интеграла; 5) Вынести за знак интеграла постоянный множитель; 6) Вычислить полученный табличный интеграл; 7) Выполнить обратную замену.
Упражнения: Вычислить неопределённые интегралы:
Решение физических задач с помощью неопределённого интеграла Известно, что скорость прямолинейного движения точки равна производной от пути по времени : . ; ; ; . Вывод: Чтобы найти закон движения точки, надо проинтегрировать скорость прямолинейного движения точки: . Пример: Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону . Найти закон движения , если за время точка прошла 20 м. Решение: ; ; ; ; ; ; ; . Ответ: . Упражнения: |
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 500; Нарушение авторского права страницы