Определенный интеграл и его основные свойства

Задача: Найти приращения первообразных для данной функции на данном интервале .

Решение:

;

; ;

; ;

; .

Ответ: .

Вывод: Приращение любой первообразной для функции при изменении аргумента х от 1 до 5 есть величина постоянная, равная 24.

Рассмотрим произвольную функцию . Найдём приращения первообразных для функции при изменении аргумента от до .

- данная функция;

- все первообразные для функции ;

- значение любой первообразной для функции при ;

- значение любой первообразной для функции при ;

- приращение любой первообразной для функции ;

;

Определение: Приращение любой первообразной для функции при изменении аргумента х от до называется определённым интегралом в пределах от а до b от функции .

Обозначение:

а - начальное значение аргумента, нижний предел интегрирования;

b - конечное значение аргумента, верхний предел интегрирования;

- интервал интегрирования.

Замечание: Интеграл в пределах от а до b от функции называется определённым, так как приращение любой первообразной для данной функции (разность значений первообразной при конечном и начальном значениях аргумента) является числом.

Пример:

1. Найти приращение любой первообразной для функции при изменении х от до .

Решение:

.

Ответ: .

1. Найти приращение любой первообразной для функции при изменении х от до .

Решение:

.

Ответ: .

1. Вычислить определённый интеграл в пределах от 0 до p от функции .

Решение:

.

Ответ: .

Правило вычисления определённого интеграла от данной функции

1. Найти соответствующий неопределённый интеграл;
2. В полученное его выражение подставить вместо х сначала верхний предел интегрирования, а затем нижний.
3. Из первого результата вычесть второй.

 

Замечание:

1) При вычислении определённого интеграла от функции пользуются записью: (формула Ньютона-Лейбница).

2) Так как величина постоянной С не влияет на результат, её не пишут.

 

Пример: Вычислить:

1. ; ;

2. ; ;

3. ; .

Свойства определённого интеграла

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

.

1. Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за знак определенного интеграла: .
2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный: .
3. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

.

1. Интервал интегрирования можно разбивать на части:

, .

Пример: Вычислить:

1)

2)

Упражнение №1: Вычислить определённые интегралы:

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) ;	11) ;	12) .

Ответы:

1) 168;	2) ;	3) ;	4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;	10) ;	11) ;	12) .

Упражнение №2: Вычислить определённые интегралы:

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) ;	11) ;	12) ;
13) ;	14) ;	15) ;
16) ;	17) ;	18) ;
19) ;	20) ;	21) .

Ответы:

1) ;	2) ;	3) ;	4) ;	5) ;	6) ;	7) ;
8) ;	9) ;	10) ;	11) ;	12) ;	13) ;	14) ;
15) 2;	16) ;	17) ;	18) ;	19) ;	20) ;	21) .

Вычисление определенного интеграла способом подстановки

При вычислении определённого интеграла так же приходится применять различные приёмы, в том числе и способ подстановки. Подстановка в определённом интеграле делается аналогично подстановке в неопределённом интеграле, но, кроме того, для получающегося интеграла нужно находить новые пределы интегрирования.

Правило:

1) Определить, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл;

2) Определить, какую часть подынтегральной функции необходимо заменить новой переменной, записать эту замену;

3) Вычислить дифференциал новой переменной и выразить через него оставшуюся без замены часть подынтегрального выражения;

4) Найти пределы интегрирования для новой переменной;

5) Выполнить замены под знаком интеграла;

6) Вынести за знак интеграла постоянный множитель;

7) Вычислить полученный табличный интеграл;

8) В полученное его выражение подставить вместо новой переменной сначала верхний предел интегрирования, а затем нижний, из первого результата вычесть второй.

Замечание: В отличие от неопределенного интеграла после подстановки новой переменной и замены пределов интегрировании в определённом интеграле все вычисления проводят с новой переменной и к старой переменной не возвращаются.

Пример: Вычислить:

1. ;

Решение:

1) ;

2) ;

3) ; ;

4)

х

Ответ: .

2. ;

;

1) ;

2) ;

3) ; ;

4)

х

;

;

1) ;

2) ;

3) ; ;

4)

х

;

;

Ответ: .

3. ;

1) ;

2) ;

3) ; ;

х

4)

Ответ: .

Упражнения: Вычислить определённые интегралы:

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) ;	11) ;	12) ;
13) ;	14) ;	15) ;
16) ;	17) ;	18) ;
19) ;	20) ;	21) ;
22) ;	23) ;	24) ;
25) ;	26) ;	27) .

Ответы:

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: