Площадь криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5. Рис. 6. Рис. 7.

Решение:

1. Фигура (Рис.1.) не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая принимает отрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента.
2. Фигура (Рис.2.) не является криволинейной трапецией, так как она не ограничена справа прямой, параллельной оси ординат.
3. Фигура (Рис.3.) не является криволинейной трапецией, так как она не ограничена осью абсцисс.
4. Фигура (Рис.4.) является криволинейной трапецией, так как она ограничена осью абсцисс, двумя прямыми, параллельными оси ординат, непрерывной и неотрицательной функцией при рассматриваемых значениях аргумента.
5. Фигура (Рис.5.) не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая принимает неотрицательные и отрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента.
6. Фигура (Рис.6.) не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая не является непрерывной при рассматриваемых значениях аргумента.
7. Фигура (Рис.7.) не является криволинейной трапецией, так как она не ограничена осью абсцисс.

Задача №2. Выразить площади фигур через площади криволинейных трапеций.

Рис. 4. Рис. 5.

Решение:

1. Площадь фигуры BCE (Рис.1.) равна разности площадей криволинейных трапеций ABCD u ABECD: .
2. Площадь фигуры ABC (Рис.2.) равна сумме площадей криволинейных трапеций ABD u BCD: .
3. Площадь фигуры BCDF (Рис.3.) равна разности площадей криволинейных трапеций ABCDЕ u ABFDE: .
4. Площадь фигуры ABCD (Рис.4.) равна разности площадей криволинейных трапеций ABC u ADC: .
5. Площадь фигуры ABC (Рис.5.) равна сумме площадей криволинейных трапеций ABD u BCD: .

Задача №3. Найти концы интервала, на котором построена фигура, ограниченная функциями:

1) ; ; 2) ; ; 3) ; .

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Решение:

;

; ;

; ; ; ;

Ответ: ; .

2) Концами интервала a u b, на котором построена данная фигура, являются абсциссы точек пересечения параболы и прямой . Решим способом подстановки систему уравнений:

; ; ;

; ; ;

Ответ: ; .

3) Концами интервала a u b, на котором построена данная фигура, являются абсциссы точек пересечения парабол и . Решим способом подстановки систему уравнений:

; ; ;

; ; ;

Ответ: ; .

Упражнения:

1. Построить фигуру, ограниченную функциями , , , . Является ли фигура криволинейной трапецией? Найти концы интервала, на котором построена фигура.
2. Построить фигуру, ограниченную функциями , , , . Является ли фигура криволинейной трапецией? Найти концы интервала, на котором построена фигура.

Построим криволинейную трапецию Р₀М₀МР, ограниченную функцией , положительной и возрастающей при рассматриваемых значениях аргумента .

От чего зависит площадь криволинейной трапеции Р₀М₀МР?

1. Площадь криволинейной трапеции Р₀М₀МР зависит от длины отрезка , на котором она построена: чем больше длина отрезка , тем больше площадь криволинейной трапеции Р₀М₀МР.

2. Площадь криволинейной трапеции Р₀М₀МР зависит от вида ограничивающей её функции .

.

Ответ:

1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функцией . Сделать чертёж.

Решение:

;

- ветви направлены вниз;