Расчет цепи по уравнениям Кирхгофа

 

Проведем расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 3.3 при и . Цепь описывается системой уравнений (3.4) и (3.5), из которой для токов ветвей получим

(3.6)

Из первого уравнения выразим , а из третьего

.

Тогда из второго уравнения получим

 

,

 

и, следовательно,

,

 

.

 

Из уравнений закона Ома запишем

 

.

.

 

Нетрудно убедиться, что выполняется второй закон Кирхгофа

 

.

 

Подставляя численные значения, получим

 

, ,

, .

Пример численного расчета в программе MathCAD показан ан рис. 3.6. Эти же результаты можно получить, используя только закон Ома.

Рис. 3.6

 

Проведем расчет более сложной цепи, показанной на рис. 3.7, содержащей несколько источников.

 

Рис. 3.7

 

Как видно, в цепи узла и ветви, не содержащих идеальные источники тока, а число независимых контуров (показаны на рис. 3.7). Тогда по первому закону Кирхгофа необходимо записать уравнения, а по второму закону Кирхгофа число уравнений равно .

Научитесь внимательно анализировать структуру цепи, определяя число узлов и ветвей, что важно для правильного формирования системы уравнений цепи.

По закону Ома для каждого сопротивления получим

 

 

По первому закону Кирхгофа можно записать

 

 

а по второму закону Кирхгофа соответственно

 

 

С учетом уравнений закона Ома получим

 

 

Приняв

и , решим систему уравнений в программе MathCAD (листинг показан на рис. 3.8).

Рис. 3.8

 

Как видно, MathCAD является весьма эффективным средством решения инженерных задач. Найдите корни системы уравнений «вручную», сравните результаты и оцените затраты времени.

 

Мощность в цепи постоянного тока

 

Действующие в цепи идеальные источники тока и (или) напряжения отдают мощность в подключенную к ним цепь (нагрузку). Для цепи на рис. 3.1, а отдаваемая идеальным источником напряжения мощность равна

 

, (3.7)

 

а в цепи на рис. 3.2, а идеальный источник тока отдает в нагрузку мощность

 

. (3.8)

 

Подключенная к источнику внешняя резистивная цепь потребляет от него мощность, преобразуя ее в другте виды энергии, чаще всего в тепло.

Если через сопротивление протекает ток , а приложенное к нему напряжение равно , то для потребляемой сопротивлением мощности получим

 

. (3.9)

 

С учетом уравнений закона Ома (3.1) можно записать

. (3.10)

 

Если в цепи несколько сопротивлений, то сумма потребляемых ими мощностей равна суммарной мощности, отдаваемой в цепь всеми действующими в ней источниками. Это условие баланса мощностей.

Например, для цепи на рис. 3.3 в общем виде получим

 

. (3.11)

 

Подставляя в левую часть равенства (3.10) полученные ранее выражения для токов, получим

 

что соответствует правой части выражения (3.11).

Условие баланса мощностей позволяет дополнительно контролировать правильность расчетов.

 

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

 

Гармонический сигнал

 

Гармонический сигнал [5, 6] записывают в виде

 

, (4.1)

 

где - амплитуда сигнала (индекс от слова «максимум»), - круговая частота, а - начальная фаза. Временная диаграмма гармонического сигнала показана на рис. 4.1.

 

Рис. 4.1

 

Амплитуда гармонического сигнала – это его максимальное значение, она измеряется в единицах сигнала (вольтах для напряжения и амперах для тока).

Период сигнала (рис. 4.1) определяет циклическую частоту его повторения,

, (4.2)

измеряемую в герцах (Гц). Ее физический смысл – число периодов колебаний в секунду.

Аргумент косинуса в (4.1) вида

 

(4.3)

 

называют полной фазой колебания, она пропорциональна текущему времени и измеряется в радианах или градусах.

Круговая частота равна

(4.4)

 

и представляет собой число радиан, на которое изменяется полная фаза колебания в единицу времени (1 с).

При полная фаза равна , поэтому параметр называют начальной фазой гармонического сигнала. Она измеряется в радианах или градусах. Так как период функции равен или 360⁰, то начальная фаза оказывается многозначной величиной. Например, значения начальной фазы 30⁰ и (30⁰+360⁰)=390⁰, а также (30⁰-360⁰)=-330⁰ оказываются эквивалентными. Для устранения неоднозначности договариваются, что значения начальной фазы должны находиться, например, в интервале от 0 до , или от до (аналогичные границы могут быть заданы в градусах).

Начальная фаза связана со смещением гармонического сигнала во времени на величину относительно функции , как показано на рис. 4.1. Функция смещена влево относительно , а - вправо. Положительные значения отсчитываются в сторону увеличения , а отрицательные – наоборот. Из (4.1) можно записать

 

, (4.5)

 

где смещение во времени равно

 

. (4.6)

 

Тогда для начальной фазы получим

 

. (4.7)

 

Как видно, начальная фаза определяется временным сдвигом гармонического сигнала относительно функции . При сигнал смещается вправо (позднее сигнала ) по оси времени, при этом его начальная фаза , а если , то временная диаграмма смещается влево (раньше ) по оси времени, а .

Величина начальной фазы зависит от начала отсчета времени (положения точки ). При смещении начала отсчета времени изменяется и начальная фаза.

Применительно к двум гармоническим сигналам и с разными начальными фазами и вводится в рассмотрение сдвиг фаз между первым и вторым сигналами,

 

. (4.8)

 

На рис. 4.2 показаны два гармонических сигнала с начальными фазами и , причем и . В этом случае говорят, что первый сигнал опережает по фазе второй или второй сигнал отстает по фазе от первого.

Сдвиг фаз связан со смещением сигналов во времени

 

, (4.9)

 

положительные значения временного сдвига отсчитываются в направлении оси времени.

 

Рис. 4.2

 

Гармоническое колебание может быть задано в нетипичной форме, которую необходимо преобразовать к виду (4.1), иначе начальная фаза оказывается неопределенной. Примеры преобразования показаны в таблице ниже.

 

 

Исходный сигнал	Преобразованный сигнал	Начальная фаза

 

Комплексная амплитуда

 

Для гармонического сигнала (тока или напряжения)

 

комплексная амплитуда равна

, .

Пусть ток равен , тогда его комплексная амплитуда равна . Если известна комплексная амплитуда напряжения при частоте , то мгновенные значения напряжения имеют вид .

 

4.3. Комплексные числа

 

Комплексные числа могут записываться в алгебраической и показательной формах

,

где и - действительная и мнимая части,

 

,

 

( без точки сверху ) и - модуль и аргумент комплексного числа соответственно,

Полезно запомнить следующие соотношения

.

и формулу Эйлера

 

.

 

Рассмотрим операции с комплексными числами.

Пусть заданы два комплексных числа в виде и , тогда их сумма и разность соответственно равны

 

,

,

 

то есть сложение и вычитание комплексных чисел удобно проводить в алгебраической форме. Если хотя бы одно из этих чисел задано в показательной форме, то его необходимо представить в алгебраическом виде, например,

 

При необходимости результат можно представить в показательной форме

.

 

Умножение и деление комплексных чисел удобно проводить в показательной форме:

 

Если одно из чисел представлено в алгебраической форме, то его необходимо перевести в показательную форму.

Полезно использовать соотношение ( устранение комплексности в знаменателе дроби )

 

 

Комплексно-сопряженными называют числа и , а также и , они имеют одинаковые модули. Произведение комплексно сопряженных чисел равно квадрату их модуля

 

.

 

В программе MathCAD имеется возможность выполнять операции с комплексными числами. Мнимая единица выбирается из меню «Арифметика» (символ ) или может быть задана выражением В радиотехнике принято для мнимой единицы использовать символ , так как переменная обычно обозначает ток. Пример программы показан на рис. 4.3 где представлены арифметические операции, операторы вычисления модуля и аргумента комплексного числа и некоторые функции от комплексного аргумента.

 

Рис. 4.3

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: