Глава 1. Дифференциальные уравнения в частных производных, их классификация и методы решения. Задача Коши

Предисловие

В настоящем пособии рассматриваются некоторые виды уравнений в частных производных и методы их решения.

Дифференциальные уравнения в частных производных, которые встречаются при решении физических задач, называют также уравнениями математической физики. К ним относятся волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение теплового состояния (уравнения Лапласа и Пуассона). Они впервые появились почти одновременно в работах Даниила Бернулли (1700 – 1782), Жана Лерона Даламбера (1717 – 1783) и Леонарда Эйлера (1707 – 1783), позднее - в работах Жана Батиста Фурье (1768 – 1830). Бернулли получил решение волнового уравнения в виде тригонометрического ряда, Даламбер и Эйлер представили решение в виде прямой и обратной волн, что и дало название уравнению. Фурье показал эквивалентность этих двух решений.

Нахождение точного аналитического решения дифференциальных уравнений в частных производных, к сожалению, возможно лишь для весьма ограниченного круга одномерных задач при использовании целого ряда допущений, негативно отражающихся на адекватности полученных результатов. Для решения задач математической физики в случае нескольких измерений необходимо использовать численные методы, позволяющие преобразовывать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений. Для решения полученных нелинейных систем алгебраических уравнений или линейных систем большой размерности используют итерационные методы. При этом одной из наиболее сложных проблем является обеспечение сходимости итерационного процесса, в значительной степени, определяющей время вычислений. Точность решения определяется шагом координатной сетки, количеством итераций и разрядной сеткой компьютера. Рассмотренные методы решения уравнений в частных производных проиллюстрированы примерами для системы MATLAB.

Пособие содержит три главы. В главе 1 рассматриваются уравнения в частных производных, общее решение которых можно найти с помощью повторного интегрирования. Вводится понятие задачи Коши для уравнений 1-го и 2-го порядков и классификация уравнений 2-го порядка в частных производных. Представлены численные методы решения параболических, гиперболических и эллиптических дифференциальных уравнений с использованием пакета MATLAB.

В главе 2 представлены классические методы решения уравнения свободных колебаний струны: метод Даламбера для бесконечной струны, метод продолжений для полубесконечной и конечной струны, а также метод Фурье (метод разделения переменных) для конечной струны, закрепленной на концах.

В главе 3 рассматривается метод Фурье для уравнения распространения тепла в однородном стержне и уравнения Лапласа в случае некоторых простейших областей (круг, кольцо, прямоугольник).

Теоретический материал проиллюстрирован примерами, в которых используется статичная и анимационная графика, выполненная в среде MATLAB.

Кроме того, в пособии приведены лабораторные работы, посвященные численным методам решения задачи Коши и уравнений математической физики с использованием пакета MATLAB.

 

Глава 1. Дифференциальные уравнения в частных производных, их классификация и методы решения. Задача Коши

Упражнения.

Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений с частными производными. Выполнить проверку.

1.1. .

Ответ: .

1.2. .

Ответ: .

1.3. .

Ответ: .

1.4. .

Ответ: .

1.5. .

Ответ: .

1.6. .

Ответ: .

1.7. .

Ответ: .

1.8. .

Ответ: .

1.9. .

Ответ: .

1.10. .

Ответ: .

1.11. .

Ответ: .

1.12. .

Ответ: .

Классификация уравнений второго порядка в частных производных

Рассмотрим уравнение 2-го порядка

, (1.1)

где .

Обозначим . Тогда уравнение (1.1) принадлежит к гиперболическому типу при , к параболическому типу при , к эллиптическому типу при .

К уравнениям гиперболического типа приводят различные задачи о колебательных процессах. Уравнения параболического типа описывают процессы распространения тепла, диффузии и т.п. К уравнениям эллиптического типа обычно приводят задачи о стационарных тепловых процессах.

Упражнения.

1.13. К какому типу относится уравнение колебания струны ?

Ответ: гиперболическому.

1.14. К какому типу относится уравнение теплопроводности ?

Ответ: параболическому.

1.15. К какому типу относится уравнение Лапласа ?

Ответ: эллиптическому.

Жесткое закрепление.

Рассмотрим случай, когда струна жестко закреплена в точке , т.е. в данной точке отклонение струны всегда равно нулю.

Задача ставится следующим образом: ищем решение системы уравнений

Рассмотрим функции и (x), являющиеся нечетными продолжениями функций и . Тогда функция

определена для всех . В силу леммы 1 .

Кроме того, эта функция удовлетворяет при и следующим начальным условиям:

Таким образом, рассматривая полученную функцию только для , мы получим функцию, удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи.

Свободное закрепление.

Теперь рассмотрим случай, когда при мы имеем свободный конец. Это значит, что касательная в точке 0 параллельна оси x:

Делаем четное продолжение функций и . Получим решение уравнения колебаний в виде функции

,

определенной для всех . В силу леммы 2 .

Кроме того, эта функция удовлетворяет при и следующим начальным условиям:

Таким образом, рассматривая полученную функцию только для , мы получим функцию, удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи.

Вывод. Для решения задачи на полуограниченной прямой с граничным условием начальные данные надо продолжить на всю прямую нечетным образом.

Для решения задачи на полуограниченной прямой с граничным условием начальные данные надо продолжить на всю прямую четным образом.

2.2.4. Метод продолжения для конечной струны (начальная и конечная точки жестко закреплены)

Рассмотрим краевую задачу для ограниченного отрезка (0, l). Будем искать решение уравнения

,

удовлетворяющее граничным условиям

и начальным условиям

Будем искать решение задачи методом продолжения, предполагая возможность следующего представления:

,

где (x) и (x) – функции, подлежащие определению. Начальные условия

определяют значения (x) и (x) в интервале (0, l).

Для того чтобы удовлетворить нулевым граничным условиям, наложим на функции (x) и (x) требования нечетности относительно точек x = 0, x = l:

Сопоставляя эти равенства, получим:

и аналогично для Ψ (x), т.е. (x) и (x) – периодические функции с периодом 2l.

Нетрудно видеть, что условия нечетности относительно начала координат и условия периодичности определяют продолжение (x) и (x) на всей прямой . Подставляя их, получаем решение задачи.

Пример. Решить уравнение колебания полубесконечной струны , удовлетворяющее условиям:

Решение. Имеем задачу свободных колебаний полубесконечной струны (с краевым условием ). Так как , то продолжим функции и на отрицательную полуось нечетным образом

Тогда по формуле Даламбера:

=

Пример. Решить уравнение колебания полубесконечной струны , удовлетворяющее условиям:

Решение. Имеем задачу свободных колебаний полубесконечной струны (с краевым условием ). Так как , то продолжим функцию на отрицательную полуось четным образом ( ):

,

Тогда по формуле Даламбера:

=

Упражнения.

Решить уравнение колебания бесконечной струны, удовлетворяющее условиям:

2.1.

Ответ: .

2.2.

Ответ: .

2.3.

Ответ: .

 

2.4.

Ответ: .

2.5.

Ответ: .

2.6.

Ответ: .

2.7.

Ответ: .

2.8.

Ответ: .

Решить уравнение колебания полубесконечной струны , удовлетворяющее условиям:

2.9.

Ответ:

2.10.

Ответ:

2.11.

Ответ: .

2.12.

Ответ:

2.13.

Ответ:

Решить уравнение колебания бесконечной струны, удовлетворяющее условиям:

2.14.

Нарисовать профиль струны для моментов времени

Ответ:

2.15.

Нарисовать профиль струны для моментов времени

Ответ:

2.16.

Нарисовать профиль струны для моментов времени

Ответ:

2.17.

Нарисовать профиль струны для моментов времени

Ответ:

2.18.

Нарисовать профиль струны для моментов времени

Ответ:

2.19.

Нарисовать профиль струны для моментов времени

Ответ:

2.3. Метод Фурье (метод стоячих волн) или метод разделения переменных

Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Суть этого метода мы продемонстрируем на примере задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение волнового уравнения с начальными и граничными условиями:

Уравнение линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться с помощью суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение. Частные решения будем искать в виде:

где X (x) – функция только переменного x; T (t) – функция только переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение, получим:

или, после деления на множитель ,

.

Правая часть этого равенства является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение:

,

где – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке. Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций и :

Очевидно, что нас интересуют нетривиальные решения.

Граничные условия дают:

Отсюда следует

.

Таким образом, приходим к простейшей задаче: найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задач:

а также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи. Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр отрицателен, равен нулю или положителен.

1. При задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения имеет вид

,

Граничные условия дают:

; .

Отсюда и, следовательно, .

2. При также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения имеет вид

.

Граничные условия дают:

; .

Отсюда и, следовательно, .

3. При общее решение уравнения может быть записано в виде

.

Граничные условия дают:

;

Нетривиальное решение получаем только в случае или . Отсюда

.

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

,

где – произвольная постоянная.

Пусть , тогда собственными функциями являются

.

Аналогично решаем уравнение относительно :

,

где и – произвольные постоянные.

Следовательно, функции

являются частными решениями данного уравнения. В силу линейности и однородности уравнения сумма частных решений также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям. Получаем общее решение:

.

Начальные условия позволяют определить и :

;

.

Из теории рядов Фурье известно, что коэффициенты разложения в ряд Фурье вычисляются по формулам:

; .

Подставив эти коэффициенты в общее решение, мы удовлетворим краевым условиям и получим решение уравнения.

Простейшие задачи Штурма – Лиувилля для уравнения .

Вид условия	Собственные значения и функции для

Пример. Решить уравнение колебания ограниченной струны , удовлетворяющее условиям:

Решение. Общее решение имеет вид

.

Из начальных условий определим и :

Тогда .

.

Отсюда .

Подставив эти коэффициенты в общее решение, получим решение уравнения:

.

Можно построить в среде MATLAB поверхность решения данного волнового уравнения (рис.2.6).

Рис.2.6. Поверхность решения уравнения колебания ограниченной струны

[x, t]=meshgrid(0:.1: 5);

u=1/8*sin(3*pi*x/10).*cos(3*pi*t/10);

mesh(x, t, u)

xlabel('x')

ylabel('t')

zlabel('u(x, t)')

title('u=1/8*sin(3*pi*x/10)*cos(3*pi*t/10)')

Для лучшей визуализации напишем m-файл, который с частотой в 1 с будет демонстрировать графики решения рассмотренного ранее волнового уравнения для различных моментов времени t (рис.2.7):

figure, axis([0 10 -0.15 0.15]), grid

hold on

x=0:.1: 10;

t=0:.4: 2;

color=rand(3, length(t)); %случайный выбор цветов волн

for k=1: length(t)

u=1/8*sin(3*pi*x/10)*cos(3*pi*t(k)/10);

plot(x, u, 'LineWidth', 2, 'Color', color(:, k))

xlabel('x')

ylabel('u(x)')

title('Поверхность u=1/8*sin(3*pi*x/10)*cos(3*pi*t(k)/10)')

legend('t=0', 't=0.4', 't=0.8', 't=1.2', 't=1.6', 't=2')

pause(1)

end

Рис.2.7. График профиля колебания ограниченной струны для различных моментов времени t

Построим анимацию в среде MATLAB колебаний конечной закрепленной на концах струны при начальных условиях, заданных в предыдущем примере:

x=0:.1: 10;

for t=0: 20;

u=1/8*sin(3*pi*x/10).*cos(3*pi*t/10);

plot(x, u, 'r', 'LineWidth', 2);

hold all;

xlim([0 10]);

ylim([-1/8 1/8]);

grid on;

xlabel('x'); ylabel('u(x)');

M(t+1)=getframe;

pause(.2)

hold off;

end

movie(M, 3)%повторяем 3 раза

Пример. Решить уравнение колебания ограниченной струны:

Решение. Имеем задачу свободных колебаний струны, закрепленной на концах (в точках 0 и 2). Здесь , т.е. , . Поэтому решение ищем в виде:

.

Подставим t = 0:

.

Используя первое начальное условие, получаем:

.

Можно подобрать коэффициенты A_n так, чтобы равенство выполнялось тождественно: при , следовательно, .

Чтобы использовать второе начальное условие, продифференцируем u(x, t) по t:

и подставим t = 0:

.

Таким образом, получаем условие

и подбираем коэффициенты:

при .

Итак, имеется всего два ненулевых слагаемых:

при .

Окончательно, получаем решение:

Замечание. Часто начальная скорость точек струны y(х) = 0 (т.е. рассматриваются колебания струны, которую в начальный момент времени оттянули и отпустили без рывка), тогда, очевидно, В_n = 0.

Пример. Решить уравнение колебания ограниченной струны:

Решение: Имеем задачу свободных колебаний струны, закрепленной на концах ( , ). Поэтому решение ищем в виде:

.

Используем первое начальное условие:

.

Подобрать коэффициенты A_n здесь нельзя, будем их вычислять как коэффициенты Фурье разложения функции на интервале (0, 3) по синусам:

Второе начальное условие тривиально, поэтому B_n = 0.

Таким образом,

.

Заметим, что при , тогда

.

Упражнения.

Решить уравнение колебания ограниченной струны:

2.20.

Ответ: .

2.21.

Ответ: .

2.22.

Ответ: .

2.23.

Ответ: .

2.24.

Ответ: .

2.25.

Ответ: .

2.26.

Ответ: .

Упражнения.

Решить уравнение теплопроводности при заданных начальных и граничных условиях:

3.1.

Ответ: .

3.2.

Ответ: .

3.3.

Ответ: .

3.4.

Ответ: .

3.5.

Ответ:

.

3.3. Уравнение Лапласа

При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа

.

Функция u называется гармоническойв области Г, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.

При изучении свойств гармонических функций были разработаны различные математические методы, оказавшиеся плодотворными и в применении к уравнениям гиперболического и параболического типов. Мы будем искать решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных. Решение краевых задач для уравнения Лапласа может быть найдено методом разделения переменных в случае некоторых простейших областей (круг, прямоугольник, шар, цилиндр и др.). Рассмотрим некоторые из них.

3.3.1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

Найти функцию u, удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри круга и граничному условию на границе круга, где – заданная функция, – полярный угол.

Введем полярную систему координат с началом в центре круга:

Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид

.

Решим уравнение методом разделения переменных, т.е. будем искать частное решение уравнения в виде

.

Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение в полярных координатах, получим:

.

Отсюда

.

Получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Определим знак .

1. Пусть , например, .
Рассмотрим уравнение

.

Характеристическое уравнение имеет вид

– это решение не подходит, так как при изменении угла на величину однозначная функция должна вернуться к исходному значению (условие периодичности).

Отсюда следует, что , т.е. является периодической функцией угла с периодом .

2. Пусть , тогда .

– это решение подходит при условии .

Рассмотрим второе уравнение системы:

.

Пусть

,

тогда

.

Получаем: – решение уравнения в общем случае.

3. Пусть , например, . Тогда решение уравнения :

.

Рассмотрим второе уравнение системы

.

Функцию будем искать в виде . Тогда уравнение принимает вид

;

;

;

.

Следовательно, – решение уравнения, где С и D – постоянные.

Для решения внутренней задачи надо положить , так как, если , то функция обращается в бесконечность при и не является гармонической функцией внутри круга. Итак, частные решения нашей задачи найдены:

.

Вид общего решения

.

Удовлетворим краевому условию:

.

Считая, что задана как функция угла , возьмем ее разложение в ряд Фурье:

,

где

;

;

.

Будем использовать формулы Эйлера:

;

.

Подставляя выражения для коэффициентов Фурье в решение и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим:

Подставляя в это выражение фомулы Эйлера, получаем интегральную формулу, дающую решение задачи

 

3.3.2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце

Найти функцию u, удовлетворяющую уравнению внутри кольца.

Необходимо поставить краевые условия на каждой из границ:

где – заданные функции; – полярный угол.

Для простоты вычислений возьмем и , тогда краевые условия примут вид

1234567Следующая ⇒

Поделиться: