Вывод уравнения колебания струны

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

Рассмотрим натянутую струну длины l, закрепленную на концах. В положении равновесия струна направлена вдоль оси Ox. Сила натяжения T₀, действующая на струну, предполагается значительной. Каждую точку струны длины l можно охарактеризовать значением ее абсциссы x и смещением этой точки в момент времени t.

Для упрощения задачи примем следующие предположения:

1. Будем рассматривать только поперечные колебания струны, предполагая, что движение происходит в одной плоскости, и что все точки струны движутся перпендикулярно оси Ox.

Тогда процесс колебания струны может быть описан одной скалярной функцией , которая характеризует (вертикальное) смещение точки струны с координатой x в момент времени t.

2. Будем рассматривать струну как гибкую упругую нить:

· математическое выражение понятия гибкости заключается в том, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее мгновенному профилю. Это условие выражает собой то, что струна не сопротивляется изгибу;

· понятие «нить» означает, что мы пренебрегаем формой поперечного сечения и толщиной (рассматриваем линейную плотность ρ (x)).

3. Рассматриваем только малые колебания струны, т.е. будем считать, что смещение , а также столь малы, что квадратами этих величин по сравнению с единицей можно пренебречь, т.е. , .

4. Величина напряжений (силы натяжения) может быть вычислена с помощью закона Гука: сила натяжения, возникающая в струне, пропорциональна ее относительному удлинению:

где – удлинение струны; – начальная длина струны.

Таким образом,

где k – коэффициент упругости.

Длина произвольного участка струны (рис.2.1) в любой момент времени выражается формулой:

Таким образом, получаем, что при условии малых отклонений длина произвольного участка струны сохраняется. А значит, можно считать, что величина сил натяжения точек струны не изменяется с течением времени, т.е. имеем .

Покажем также, что натяжение не зависит и от x. Найдем проекции натяжения на оси x и u (обозначим их T_xи T_u):

;

где α – угол касательной к кривой с осью x.

На участок действуют силы натяжения и внешние силы. Сумма проекции всех сил на ось x должна быть равна нулю (мы рассматриваем только поперечные колебания, т.е. струна не движется вдоль оси Ох). Так как внешние силы по предположению направлены вдоль оси u, то

или .

Отсюда в силу произвольности x и следует, что натяжение не зависит от x, т.е. для всех значений x и t:

Согласно второму закону Ньютона сумма сил, действующих на участок струны (см. рис.2.1), равна по величине и направлению вектору ускорения этого участка, умноженному на его массу. Определим величины всех сил, действующих на этот участок. Обозначим через плотность распределения внешних сил, вызывающих отклонение точек струны только в вертикальном направлении. Тогда величина внешних сил, действующих на участок , при условии непрерывности функции по переменной х равна:

Далее, силы натяжения (левая и правая соответственно) и , действующие со стороны левого (в точке ) и правого (в точке ) концов струны, направлены по касательным к мгновенному профилю струны в соответствующих точках.

Для вертикальной составляющей сил натяжения имеем выражение

Так как рассматриваем малые колебания, то

Таким образом, сумма сил, действующих на участок струны , равна:

(2.1)

С другой стороны, рассматривая участок струны как совокупность материальных точек, имеем

(2.2)

где – линейная плотность струны. Приравнивая выражения (2.1) и (2.2) и переходя к пределу при , для искомой функции получим уравнение:

или

где .

В случае, когда на струну не действуют внешние силы, получается уравнение свободных колебаний струны или волновое уравнение:

или

Волновыми эти уравнения называются потому, что они описывают распространение слабых возмущений в упругой среде (т.е. механические колебания с малыми амплитудами), которые в физике называют волнами. Волновые уравнения возникают также в задачах об электрических колебаниях, в гидродинамике и акустике, в теории упругости, при изучении электромагнитных полей.

2.2. Методы решения уравнения колебания струны

2.2.1. Метод Даламбера (метод бегущих волн) для бесконечной струны

Рассмотрим свободные колебания бесконечной струны ( ), т.е. настолько длинной, что влиянием ее концов на процесс колебаний можно пренебречь. Причинами колебаний могут являться начальные отклонения струны от равновесного положения и (или) сообщенный струне начальный импульс, обусловливающий некоторое начальное распределение скоростей частиц струны. Эти причины описываются начальными условиями. Требуется найти профиль струны в любой момент времени.

Итак, рассмотрим задачу Коши для уравнения колебания струны:

(2.3)

где – функция, задающая форму струны в начальный момент времени; – скорость точки струны в начальный момент.

Уравнение решается в явном виде с помощью замены переменных :

где

;

Аналогично,

Подставляем в уравнение

Отсюда

Интегрируя это равенство последовательно по каждой переменной, получим:

Вернемся к старым переменным:

. (2.4)

Функция описывает волну, бегущую вправо со скоростью а, а функция – волну, бегущую влево.

Функция (2.4) является общим интегралом уравнения (2.3). Теперь необходимо удовлетворить начальным условиям:

Интегрируя последнее уравнение системы, получим:

где

Или

Складывая и вычитая уравнения данной системы, находим:

Отсюда

Подставляем эти выражения в формулу (2.4) и получаем решение волнового уравнения (формула Даламбера):

. (2.5)

Рассмотрим два частных случая.

Допустим, что , т.е. струне придана начальная форма при нулевой начальной скорости. Тогда решение (2.5) принимает вид

и, следовательно, представляет собой сумму двух бегущих волн: прямой волны и обратной волны . Первая перемещается по направлению оси ОХ, а вторая – в противоположном направлении.

При решение (2.5) имеет вид

Пусть

тогда

И в этом случае решение начальной задачи представляет собой сумму двух волн: прямой волны и обратной волны .

Заметим, что рассмотренная нами бесконечная струна является математической идеализацией реальных струн очень большой длины.

Пример. Решить уравнение колебания бесконечной струны , удовлетворяющее условиям:

Решение: Имеем задачу свободных колебаний бесконечной струны (без краевых условий). Применяем формулу Даламбера:

2.2.2. Фазовая плоскость

Для выявления характера решения волнового уравнения (2.5) удобно воспользоваться плоскостью состояний (x, t) или «фазовой плоскостью» (рис.2.2). Прямые и называются характеристиками уравнения (2.5). Функция вдоль характеристики сохраняет постоянное значение, функция постоянна вдоль характеристики .

Рис.2.2. Характеристический треугольник MPQ фазовой плоскости

Рассмотрим некоторую фиксированную точку и проведем из нее обе характеристики и , которые пересекают ось ОX в точках и . Треугольник MPQ называется характеристическим треугольником точки . Отклонение точки струны в момент времени зависит только от значений начального отклонения в вершинах P и Q треугольника MPQ и от значений начальной скорости на стороне PQ:

Начальные данные, заданные вне PQ, не оказывают влияния на значения в точке . Если начальные условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на отрезке , то они однозначно определяют решение внутри характеристического треугольника, основанием которого является отрезок .

Решение можно представить в виде суммы

где

Наглядное представление о характере процесса распространения можно получить с помощью фазовой плоскости (x, t). Проведем характеристики через точки (–l, 0) и (l, 0). Они разбивают плоскость на шесть областей (рис.2.3).

Рис.2.3. Фазовая плоскость для бесконечной волны

Рассмотрим два случая.

Пусть на отрезке .

Если начальная скорость равна нулю, то отклонение есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией , равной половине начального отклонения.

Области 1, 6 – колебаний нет.

Область 2: – волна движется влево.

Область 5: – волна движется вправо.

Область 4: – волны складываются.

Область 3 – колебаний нет, отклонение равно нулю.

Пусть на отрезке .

Если начальное отклонение равно нулю, то представляет возмущение струны, создаваемое начальной скоростью.

Области 1, 6: колебаний и отклонений нет.

Область 2: – волна бежит влево с изменением формы.

Область 5: – волна бежит вправо с изменением формы.

Область 4: – волны складываются.

Область 3: – колебаний нет, но струна не возвращается в исходное положение (если постоянная не равна нулю).

Пример. Построить профиль струны при для различных моментов времени в случае

В этом случае прямая волна движется вправо, а обратная – влево (рис.2.4).

Рис. 2.4. Профили струны для различных моментов времени в случае нулевой начальной скорости

Пример. Построить профиль струны для различных моментов времени в случае

Найдем выражение для :

так как в силу непрерывности при : , а при : .

В этом случае прямая волна движется вправо, а обратная – влево (рис.2.5).

Рис.2.5. Профили струны для различных моментов времени в случае нулевого начального отклонения

График изменения профиля струны с течением времени, например, для случая можно продемонстрировать в среде MATLAB:

a=1;

l=1;

dx=.01;

x=-4*l: dx: 4*l;

u=1-abs(x);

u(abs(x)> l)=0;

u_left=.5*u;

u_right=.5*u;

for t=0:.25: 1.25

subplot(3, 2, 4*t+1);

hold on

u1=circshift(u_left, [0 -a*t/dx]);

u2=circshift(u_right, [0 a*t/dx]);

plot(x, u1, 'g-', 'lineWidth', 2);

plot(x, u2, 'b-', 'lineWidth', 2);

plot(x, u1+u2, 'r-', 'lineWidth', 3);

xlim([-4*l 4*l]);

ylim([0 1]);

grid on

xlabel('x');

ylabel('u');

title(['t=' num2str(t)]);

end

2.2.3. Метод продолжения для полубесконечной струны

Рассмотрим задачу о распространении волн на полубесконечной прямой (x ≥ 0). Следует отметить, что чаще всего имеют дело с жестким или свободным закреплением струны.

При анализе этих задач нам понадобятся леммы о свойствах решений уравнений колебаний, определенных на бесконечной прямой.

Лемма 1. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются нечетными функциями относительно некоторой точки , то соответствующее решение в этой точке равно нулю: .

Доказательство леммы 1.

Примем за начало координат, . В этом случае условия нечетности начальных данных запишутся в виде

Функция при равна

так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности , а второе равно нулю, поскольку интеграл от нечетной функции в пределах, симметричных относительно начала координат, всегда равен нулю.

Лемма 2. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются четными функциями относительно некоторой точки , то производная по x соответствующего решения в этой точке равна нулю: .

Доказательство леммы 2.

Условие четности начальных данных имеет вид:

Заметим, что производная четной функции является функцией нечетной: Рассмотрим производную:

;

Так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности , а второе – в силу четности .

Жесткое закрепление.

Рассмотрим случай, когда струна жестко закреплена в точке , т.е. в данной точке отклонение струны всегда равно нулю.

Задача ставится следующим образом: ищем решение системы уравнений

Рассмотрим функции и (x), являющиеся нечетными продолжениями функций и . Тогда функция

определена для всех . В силу леммы 1 .

Кроме того, эта функция удовлетворяет при и следующим начальным условиям:

Таким образом, рассматривая полученную функцию только для , мы получим функцию, удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи.

Свободное закрепление.

Теперь рассмотрим случай, когда при мы имеем свободный конец. Это значит, что касательная в точке 0 параллельна оси x:

Делаем четное продолжение функций и . Получим решение уравнения колебаний в виде функции

определенной для всех . В силу леммы 2 .

Кроме того, эта функция удовлетворяет при и следующим начальным условиям:

Вывод. Для решения задачи на полуограниченной прямой с граничным условием начальные данные надо продолжить на всю прямую нечетным образом.

Для решения задачи на полуограниченной прямой с граничным условием начальные данные надо продолжить на всю прямую четным образом.

2.2.4. Метод продолжения для конечной струны (начальная и конечная точки жестко закреплены)

Рассмотрим краевую задачу для ограниченного отрезка (0, l). Будем искать решение уравнения

,

удовлетворяющее граничным условиям

и начальным условиям

Будем искать решение задачи методом продолжения, предполагая возможность следующего представления:

,

где (x) и (x) – функции, подлежащие определению. Начальные условия

определяют значения (x) и (x) в интервале (0, l).

Для того чтобы удовлетворить нулевым граничным условиям, наложим на функции (x) и (x) требования нечетности относительно точек x = 0, x = l:

Сопоставляя эти равенства, получим:

и аналогично для Ψ (x), т.е. (x) и (x) – периодические функции с периодом 2l.

Нетрудно видеть, что условия нечетности относительно начала координат и условия периодичности определяют продолжение (x) и (x) на всей прямой . Подставляя их, получаем решение задачи.

Пример. Решить уравнение колебания полубесконечной струны , удовлетворяющее условиям:

Решение. Имеем задачу свободных колебаний полубесконечной струны (с краевым условием ). Так как , то продолжим функции и на отрицательную полуось нечетным образом

Тогда по формуле Даламбера:

=

Пример. Решить уравнение колебания полубесконечной струны , удовлетворяющее условиям:

Решение. Имеем задачу свободных колебаний полубесконечной струны (с краевым условием ). Так как , то продолжим функцию на отрицательную полуось четным образом ( ):

,

Тогда по формуле Даламбера:

=

Упражнения.

Решить уравнение колебания бесконечной струны, удовлетворяющее условиям:

2.1.

Ответ: .

2.2.

Ответ: .

2.3.

Ответ: .

2.4.

Ответ: .

2.5.

Ответ: .

2.6.

Ответ: .

2.7.

Ответ: .

2.8.

Ответ: .

Решить уравнение колебания полубесконечной струны , удовлетворяющее условиям:

2.9.

Ответ:

2.10.

Ответ:

2.11.

Ответ: .

2.12.

Ответ:

2.13.

Ответ: