ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

3.1. Числовые ряды: основные определения

Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных)

Определение. Числовым рядом называется выражение вида

(1)

Ряд обозначается: . Числа называются членами ряда. Ряд (1) задан, если известен его общий член , т.е. указано правило, по которому каждому номеру ставится в соответствие определённое значение функции .

Определение. Сумма конечного числа первых членов числового ряда называется - й частичной суммой, т.е.

Рассмотрим последовательность частичных сумм числового ряда

Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм, равный , то ряд называется сходящимся, а называется его суммой:

Если предел последовательности не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Определение. Если в ряде (1) отбросить первые членов, то получится ряд:

называемый остатком ряда (1).

Простейшие свойства числовых рядов. Необходимый

Признак сходимости

Свойства:

1. Если ряд сходится, то сходится и любой из его остатков.
Если сходится какой-либо из остатков ряда, то сходится и сам ряд.

2. Если числовой ряд сходится и его сумма равна , то и ряд , где – произвольное число, также сходится и его сумма равна .

3. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно и , то ряд также сходится и его сумма равна .

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при стремлении к бесконечности, т.е.

Следствие. Если общий член ряда не стремится к нулю при стремящемся к бесконечности, т.е. если не выполняется условие

то ряд расходится.

Замечание. Условие является необходимым, но недостаточным, т.е. если , то ряд может, как сходится, так и расходится. Например, ряд расходится, хотя .

Пример 1. Используя необходимый признак сходимости, доказать расходимость ряда .

Решение. Согласно необходимому условию, если ряд сходится, то .

Имеем: .

Найдем :

Так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда, то ряд расходится.

Степенные ряды

Определение. Степенным рядомназывается функциональный ряд вида

, (6)

где – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Если , то степенной ряд примет вид:

(7)

Теорема (Абеля). Если степенной ряд (6) сходится в точке , то он абсолютно сходится в каждой точке , для которой .

Следствие. Если степенной ряд (6) расходится при некотором значении , то он расходится и при всех значениях , для которых .

Из теоремы Абеля и её следствия следует, что для степенного ряда (6) возможны три случая:

1) ряд сходится только в точке ;

2) ряд сходится при всех ;

3) существует число такое, что при всех из интервала ряд сходится абсолютно, а при всех , для которых , ряд расходится.

Определение. Радиусом сходимости ряда (6) называется число , такое, что при ряд сходится, а при расходится. Интервал в этом случае называется интервалом сходимостиряда (6).

Замечание 1. Если числовой ряд (6) сходится на всей числовой оси, то полагают ; если он сходится только при , то .

Замечание 2. На концах интервала вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается путём исследования соответствующих числовых рядов, получающихся при подставлении граничных значений в исследуемый ряд.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов:

1) Если среди коэффициентов ряда нет равных нулю, т.е. ряд содержит все целые положительные степени разности , то для вычисления радиуса сходимости степенного ряда можно применять формулы:

(8)

(9)

2) Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда, т.е. к ряду

или

Пример 10. Найти область сходимости ряда .

Решение. Так как среди коэффициентов ряда есть нулевые, то найдем интервал сходимости, применяя признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда, т.е к ряду

Имеем:

; ;

Тогда

По признаку Даламбера ряд сходится, если . Значит, интервалом абсолютной сходимости данного ряда будет интервал:

;

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При , получим числовой ряд

1. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этогоисследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Сравним его с гармоническим рядом , который расходится.

Так как

т.е. . Следовательно, на основании второго признака сравнения ряд также расходится.

Следовательно, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

2. Используя признак Лейбница, исследуем ряд на условную сходимость. Для этого проверим условия (4):

Очевидно, что данное неравенство верно для любого

2) .

Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполняются условия признака Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится условно.

При получим ряд

расходимость которого доказана выше.

Следовательно, – область сходимости ряда;

– область абсолютной сходимости ряда.

Пример 11. Найти область сходимости ряда .

Решение. Так как ряд содержит все целые положительные степени разности и все коэффициенты ряда содержатся в степени , то для вычисления радиуса сходимости степенного ряда воспользуемся формулой (9).

Так как , то согласно формуле (9) находим

Таким образом, исследуемый ряд сходится абсолютно на всей числовой оси.

Ряды Тейлора

Мы рассматривали степенные ряды вида

или

Каждый из таких рядов в своей области сходимости сходится к некоторой функции, сумме степенного ряда. Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Как известно, для любой функции , определённой в окрестности точки и имеющей в ней производные до -го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

, (10)

где – остаточный член в форме Лагранжа. Число можно записать в виде , где .

Формулу (10) кратко можно записать в виде

где – многочлен Тейлора.

Если функция имеет производные любых порядков ( т.е. бесконечно дифференцируема ) в окрестности точки , то в формуле Тейлора мы можем использовать сколь угодно много членов. Тогда формула (10) примет вид:

. (11)

Определение. Ряд в разложении (11), называется рядом Тейлора для функции , а коэффициенты этого степенного ряда

называются коэффициентами Тейлора.

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням в так называемый ряд Маклорена:

Замечание. В ряд Тейлора можно разложить любую бесконечно дифференцируемую в окрестности точки функции . Это является необходимым условием разложения функции в ряд Тейлора. Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходящимся, но не к функции .

Теорема. Для того чтобы при некотором значении имело место разложение (11), необходимо и достаточно, чтобы при этом значении остаточный член формулы Тейлора (10) стремился к нулю при неограниченном возрастании , т.е. чтобы

Способы разложения функции в ряд Тейлора

1. Непосредственное разложение

Для разложения функции в ряд Тейлора нужно:

а) найти все производные до порядка включительно:

;

б) вычислить значения производных в точке ;

в) составить ряд ;

г) найти радиус сходимости степенного ряда и интервал сходимости ;

д) доказать, что остаточный член ряда при , ;

е) Таким образом, при .

2. Косвенное разложение

В этом случае используют уже известные разложения и, применяя метод подстановки, получают разложения для других рядов.

Приведём разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена:

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

, ;

В частности,

а) ;

б) ;

7. , ;

, ;

9. , .

Пример 12. Разложить в ряд Маклорена функцию , пользуясь косвенным методом.

Решение. Заменяя на в разложении 6, получим:

, .

Пример 13. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки (по степеням ).

Решение. Разложим функцию на сумму простейших дробей:

Найдём :

Таким образом,

Разложим дроби и в ряд Тейлора по степеням , используя разложения 6а) и 6б):

Следовательно, разложение функции в ряд Тейлора по степеням имеет вид:

где

– интервал сходимости.

Рис. 1.

На оси Ох расположены все действительные числа, а на оси Оу – чисто мнимые, т.е. комплексные числа вида .

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью (её также обозначают C). Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой.

Длина вектора , изображающего комплексное число , есть модуль комплексного числа:

а угол , который образует этот вектор с осью Ох, называется аргументом комплексного числа .

Очевидно, что угол определён с точностью до .

Условимся называть главным значением аргумента – значение угла в интервале . Символически главное значение аргумента комплексного числа обозначают:

Тогда всю совокупность значений аргумента обозначают символом:

Очевидны формулы:

при

Из рис. 1 легко получить соотношения: , тогда

Определение. Представление комплексного числа в виде называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для сокращения записи комплексных чисел в тригонометрической форме удобно использовать формулу Эйлера:

Тогда комплексное число можно записать в виде:

Определение. Представление комплексного числа в виде называется показательной формой записи комплексного числа.

Таким образом, комплексное число может быть записано в трёх равноправных формах:

– алгебраическая форма записи комплексного числа;

– тригонометрическая форма записи комплексного числа;

– показательная форма записи комплексного числа,

где ,

Пример 3. Записать комплексные числа в трёх формах записи:

а) ; б) ; б) и изобразить их векторами на плоскости.

Решение. а) – алгебраическая форма записи комплексного числа . Находим модуль и аргумент комплексного числа .

Здесь ,

Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

– показательная форма записи комплексного числа .

б) – алгебраическая форма записи комплексного числа . Находим модуль и аргумент комплексного числа Здесь Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

– показательная форма записи комплексного числа .

в) – алгебраическая форма записи комплексного числа . Находим модуль и аргумент комплексного числа Здесь

Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

– показательная форма записи комплексного числа .

Рис. 2.

Изображения комплексных чисел представлены на рис. 2.

4.3. Формула Муавра и извлечение корня п-ой степени из комплексного числа

Вычислив произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно убедиться, что модуль и аргумент комплексного числа обладают следующими свойствами:

. Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел: .

. Аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов этих чисел: .

Используя эти свойства, легко можно получить формулу возведения комплексного числа в целую положительную степень, а именно:

если , то

– формула Муавра,

или в показательной форме записи:

Определение. Корнем п-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , которое, будучи возведено в степень п даст число .

Из определения и формулы Муавра ясно, что модуль искомого корня будет , а аргумент

Таким образом,

(1)

Придавать значения, большие , не имеет смысла, так как будем получать уже имеющиеся значения аргумента (с точностью до ).

Следовательно, корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, модули которых одинаковы ( ), т.е. все значения корня лежат на окружности с центром в начале координат радиуса , а аргументы последовательных значений отличаются на угол .

Пример 4. Используя формулу Муавра, вычислить:

а) ; б)

Решение. а) Представим число в тригонометрической форме. Имеем:

. Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа .

Применяя формулу Муавра, получим:

б) Представим число в тригонометрической форме. Имеем: . Поэтому

– тригонометрическая форма записи комплексного числа .

Применяя формулу Муавра, получим:

Пример 5. Найти все значения корня: .

Решение. Представим комплексное число в тригонометрической форме. Здесь Поэтому

По формуле (1) находим:

где

Полагая , получим:

Найденным корням соответствуют вершины правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (рис. 3).

Рис. 3.

Показательная функция

где

Свойства показательной функции:

1) Непрерывна на всей комплексной плоскости;

2) Периодична с периодом т.е. ;

3) Принимает все значения, кроме нуля, т.е. уравнение разрешимо для любого ;

4) ;

Логарифмическая функция

Функция, обратная к показательной функции , называется логарифмической и обозначается .

Она определена для любого и .

Пусть тогда и из свойств показательной функции имеем:

Получаем:

Эта функция является многозначной. Главным значением называется то значение, которое получается при ; оно обозначается

Тогда

Справедливы следующие соотношения:

1) ;

2) ;

3) где

Тригонометрические функции

Функции и для определяются формулами:

Свойства:

1) Непрерывны на всей комплексной плоскости;

2) Периодичны с периодом , т.е.

3) Принимают любые значения, т.е. уравнения и имеют решения для любого комплексного числа ;

4) – нечётная функция, – чётная функция;

5) при при ;

6) Все тригонометрические формулы для действительного аргумента справедливы и для комплексного аргумента , например:

Функции и определяются формулами:

непрерывна при

Гиперболические функции

Функции (гиперболический синус) и (гиперболический косинус) комплексного переменного определяются формулами:

т.е.

Гиперболические тангенс и котангенс определяются формулами:

Свойства гиперболических функций вытекают из свойств и , все формулы, справедливые при действительных значениях справедливы и для комплексных значений , например: