ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

Комплексные числа: определение, алгебра комплексных чисел, алгебраическая форма записи

Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел:

Например,

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если и .

Определение. Суммой комплексных чисел и называется число , определяемое равенством:

Определение. Произведением комплексных чисел и называется число , определяемое равенством:

Легко проверить, что операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

1. Коммутативности:

2. Ассоциативности:

3. Дистрибутивности сложения относительно умножения:

4. Операции сложения и умножения над комплексными числами вида :

совпадают с соответствующими операциями над действительными числами и . Поэтому комплексные числа вида отождествляют с действительными числами: т.е. совокупность всех действительных чисел является частью совокупности комплексных чисел.

Среди комплексных чисел особую роль играет число , так как т.е. квадрат этого числа равен − 1. Поэтому это число имеет особое обозначение: и его называют мнимой единицей:

Теперь всякое комплексное число мы можем записать в виде:

Итак, – алгебраическая форма записи комплексного числа

В этом случае называют действительной частью комплексного числа и символически обозначают:

называют мнимой частью комплексного числа и символически обозначают:

Определение. Число называют модулем комплексного числа и символически обозначают , т.е.

Определение. Комплексное число называется сопряжённым с комплексным числом и обозначается символом , т.е.

и – пара комплексно-сопряжённых чисел.

Легко убедиться, что . Действительно,

Используя введённые выше операции сложения и умножения комплексных чисел, можно определить операции вычитания и деления комплексных чисел.

Определение. Разностью комплексных чисел и называется такое число , что Очевидно, что вычитание всегда выполнимо и, притом, единственным образом:

Определение. Частным двух комплексных чисел и называется такое число , что .

Для выполнения операции деления достаточно домножить числитель и знаменатель на , т.е. на число сопряжённое знаменателю, тогда

т.е. деление на комплексное число (не равное нулю) выполнимо и единственно.

Замечание. Введённые правила выполнения арифметических действий над комплексными числами таковы, что если комплексные числа записаны в алгебраической форме, то все действия можно выполнять точно также, как и с действительными числами, помня только, что , и для выполнения деления необходимо числитель и знаменатель умножить на число, сопряжённое знаменателю.

Пример 1. Найти если , .

Решение. Чтобы выполнить указанные действия, з апишем заданные комплексные числа и в алгебраической форме:

Тогда имеем:

Пример 2. Найти если

Решение. - это действительная частькомплексного числа . Имеем:

– это мнимая часть комплексного числа . Имеем:

Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа

Поскольку комплексное число мы определили как упорядоченную пару действительных чисел, то вполне естественно изобразить комплексное число точкой плоскости с декартовыми координатами либо вектором, идущим из начала координат в эту точку (рис. 1).

Рис. 1.

На оси Ох расположены все действительные числа, а на оси Оу – чисто мнимые, т.е. комплексные числа вида .

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью (её также обозначают C). Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой.

Длина вектора , изображающего комплексное число , есть модуль комплексного числа:

а угол , который образует этот вектор с осью Ох, называется аргументом комплексного числа .

Очевидно, что угол определён с точностью до .

Условимся называть главным значением аргумента – значение угла в интервале . Символически главное значение аргумента комплексного числа обозначают:

Тогда всю совокупность значений аргумента обозначают символом:

Очевидны формулы:

при

Из рис. 1 легко получить соотношения: , тогда

Определение. Представление комплексного числа в виде называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для сокращения записи комплексных чисел в тригонометрической форме удобно использовать формулу Эйлера:

Тогда комплексное число можно записать в виде:

Определение. Представление комплексного числа в виде называется показательной формой записи комплексного числа.

Таким образом, комплексное число может быть записано в трёх равноправных формах:

– алгебраическая форма записи комплексного числа;

– тригонометрическая форма записи комплексного числа;

– показательная форма записи комплексного числа,

где ,

Пример 3. Записать комплексные числа в трёх формах записи:

а) ; б) ; б) и изобразить их векторами на плоскости.

Решение. а) – алгебраическая форма записи комплексного числа . Находим модуль и аргумент комплексного числа .

Здесь ,

Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

– показательная форма записи комплексного числа .

б) – алгебраическая форма записи комплексного числа . Находим модуль и аргумент комплексного числа Здесь Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

– показательная форма записи комплексного числа .

в) – алгебраическая форма записи комплексного числа . Находим модуль и аргумент комплексного числа Здесь

Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

– показательная форма записи комплексного числа .

Рис. 2.

Изображения комплексных чисел представлены на рис. 2.

4.3. Формула Муавра и извлечение корня п-ой степени из комплексного числа

Вычислив произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно убедиться, что модуль и аргумент комплексного числа обладают следующими свойствами:

. Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел: .

. Аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов этих чисел: .

Используя эти свойства, легко можно получить формулу возведения комплексного числа в целую положительную степень, а именно:

если , то

– формула Муавра,

или в показательной форме записи:

Определение. Корнем п-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , которое, будучи возведено в степень п даст число .

Из определения и формулы Муавра ясно, что модуль искомого корня будет , а аргумент

Таким образом,

(1)

Придавать значения, большие , не имеет смысла, так как будем получать уже имеющиеся значения аргумента (с точностью до ).

Следовательно, корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, модули которых одинаковы ( ), т.е. все значения корня лежат на окружности с центром в начале координат радиуса , а аргументы последовательных значений отличаются на угол .