Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции

Пусть функция определена в некоторой области комплексного переменного . Пусть точки и принадлежат области . Обозначим:

Определение.Функция называется дифференцируемой в точке , если отношение имеет конечный предел при произвольным образом. Этот предел называется производной функции и обозначается символом (или , или ), так что по определению

Если , то в каждой точке дифференцируемости функции выполняются соотношения:

называемые условиями Коши-Римана.

Обратно, если в некоторой точке функции и дифференцируемы как функции действительных переменных и и, кроме того, удовлетворяют условиям Коши-Римана, то функция является дифференцируемой в точке как функция комплексного переменного .

Определение.Функция называется аналитической в данной точке , если она дифференцируема как в самой точке , так и в некоторой её окрестности. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Для любой аналитической функции имеем:

Пример 8.Показать, что функция является аналитической на всей комплексной плоскости.

Решение. Имеем: , так что

Для функций и проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполняются во всех точках. Значит, функция всюду аналитическая. Тогда

Итак,

Пример 9.Является ли функция аналитической хотя бы в одной точке?

Решение.Имеем: , так что

Найдём частные производные функций и :

Условия Коши-Римана в этом случае имеют вид:

и удовлетворяются только в одной точке

Следовательно, функция дифференцируема только в точке и нигде не аналитична.

Таким образом,

Для производных от функций комплексного переменного имеют место правила, аналогичные соответствующим правилам для производных от функций действительного переменного. А именно: если в точке существуют производные и , то существуют и производные , , , , причём выполняются следующие равенства:

где – комплексное число;

(при ).

Производные основных элементарных функций находятся по тем же формулам, что и для действительного аргумента:

1.	7.
2.	8.
3.	9.
4.	10.
5.	11.
6.	12.
7.	13.

Если функция – аналитическая в области , то её действительная часть и мнимая часть являются функциями, гармоническими в области . Это значит, что у каждой из функций и существуют непрерывные в частные производные 2-го порядка, и для каждой из них верно уравнение Лапласа:

Если функция (функция ) является гармонической в некоторой области (вообще говоря, односвязной, т.е. ограниченной замкнутой несамопересекающейся линией), то существует аналитическая в функция с действительной частью (соответственно, с мнимой частью ), определяемая с точностью до постоянного слагаемого.

Пользуясь условиями Коши-Римана, аналитическую функцию можно восстановить, если известна её действительная часть или мнимая часть .

Пример 10.Восстановить функцию по известной её действительной части и дополнительном условии

Решение.Проверим, является ли функция гармонической.

Имеем: Вычислим частные производные 2-го порядка:

Отсюда т.е. функция удовлетворяет уравнению Лапласа, а, значит, является гармонической.

Имеем: По первому из условий Коши-Римана должно быть так что

Отсюда где функция пока неизвестна.

Дифференцируя по и используя второе из условий Коши-Римана, получим:

а так как то

отсюда а значит где

Итак, и, следовательно,

Таким образом, Постоянную найдём из условия т.е. , отсюда

Ответ:

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8. ЗАДАНИЯ

1. (табл. 1).

а) доказать расходимость ряда, используя необходимое условие

сходимости;

б) исследовать на сходимость ряд, используя признаки сравнения;

в) исследовать на сходимость ряд, используя признак Даламбера;

г) исследовать на сходимость ряд, используя радикальный признак Коши.

2.Исследовать на сходимость ряд (табл. 2).

3.Найти область сходимости ряда (табл. 3).

4.Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки (табл. 4).

5.Записать комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах записи. Найти:

1) ; 2) (табл. 5).

6.Найти все значения корней из комплексного числа (табл. 6).

7.Для заданной функции найти действительную и мнимую части, т.е. представить функцию в виде: (табл. 7).

8.Записать в алгебраической форме заданное комплексное число (табл. 8).

9.Даны функции комплексного переменного и . Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти (табл. 9).

10.Восстановить аналитическую функцию по известной действительной или мнимой части и значению (табл. 10).

Пример выполнения контрольной работы № 8. Вариант № 0

Задание 1.

а) Доказать расходимость ряда , используя необходимое условие сходимости;

б) Исследовать на сходимость ряд , используя признаки сравнения;

в) Исследовать на сходимость ряд , используя признак Даламбера;

г) Исследовать на сходимость ряд , используя радикальный признак Коши.

Решение.

а) Согласно необходимому условию, если ряд сходится, то .

Имеем: .

Найдём :

Так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда, то ряд расходится.

б) Так как при , то согласно таблице эквивалентных бесконечно малых имеем:

Рассмотрим ряд:

который расходится, так как расходится ряд Дирихле .

Применим второй признак сравнения. Для этого вычислим:

Следовательно, ряд также расходится.

в) имеем:

Тогда

Следовательно, по признаку Даламбера исследуемый ряд расходится.

г) имеем:

Тогда

Следовательно, по признаку Коши ряд сходится.

Задание 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Проверим, сходится ли данный знакочередующийся ряд абсолютно. Для этогоисследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Применим к ряду из абсолютных величин признак Даламбера. Имеем:

Тогда

Следовательно, ряд сходится. А значит, ряд сходится абсолютно.

Задание 3. Найти область сходимости ряда

Решение.Найдем сначала радиус сходимости степенного ряда по формуле:

Имеем: .

Тогда

Значит, интервалом абсолютной сходимости данного ряда будет интервал:

;

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При , получим числовой ряд

1) Ряд не является абсолютно сходящимся, так как ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда, являющийся рядом Дирихле с , расходится.

2) Используя признак Лейбница, исследуем ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнимость условий признака Лейбница для данного ряда:

Очевидно, что данное неравенство верно для любого

2. .

Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполняются условия признака Лейбница, откуда следует, что ряд сходится условно.

При , получим числовой ряд

, который расходится.

Следовательно, – область сходимости ряда;

– область абсолютной сходимости ряда.

Задание 4.

Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение: Преобразуем :

(*)

Разложим в ряд Маклорена, заменяя на в известном разложении . Получаем:

Подставляя полученное разложение в (*) и возвращаясь к переменной получаем:

;

– интервал сходимости.

Задание 5. Записать комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах записи. Найти: 1) ; 2)

Решение.а) –алгебраическая форма записи комплексного числа

Находим модуль и аргумент комплексного числа .Здесь ,

Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа

– показательная форма записи комплексного числа

б) –алгебраическая форма записи комплексного числа

Находим модуль и аргумент комплексного числа .Здесь , Значит,

– тригонометрическая форма записи числа

– показательная форма записи комплексного числа

в) –алгебраическая форма записи комплексного числа

Находим модуль и аргумент комплексного числа :

Здесь ,

Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа

– показательная форма записи комплексного числа

Найдём:

, т.е. получили комплексное число с действительной частью и мнимой частью

, т.е. получили в результате комплексное число с действительной частью и мнимой частью

Задание 6.Найти все значения корней: .

Решение.Представим комплексное число в тригонометрической форме. Здесь

Поэтому

Используя формулу

находим:

где

Полагая получим:

Задание 7.Для заданной функции найти действительную и мнимую части, т.е. представить функцию в виде

Решение.Учитывая, что , получаем:

т.е.

Задание 8.Записать в алгебраической форме комплексное число

Решение.Используя формулу имеем:

Задание 9.Даны функции комплексного переменного и . Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти

Решение.а)Имеем:

, так что

Для функций и найдём частные производные:

Условия Коши-Римана в этом случае имеют вид:

и удовлетворяются только в одной точке

Следовательно, функция дифференцируема только в точке и нигде не аналитична.

Таким образом,

б) Имеем:

, так что

Для функций и найдём частные производные:

Условия Коши-Римана в этом случае имеют вид:

и выполняются во всех точках. Значит, функция всюду аналитическая. Тогда

Итак,

Задание 10. Восстановить аналитическую функцию по известной мнимой части и дополнительному условию

Решение.Имеем: По первому из условий Коши-Римана должно быть так что

Отсюда где функция пока неизвестна.

Дифференцируя по и используя второе из условий Коши-Римана, получим:

а так как то

отсюда где

Итак, и, следовательно,

Таким образом, Постоянную найдём из условия т.е. , отсюда

Итак,

Варианты заданий контрольной работы № 8

Таблица 1. Варианты задания 1

	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)		а) ; б) ; в) ; г) .