Математическая обработка равноточных измерений
Задание 1. При измерении углов в триангуляции первого класса получены угловые невязки треугольников. Считая, что невязки являются истинными погрешностями суммы углов треугольника, необходимо определить:
1) среднюю квадратическую, среднюю, вероятную и предельную погрешности суммы углов треугольника;
2) проверить свойства случайных погрешностей данного ряда измерений.
Угловые невязки по вариантам приведены в таблице 2.1
Таблица 2.1
Невязка в сумме углов треугольников
Варианты результатов измерений, с
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| -0, 05
| +0, 56
| +0, 34
| -0, 51
| +1, 04
| -0, 41
| -1, 57
| -1, 00
| -0, 26
| +0, 82
| +0, 44
| +0, 38
| +0, 08
| -0, 09
| +0, 48
| +2, 03
| +0, 55
| +0, 21
| -0, 41
| -1, 15
| +1, 31
| -0, 79
| +0, 88
| +1, 00
| +1, 03
| +1, 36
| +0, 03
| +0, 75
| -0, 14
| -1, 55
| -0, 54
| -0, 72
| -0, 73
| +0, 98
| +0, 09
| +0, 51
| -0, 36
| 0, 45
| +0, 55
| +0, 66
| -0, 14
| -1, 06
| -1, 06
| -0, 73
| +0, 98
| +0, 46
| -1, 55
| -0, 54
| -0, 73
| +1, 04
| +0, 75
| -1, 95
| +0, 21
| -0, 26
| -0, 45
| +0, 48
| -1, 04
| -0, 41
| -0, 41
| +0, 35
| +2, 03
| +0, 55
| +1, 36
| -0, 73
| -1, 04
| -0, 79
| -0, 04
| +0, 71
| -0, 35
| +0, 34
| -0, 63
| +1, 04
| -0, 47
| -0, 45
| +0, 56
| -0, 34
| +0, 38
| +2, 03
| -1, 06
| -0, 28
| -1, 15
| +1, 13
| +0, 45
| -0, 54
| +0, 75
| -0, 22
| +0, 08
| -0, 14
| -1, 57
| -0, 05
| +0, 87
| +1, 31
| +0, 48
| +0, 51
| +1, 31
| +0, 88
| -0, 72
| -0, 41
| +1, 99
| +0, 51
| +0, 03
| +0, 31
| +1, 31
| +0, 48
| -1, 20
| -0, 73
| +0, 55
| -0, 22
| -0, 79
| -0, 97
| +0, 21
| +0, 03
| -1, 36
| -0, 28
| -0, 14
| +0, 08
| +0, 81
| -0, 14
| +0, 76
| -1, 20
| -0, 42
| +1, 04
| +0, 88
| -1, 36
| -0, 51
| -0, 45
| -0, 97
| -0, 79
| -0, 45
| -0, 41
| -0, 73
| -1, 06
| +0, 73
| +0, 35
| -0, 41
| +1, 00
| -0, 97
| +0, 22
| +0, 03
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| +0, 88
| -1, 95
| +0, 35
| -0, 83
| +1, 36
| -1, 04
| -0, 79
| -0, 33
| -0, 72
| -0, 73
| +0, 88
| 0, 75
| +0, 47
| -0, 72
| +1, 13
| +0, 45
| +0, 46
| +0, 98
| +0, 38
| -0, 63
| -0, 33
| +0, 26
| +0, 21
| +1, 55
| -1, 95
| -0, 63
| -0, 26
| +0, 25
| +0, 74
| -1, 00
| -0, 72
| -0, 55
| +0, 87
| +0, 75
| -0, 26
| +0, 25
| -0, 26
| +2, 03
| +0, 35
| -1, 04
| -0, 33
| -0, 26
| -0, 26
| +0, 82
| +0, 21
| +0, 34
| -1, 20
| +0, 99
| +0, 47
| -0, 72
| -0, 79
| +0, 56
| -0, 83
| -1, 03
| -0, 79
| -0, 33
| +0, 61
| -1, 38
| -0, 51
| -1, 57
| -0, 76
| -1, 36
| +0, 25
| +0, 35
| +0, 76
| -1, 55
| +1, 36
| -0, 14
| +0, 73
| +0, 73
| -1, 38
| +0, 25
| +0, 61
| +1, 31
| +0, 73
| -0, 97
| -0, 51
| -0, 45
| +0, 38
| -0, 05
| -1, 04
| +0, 43
| +0, 76
| -1, 20
| +0, 82
| +0, 47
| -0, 26
| +0, 09
| -0, 79
| +0, 88
| +0, 21
| +0, 03
| -0, 73
| +0, 48
| -0, 79
| -0, 05
| -1, 20
| -0, 73
| -1, 00
| -0, 26
| +0, 74
| -0, 73
| -0, 33
| +1, 13
| -0, 72
| -0, 41
| +0, 31
| -0, 14
| +0, 33
| -0, 34
| +0, 87
| +1, 31
| +0, 45
| -0, 33
| +1, 13
| +1, 36
| -0, 26
| +0, 74
| +0, 73
| -1, 06
|
|
|
|
|
|
| -1, 95
| -0, 79
| +0, 88
| +0, 38
| +0, 47
| -0, 26
| -0, 35
| +0, 34
| +0, 04
| -1, 04
| -0, 73
| +0, 55
| +0, 38
| +2, 03
| -0, 79
| +0, 73
| -0, 97
| +0, 87
| +0, 25
| +0, 61
| -0, 45
| +0, 48
| -0, 28
| -0, 63
| -0, 79
| -0, 54
| +1, 36
| -0, 73
| -0, 28
| +0, 76
| -1, 36
| -1, 20
| -0, 51
| +1, 36
| -0, 14
| -1, 06
| -0, 9
| +0, 75
| +0, 73
| -0, 41
| +1, 31
| -0, 79
| +0, 51
| -1, 20
| +1, 99
| +0, 76
| +0, 21
| +0, 38
| +0, 03
| +0, 75
| +0, 5
| +1, 99
| -0, 97
| +0, 42
| -1, 57
| -1, 00
| -0, 22
| +0, 87
| -1, 25
| +0, 73
| -0, 72
|
| +0, 08
|
| +1, 0
| -1, 36
| -1, 36
| +0, 87
|
|
| +1, 04
| +1, 39
| -1, 11
| -0, 79
|
|
|
|
|
| -0, 97
|
|
|
|
| +1, 70
| +1, 00
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| +0, 17
| 0, 03
| +0, 29
|
Задание 2. Для исследования точности измерения горизонтальных углов теодолитом в одинаковых условиях один и тот же угол измерен несколько раз. Необходимо найти вероятнейшее значение угла, СКП одного измерений и СКП арифметической середины.
Исходные данные приведены в таблице 2.2.
Таблица 2.2
Результаты измерений углов
Номер вари-анта
| И з м е р е н и е
| Град.
| Мин.
| Сек.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методические рекомендации:
Обработка рядов равноточных измерений ведется по следующим формулам:
1) истинная ошибка i-го результата измерения

где хi – совокупность равноточных результатов многократных измерений одной величины;
х – истинное значение измеряемой величин;
2) отклонение i-го результата измерения от средней арифметической
,
где - средняя арифметическая результатов измерений (простая арифметическая середина);
3) средняя арифметическая результатов измерений
,
где n – число измерений.
При наличии больших рядов наблюдений вычисления удобнее вести относительно наименьшего результата в ряду измерений. Тогда средняя арифметическая определяется по формуле
,
где - уклонение измерений от наименьшего результата
;
4) расчет средней квадратической ошибки
- формула Гаусса;
- формула Бесселя;
- формула Петерса;
5) средняя ошибка
; ;
6) вероятная ошибка
;
7) предельная ошибка
;
8) ошибка округления
,
где t – значение единицы последнего сокращенного разряда;
9) относительная ошибка
;
10) расчет средней квадратической погрешности средней арифметической середины
;
11) контроль правильности вычисления , и :
;
.
Для удобства расчета рекомендуется использовать формуляры в виде таблиц 2.3 и 2.4.
Таблица 2.3
Номер измерения
| Истинная погрешность измерения,
, с
|
| Вычисление по формулам
|
|
|
|
|
|
|
|
| .
|
|
|
| .
|
|
|
| .
|
|
|
| n
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.4
Номер измерения
| Результат измер. угла
| d
| u
| uu
| Вычисление
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| .
|
|
|
|
|
| .
|
|
|
|
|
| .
|
|
|
|
|
| n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Осн: 1.[9-20], 3.[4-9]
Контрольные вопросы:
1) Как вычисляется погрешность измерения?
2) Какая величина называется средней арифметической?
3) Какие измерения называются равноточными?
4) Как можно посчитать СКП?
5) Как производиться контроль вычислений?
Лабораторная работа №3
|