Статистическое исследование ряда случайных погрешностей измерений

Задание №1. При измерении углов в триангуляции I класса получены угловые невязки треугольников. Считая, что невязки являются истинными погрешностями суммы углов треугольника необходимо провести статистическую обработку. Данные в таблице 1.1.(см. лаб. раб. №2)

Методические рекомендации:

Для исследова­ния организуют совокупность случайных независимых зна­чений изучаемого параметра и проводят ее статистическую обработку, в процессе которой находят основные параметры распреде­ления (выборочные математическое ожидание, дисперсию, асиммет­рию, эксцесс и т. п.) и определяют степень близости фактического распределения данной совокупности случайных значений некоторому предполагаемому теоретическому распределению. При анализе результатов измерений в качестве предполагаемого принимают нормальное распределение. Расчеты рекомендуется производить в формуляре (таблица 7.1)

Таблица 7.1

Номер измерения	Измеренное значение х	e	e2	e3	e4
.
.
n	X	[e]	[e2]	[e3]	[e4]

 

Последовательность обработки

1. Вычисляют следующие показатели:

а) смещение выборочного среднего арифметического значения относительно «истинного» равно

отсюда вычисляют среднее значение из ряда измерений.

б) центральный момент второго порядка (выборочная диспер­сия измеренных значений) составляет

отсюда средняя квадратическая погрешность измерений вычисляется так:

в) центральный момент третьего порядка находится следующим образом:

отсюда асимметрия кривой фактического распределения опреде­ляется как

г) центральный момент четвертого порядка выражается формулой

отсюда эксцесс кривой фактического распределения получается равным

Замечаем, что полученная асимметрия называется левосторонней при А> 0, правосторонней – при А< 0. Вершина кривой фактического распределения несколько ниже вершины кривой теоретического нормального распределения при Э< 0, при Э> 0 - наоборот.

2. Оценивают допустимые значения асимметрии и эксцесса:

Если величины асимметрии и эксцесса незначительны и не выходят за пределы допусков - это свидетельствует о том, что фактическое распределение может быть близким к нормальному.

3. Проверяют соответствие фактического распределения слу­чайных значений e_i нормальному закону. Обычно применяют один из двух наиболее употребительных критериев согласия: Пирсона или Колмогорова.

В обоих критериях оперируют над группированными исходными данными. Для этого значения e_i располагают в возрастающем по­рядке и полученный, вариационный ряд разбивают на равные интервалы. Ширину интервала h принимают примерно равной по­ловине предполагаемой средней погрешности.

Верхние границы интервалов х_i отложены по обе стороны от нуля (столбец 1, табл. 7.2). Для каждого интервала находят частоту n_i — число случайных величин ряда, попавших внутрь соответст­вующего интервала. Эти частоты расположены в столбце 2. Норми­рованные интервалы, вычисленные по формуле

t_i = х_i/m,

приведены в столбце 3. По ним выбираются половин­ные значения Ф(t) (приложение 1), приведенные в столбце 4. Для удобства дальнейших вычислении знаки этих значений приняты анало­гичными знаками величин t_i.

В столбцах 5 и 6 записаны теоретические р_t и фактические р_ф вероятности попадания случайных величин в принятые интервалы.

 

Таблица 7.2

Верхние границы интерваов хi угл с	Частоты ni	Нормированные интервалы ti		Вероятности попадания в интервал	Теоретические частоты nТi		Накопленные вероятности	D
pt	pф	å рt	å рф
å

 

При этом величина р_t получена как разность соседних строк столбца 4, а p_ф — делением частот n_i на n — число измерений.

Теоретические частоты n_тi (столбец 7) получаются умножением теоретической вероятности р_t на число всех измерений n.

Критерий согласия Пирсона вычисляется по формуле

где k — число интервалов.

Гипотеза соответствия распределения наблюденного ряда слу­чайных значений e_i нормальному закону принимается, если соблю­дается условие c² £ c_q². Здесь c_q² — значение, выбираемое по числу степеней свободы r и уровню значимости q = 1 — p_o, где р_o — принимаемая доверительная вероятность. Число степеней свободы для нормального распределения равно r = k -3.

Для доверительной вероятности р_o = 0, 95 (q — 0, 05) находим (приложение 2) c²_{0, 05}. При c² £ c²_{0, 05} можно сделать вы­вод о соответствии распределения случайных погрешностей изме­рений е (см. табл. 2) нормальному закону.

Столбцы 9, 10, 11 содержат данные, необходимые при получе­нии критерия согласия Колмогорова. Накопленные вероятности получаются последовательным суммированием вероятностей р_t и р_ф столбцов 5 и 6. В столбец 11 (D) записываются разности накопленных вероятностей.

Показателем расхождения фактического и теоретического распределений является число

где D_max — абсолютное значение максимальной разности накопленных вероятностей.

Гипотеза соответствия фактического распределения ряда случайных значений к предполагаемому теоретическому принимается, если соблюдается условие l_ф£ l_q. Здесь коэффициенты l_q в за­висимости от уровня значимости имеют следующие значения:

уровень значимости q ……….…....... 0, 1 0, 05 0, 01

коэффициент l_q.............................. 1, 224 1, 358 1, 627

Таким образом, по всем критериям (в том числе по значениям.эксцесса и асимметрии) можно сделать заключение о том, что фак­тическое распределение величин х подчиняется или не подчиняется нормальному закону.

Приложение 1. Значение интеграла вероятностей Ф (k) = Р (-k £ t £ k) =

k	0, 00	0, 01	0, 02	0, 03	0, 04
0, 0	0, 0000	0, 0080	0, 0160	0, 0239	0, 0319
0, 1	0, 0797	0, 0876	0, 0955	0, 1035	0, 1114
0, 2	0, 1585	0, 1663	0, 1741	0, 1819	0, 1897
0, 3	0, 2358	0, 2434	0, 2510	0, 2586	0, 2661
0, 4	0, 3108	0, 3182	0, 3255	0, 3328	0, 3400
0, 5	0, 3829	0, 3899	0, 3969	0, 4039	0, 4108
0, 6	0, 4515	0, 4581	0, 4647	0, 4713	0, 4778
0, 7	0, 5161	0, 5223	0, 5285	0, 5346	0, 5407
0, 8	0, 5763	0, 5821	0, 5878	0, 5935	0, 5991
0, 9	0, 6319	0, 6372	0, 6424	0, 6476	0, 6528
1, 0	0, 6827	0, 6875	0, 6923	0, 6970	0, 7017
1, 1	0, 7287	0, 7330	0, 7373	0, 7418	0, 7457
1, 2	0, 7699	0, 7737	0, 7776	0, 7813	0, 7850
1, 3	0, 8064	0, 8098	0, 8132	0, 8165	0, 8198
1, 4	0, 8385	0, 8415	0, 8444	0, 8473	0, 8501
1, 5	0, 8664	0, 8690	0, 8715	0, 8740	0, 8764
1, 6	0, 8904	0, 8926	0, 8948	0, 8969	0, 8990
1, 7	0, 9109	0, 9127	0, 9146	0, 9164	0, 9181
1, 8	0, 9281	0, 9297	0, 9312	0, 9327	0, 9342
1, 9	0, 9426	0, 9439	0, 9451	0, 9464	0, 9476
2, 0	0, 9545	0, 9556	0, 9566	0, 9576	0, 9586
2, 1	0, 9643	0, 9651	0, 9660	0, 9668	0, 9676
2, 2	0, 9722	0, 9729	0, 9736	0, 9742	0, 9749
2, 3	0, 9785	0, 9791	0, 9796	0, 9802	0, 9807
2, 4	0, 9836	0, 9840	0, 9845	0, 9849	0, 9853
2, 5	0, 9876	0, 9879	0, 9882	0, 9886	0, 9889
k	0, 05	0, 06	0, 07	0, 08	0, 09
0, 0	0, 0399	0, 0479	0, 0558	0, 0638	0, 0717
0, 1	0, 1193	0, 1271	0, 1350	0, 1429	0, 1507
0, 2	0, 1974	0, 2051	0, 2128	0, 2205	0, 2282
0, 3	0, 2737	0, 2811	0, 2886	0, 2960	0, 3034
0, 4	0, 3473	0, 3545	0, 3616	0, 3688	0, 3758
0, 5	0, 4177	0, 4245	0, 4313	0, 4381	0, 4448
0, 6	0, 4843	0, 4907	0, 4971	0, 5035	0, 5098
0, 7	0, 5467	0, 5527	0, 5587	0, 5646	0, 5705
0, 8	0, 6047	0, 6102	0, 6157	0, 6211	0, 6265
0, 9	0, 6579	0, 6630	0, 6680	0, 6729	0, 6778
1, 0	0, 7063	0, 7109	0, 7154	0, 7199	0, 7243
1, 1	0, 7499	0, 7540	0, 7580	0, 7620	0, 7660
1, 2	0, 7887	0, 7924	0, 7959	0, 7995	0, 8030
1, 3	0, 8230	0, 8262	0, 8293	0, 8324	0, 8355
1, 4	0, 8530	0, 8557	0, 8585	0, 8611	0, 8638
1, 5	0, 8789	0, 8812	0, 8836	0, 8859	0, 8882
1, 6	0, 9011	0, 9031	0, 9051	0, 9070	0, 9090
1, 7	0, 9199	0, 9216	0, 9233	0, 9249	0, 9265
1, 8	0, 9357	0, 9371	0, 9385	0, 9399	0, 9412
1, 9	0, 9488	0, 9500	0, 9511	0, 9523	0, 9534
2, 0	0, 9596	0, 9606	0, 9615	0, 9625	0, 9634
2, 1	0, 9684	0, 9692	0, 9700	0, 9707	0, 9715
2, 2	0, 9755	0, 9762	0, 9768	0, 9774	0, 9780
2, 3	0, 9812	0, 9817	0, 9822	0, 9827	0, 9831
2, 4	0, 9857	0, 9861	0, 9865	0, 9868	0, 9872
2, 5	0, 9892	0, 9895	0, 9898	0, 9901	0, 9904

 

Приложение 2. Допустимые значения коэффициентов c² и l=

r	р=0, 95	р=0, 99	r	р=0, 95	р=0, 99
c2	l	c2	l	c2	l	c2	l
	3, 84	1, 96	6, 63	2, 57		30, 1	1, 26	36, 2	1, 38
	5, 99	1, 73	9, 21	2, 15		31, 4	1, 25	37, 6	1, 37
	7, 81	1, 61	11, 3	1, 94		32, 7	1, 25	38, 9	1, 36
	9, 49	1, 54	13, 3	1, 82		33, 9	1, 24	40, 3	1, 35
	11, 1	1, 49	15, 1	1, 74		35, 2	1, 24	41, 6	1, 34
	12, 6	1, 45	16, 8	1, 67		36, 4	1, 23	43, 0	1, 34
	14, 1	1, 42	18, 5	1, 63		37, 7	1, 23	44, 3	1, 33
	15, 5	1, 39	20, 1	1, 59		38, 9	1, 22	45, 6	1, 32
	16, 9	1, 37	21, 7	1, 55		40, 1	1, 22	47, 0	1, 32
	18, 3	1, 35	23, 2	1, 52		41, 3	1, 21	48, 3	1, 31
	19, 7	1, 34	24, 7	1, 50		42, 6	1, 21	49, 6	1, 31
	21, 0	1, 32	26, 2	1, 48		43, 8	1, 21	50, 9	1, 30
	22, 4	1, 31	27, 7	1, 46		49, 8	1, 20	57, 3	1, 28
	23, 7	1, 30	29, 1	1, 44		55, 8	1, 18	63, 7	1, 26
	25, 0	1, 29	30, 6	1, 43		61, 7	1, 17	70, 0	1, 25
	26, 3	1, 28	32, 0	1, 41		67, 5	1, 16	76, 2	1, 23
	27, 6	1, 27	33, 4	1, 40		96, 2	1, 13	106, 4	1, 19
	28, 9	1, 27	34, 8	1, 39		124, 3	1, 11	135, 6	1, 16

 

Осн: 1. [33-36]

Контрольные вопросы:

1. Что такое ассимметрия кривой распределения?

2. Назовите виды ассиммерии.

3. Что такое экцесс? Объясните, случаи при Э> 0 и Э< 0?

4. По каким критериям можно проводить соответствие фактического распределения теоретическому?

5. Как вычисляется смещение средне арифметического значения?

6. Как вычисляются допустимые значения асимметрии и эксцесса?

 

Лабораторная работа №8

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: