Среднее число столкновений и среднее время свободного пробега молекул

Определим среднее число столкновений молекулы газа за одну секунду. Положим, что молекулы-мишени равномерно распределены по объёму с концентрацией n. Пусть все молекулы, кроме одной, покоятся. Тогда движущаяся молекула за одну секунду пройдёт расстояние, численно равное средней скорости , и столкнётся со всеми молекулами, которые окажутся на её пути. Это будут те молекулы, центры которых расположены в объёме цилиндра, длиной и площадью основания σ (рис.8.3).Объём этого цилиндра равен , а число молекул в нём равно . Таким же будет число столкновений, которое испытывает молекула. Если учесть, что движутся все молекулы в выделенном объёме, то при подсчёте числа столкновений нужно учитывать не абсолютную скорость (относительно стенок сосуда), а относительную скорость молекулы, то есть скорость относительно тех молекул, с которыми она сталкивается. Определим относительную скорость двух молекул, движущихся со скоростями и : . Возведём в квадрат обе части последнего равенства и получим:

.

Усредним это уравнение и получим: . Учтём, что , а , получим .

Учитывая это, среднее число столкновений молекулы за одну секунду равно:

(8-4)

С учётом формулы (8-1) получим:

(8-5)

В системе интернациональной единица измерения Z₀ равна с ^{- 1}.

Среднее число столкновений за секунду, испытываемое всеми N молекулами определяют с учётом того, что в столкновениях участвуют пары молекул, а вероятностью столкновения трёх и более молекул пренебрегают:

(8-6)

Среднее число столкновений молекул за времяt:

(8-7)

Зная среднее число столкновений одной молекулы за секунду Z₀, можно найти время между двумя последовательными соударениями молекулы – время свободного пробега  :

(8-8)

Средняя длина свободного пробега молекул

Расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега. Так как молекул много, их движения беспорядочны и столкновения случайны, то длины свободного пробега на зигзагообразном пути молекулы могут быть разными. Поэтому целесообразно говорить о средней длине свободного пробега . Величины сечения рассеяния и концентрации молекул не зависят от пути, пройденного частицей, поэтому вероятность столкновения растёт пропорционально проходимому частицей пути. Длина пути , при которой вероятность столкновения равна единице, называется средней длиной свободного пробега. Для математической записи используем формулу (8-2), заменив dx на и приравняв вероятность столкновения единице, получим:

(8-9)

Средняя длина свободного пробега может быть выражена через среднюю скорость молекул и среднее время свободного пробега, учитывая то, что молекулы идеального газа движутся равномерно и прямолинейно между двумя последовательными соударениями:

(8-10)

Учитывая формулу (8-5), получим:

(8-11)

Среднюю длину свободного пробега можно выразить через параметры состояния газа – давление и температуру, учитывая, что , получим:

(8-12)

Средняя длина свободного пробега при фиксированной температуре обратно пропорциональна давлению, а при фиксированном давлении – прямо пропорциональна температуре.

Диффузия в газах

Диффузией называется явление взаимного проникновения двух или нескольких соприкасающихся веществ. Каждый из компонентов смеси переходит из области с большей концентрации в область с меньшей концентрацией. При диффузии, таким образом, происходит перенос вещества. Диффузия в газах возникает и в том случае, если они неоднородны по концентрации или плотности ( самодиффузия ). Для количественного описания этого явления используют понятие диффузионного потока. Диффузионный поток можно выразить через массу переносимого вещества или через число молекул (или молей) переносимого вещества.

Диффузионный поток как поток массы определяется массой вещества, перенесённого через площадку dS, перпендикулярную направлению переноса, в единицу времени. Часто используют понятие плотности диффузионного потока. Плотность диффузионного потока определяется массой вещества, перенесённого через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса, в единицу времени. Плотность диффузионного потока равна:

, (8-13)

где dM- элемент массы вещества, переносимого через бесконечно малую площадку dS, перпендикулярную направлению переноса, за бесконечно малый промежуток времени dt.

Диффузионный поток как поток частиц определяется числом частиц вещества, перенесённого через площадку dS, перпендикулярную направлению переноса, в единицу времени. Плотность диффузионного потока определяется числом частиц вещества, перенесённого через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса, в единицу времени. В этом случае плотность диффузионного потока равна:

, (8-14)

где dN- элементарное число частиц вещества, переносимого через бесконечно малую площадку dS, перпендикулярную направлению переноса, за бесконечно малый промежуток времени dt.

Основной закон диффузии – закон Фика:

плотность диффузионного потока какого-либо компонента вещества прямо пропорциональна градиенту концентрации (плотности) этого компонента со знаком «минус»:

(8-15)

Здесь - вектор положительной нормали к площадке, через которую переносится вещество; его направление совпадает с направлением переноса вещества. Градиент плотности grad    - это вектор, который, характеризует быстроту изменения скалярной величины – плотности - в пространстве и направлен в сторону наиболее быстрого возрастания данной плотности. D - коэффициент диффузии. Знак «минус» показывает, что направление потока вещества противоположно градиенту плотности.

Градиент плотности можно записать так:

, (8-16)

где - единичные вектора, направленные вдоль осей x, y, z, соответственно.

Для одномерного случая и уравнение (8-15) может быть переписано в скалярном виде при условии, что направления векторов и совпадают:

(8-17)

Аналогично можно записать закон Фика и через поток частиц:

(8-18)

Коэффициент диффузии численно равен плотности диффузионного потока при единичном градиенте концентрации (плотности) и СИ измеряется в .

В идеальных газах механизм переноса вещества обусловлен соударениями молекул, поэтому, чем выше температура газа, тем больше диффузионный поток и коэффициент диффузии. Коэффициент диффузии, а точнее самодиффузии (диффузии вещества самого в себя, обусловленной неоднородностью концентрации) для идеальных газов можно выразить так:

(5-19)

Здесь - средняя длина свободного пробега молекул идеального газа, - средняя арифметическая скорость молекул. При фиксированной температуре обратно пропорциональна давлению, а скорость является постоянной, поэтому коэффициент диффузии. обратно пропорционален давлению. При фиксированном давлении прямо пропорциональна Т, а средняя арифметическая скорость ~ , поэтому коэффициент диффузии в этом случае пропорционален .

Вязкость газов

Вязкость газов – это свойство, благодаря которому выравниваются скорости упорядоченного движения разных слоёв газа. Можно дать и другое определение. Вязкость газов – это явление переноса, при котором происходит перенос импульса упорядоченного движения от слоёв, движущихся с большей скоростью, к слоям, движущимся с меньшей скоростью.. Переносимый импульс можно количественно оценить с помощью потока импульса, равного импульсу упорядоченного движения слоёв, переносимому через площадку dS, параллельную слоям и перпендикулярную к направлению переноса (рис.8.4), в единицу времени. Плотность элементарного потока импульса можно записать так:

(8-20)

Основной закон вязкости:

плотность потока импульса прямо пропорциональна градиенту скорости со знаком «минус».

Знак «минус» показывает, что направление потока импульса противоположно направлению градиента скорости упорядоченного движения.

(8-21)

Здесь - вектор положительной нормали к площадке S, через которую переносится импульс, его направление совпадает с направлением переноса импульса,  - градиент скорости, направлен в сторону наиболее быстрого возрастания скорости, η - коэффициент динамической вязкости. Для одномерного случая, когда направления векторов и совпадают:

(8-22)

Динамический коэффициент вязкости численно равен потоку импульса при единичном градиенте скорости. В СИ он измеряется в или в Па^.с.

Для идеальных газов коэффициент динамической вязкости можно выразить следующим образом:

(8-23)

Коэффициент вязкости зависит прямо пропорционально от и не зависит от давления, поскольку в формулу (8-22) входят как сомножители средняя длина свободного пробега, обратно пропорциональная давлению при фиксированной температуре, и плотность газа, прямо пропорциональная давлению.

Можно записать основной закон вязкости и через силу вязкого трения, которая направлена по касательной к слоям (к площадке S), используя второй закон Ньютона, согласно которому . Для одномерного случая получим:

(8-24)

Явление вязкости бывает стационарным и нестационарным. О стационарной вязкости говорят, когда градиент скорости поддерживают постоянным. Нестационарная вязкость происходит с изменением градиента, в результате выравниваются скорости взаимодействующих слоёв.

Для измерения коэффициента вязкости используют приборы – вискозиметры. Для измерения коэффициента вязкости необходимо, чтобы движение газа было ламинарным, то есть плавным, без завихрений. Этого можно достичь в очень узких трубках – капиллярах. Поэтому такие вискозиметры, в которых используют капилляры, называют капиллярными вискозиметрами.

Теплопроводность газов

Явление возникновения потока тепла в газе (или любом другом веществе) называется теплопроводностью. Перенос количества теплоты можно описать с помощью потока теплоты.

Потоком теплоты называется количество теплоты, перенесённое через площадку, перпендикулярную направлению переноса, в единицу времени. Плотность потока теплоты, как количество теплоты, перенесённое через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса, в единицу времени, можно выразить так:

(8-25)

Основной закон теплопроводности – закон Фурье:

плотность потока теплоты прямо пропорциональна градиенту температуры со знаком «минус»:

(8-26)

Здесь - вектор положительной нормали к площадке dS, через которую переносится количество теплоты, его направление совпадает с направлением переноса количества теплоты,  - градиент температуры, направлен в сторону наиболее быстрого возрастания температуры, χ - коэффициент теплопроводности. Для одномерного случая, когда направления векторов и совпадают:

(8-27)

Коэффициент теплопроводности численно равен потоку теплоты при единичном градиенте температуры. Для идеальных газов он может быть выражен так:

(8-28)

Здесь С_mV – удельная теплоёмкость при постоянном объёме. Коэффициент теплопроводности прямо пропорционален и не зависит от давления. В СИ коэффициент теплопроводности измеряется в .

 

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: