Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле прямолинейного и кругового токов.

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислить магнитную индукцию поля, созданного элементом тока Id на расстоянии от него:

 

dB = , (14-5)

т.е. индукция магнитного поля, создаваемого элементом тока Id точке А, (рис.14.3), на расстоянии r от него, пропорциональна ве­личине элемента тока и синусу угла a, равного углу между направле­ниями элемента тока Id и , а также обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними; Гн / м - магнитная посто­янная.

Закон Био - Савара - Лапласа в векторной форме имеет вид:

d = . (14-6)

Закон Био - Савара - Лапласа позволяет вычислить магнитную индукцию поля любых систем токов, используя принцип суперпозиции магнитных поля

= . (14-7)

Применим закон Био - Савара - Лапласа и принцип суперпозиции (14-7) к расчету магнитных полей следующих токов:

1) Магнитное поле прямолинейного тока.

Из рис.14.4 с учетом (14-6) находим, что d плоскости, в которой лежат d и ; далее можно найти , откуда, принимая во внимание, что получаем . С учетом этого из (14-5) находим:

интегрируя последнее равенство, получаем

(14-8)

Для бесконечно длинного проводника , и из (8) следует, что

(14-9)

2) Магнитное поле кругового тока. Можно показать, что магнитная индукция поля, создан­ного круговым током радиуса R, на расстоянии r₀ вдоль перпендикуляра, восстановленного из центра контура, (рис.14.5), будет

(14-10)

В частности, в центре кругового тока ,

 

. (14-11)

 

Для плоской катушки, состоящей из N, витков магнитная индукция на оси катушки

. (14-12)

При больших расстояниях от контура, т. е. при r₀ > > R из (14-10) получим

 

(14-13)

 

Циркуляция вектора магнитной индукции. Поле соленоида и тороида

Для электростатического поля

т. е. циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна нулю. Можно показать, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна алгебраи­ческой сумме токов, охватываемых контуром, умноженной на ₀, т. е.

(14-14) При этом токи будем считать положительными, если они совпадают с поступательным движением правого буравчика, рукоятка которого вращается по направлению обхода контура. Для нашего случая, (рис.14.6) это будут токи, текущие от нас и обозначенные . Токи, те­кущие в обратном направлении, будут считаться отрицательными. Для рис. 14.6, это будут токи, текущие на нас и обозначенные кружком с точкой в центре.

 

 

Поскольку , то магнитное поле не является потенциальным, оно называется вихревым или соленоидальным.

Применим теорему о циркуляции для вычисления индукции магнитного поля со­леноида и тороида.

1) Поле соленоида

Соленоидом, (рис.14.7), называется цилиндрическая катушка, на которую вплотную намотано большое число витков провода. Пусть N - число витков вдоль длины соленоида l, тогда , где L – контур 12341

или .

Интегралы на участках 1-2, 3- 4 равны нулю, т.к. d и d =Bdlcosπ /2 =0;

интеграл на участ­ке 4-1 равен нулю, т.к. вне соленоида индукция равна нулю. Поэтому , отсюда

B= , (14-15)

где n=N / l - число витков, приходящееся на единицу длины соленоида. Поле соленоида однородно.

2) Поле тороида

Тороид (рис.14.8), представляет тонкий провод, плотно навитый на каркас, имеющий форму тора. Для него

где R - радиус средней линии тора, отсюда

B = (14-16)

Поле тороида неоднородно: оно уменьшается с увеличением r. Поле вне тороида рав­но нулю.

Магнитный поток. Теорема Гаусса

Для однородного магнитного поля, пронизывающего плоскую поверхность площади S, ( см. рис. 4 ). магнитный поток

Ф= = BScos =B_n S (14-17)

где = S , - нормаль к поверхности.

В общем случае вводят понятие магнитного потока через ма­лую поверхность площадью dS, которую можно считать плос­кой и в пределах которой магнитное поле можно считать однородным, т. е.

dФ = d = BdS cos = B dS. (14-18)

Магнитный поток сквозь произвольную поверхность Ф= = .

В природе нет магнитных зарядов и поэтому теорема Гаусса для магнитного потока имеет вид

Ф = , (14-19)

т.е. магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю.

Пусть в формуле (14-17) = 0, т.е. , тогда Ф=BS . Магнитный поток в СИ измеряется в веберах - (Вб): 1Вб = 1 Тл× 1 м². Поток магнитной индукции в 1Вб - это поток, пронизывающий площадку в 1м ² , расположенную перпендику­лярно силовым линиям однородного магнитного поля, индукция которого равна 1Тл.

⇐ Предыдущая17181920212223242526Следующая ⇒

Поделиться: