|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Метод аналитических (семантических) таблиц
Ниже будет описана эффективная процедура, дающая ответ на вопрос, является ли данная формула тождественно-истинной. Эффективность означает, что процедура даёт ответ для каждой формулы в конечное число шагов. Идея метода аналитических такова: тождественную истинность формулы мы будем доказывать опровержением допущения о ее ложности. В этом доказательстве от противоположного, табличные правила организуют систематический поиск контрпримеров для допущения о ложности. Таблицу легко получить, проведя на листе бумаге вертикальную черту. Справа от черты мы будем помещать формулы, которые, в соответствии с правилами, которые будут приведены ниже, оцениваются как ложные. Слева от черты, напротив, будут помещены формулы, оцениваемые как истинные. Пусть нам необходимо выяснить, является ли некоторая формула А тождественно-истинной. Для этого записываем ее справа от черты. Это будет означать, что она ложна – в этом состоит наше допущение доказательства от противоположного. Затем разворачивается процедура табличного построения, которая протекает по правилам редукции и порождает множество таблиц. Табличные правила (правила редукции). В формулировках табличных правил мы будем использовать следующие обозначения:
– А – редуцируемая на данном шаге формула; – S – множество (возможно пустое) нередуцируемых на данном шаге формул, находящихся в левой части таблицы; – G – множество (возможно пустое) других нередуцируемых на данном шаге формул, находящихся в правой части таблицы. Таблицы нумеруются в порядке, который будет определен процедурой редукции. Правила редукции делятся на «правые» и «левые». Формулируем их попарно для каждой связки. За каждым правилом следует пояснение.
Правило «отрицание справа». Если А имеет вид Ø В и находится в правой части таблицы с номером n, то вычеркиваем А и записываем В в левую часть этой же таблицы:
(п) (п)
Переход обосновывается определением истинности дляØ В: еслиØ В ложно, то В истинно. Правило «отрицание слева».Если А имеет вид Ø В и находится в левой части таблицы, то вычеркиваем А и записываем В в правую часть этой же таблицы.
(п) (п)
Ø В, S GS В, G
ИстинностьØ В означает ложность В. Правило «конъюнкция справа».Если А имеет вид (В Ù С) и находится в таблице с номером n, то вычёркиваем всю эту таблицу и переходим к рассмотрению двух таблиц с номерами n.1 и n.2, а таблицу n вычеркиваем. При этом в n.1 записываем слева S, а справа В, G. в n.2 записываем слева S, а справа С, G.
(n)
S (В Ù С), G
(n.1) (n.2)
S В, G S С, G
В самом деле, ложность (В Ù С) означает, что либо В ложно, либо С ложно, либо оба они ложны. Достаточно рассмотреть первые два случая, что соответствует двум подтаблицам. Прочие же формулы из таблицы n переходят в подтаблицы n.1 и n.2 с теми же значениями, т. е. слева – налево, справа – направо.[21] Правило «конъюнкция слева».Если А имеет вид (В Ù С) и находится в левой части таблицы, то вычеркиваем А и записываем в эту же часть таблицы В и С.
(n) (n)
(В Ù С), S G В, С, S G
Истинность(В Ù С)равносильна истинности В и истинности С. Правило «слабая дизъюнкция справа». Если А имеет вид (В Ú С) и находится в правой части таблицы, то вычеркиваем (В Ú С) и записываем в ту же часть таблицы В и С.
(n) (n)
(В Ú С)ложно когда В ложно и С ложно. Правило «слабая дизъюнкция слева». Если А имеет вид (В Ú С) и находится в левой части таблицы n, то вычёркиваем эту таблицу переходим к рассмотрению таблиц n.1 и n.2, а таблицу n вычеркиваем. При этом: записываем в n.1 слева В, S, а справа – G записываем в n.2 слева С, S, а справа – G.
(n)
(В Ú С), S G
(n.1) (n.2)
В, SG С, SG Истинность (В Ú С) равносильна истинности по крайней мере одной из формул В и С. К рассмотрению каждого из этих случаев мы и переходим в подтаблицах. Прочие формулы исходной таблицы переходят в новые таблицы с тем же значением. Правило «строгая дизъюнкция справа». Если А имеет вид (В ⇎ С) и находится в правой части таблицы n, то вычёркиваем эту таблицу переходим к рассмотрению таблиц n.1 и n.2, а таблицу n вычеркиваем. При этом: записываем в n.1 слева В, С, S, а справа – G, записываем в n.2 слева S, а справа – В, С, G.
(n)
S (В ⇎ С), G
(n.1) (n.2)
В, С, SG S В, С, G В самом деле, ложность (В ⇎ С) равносильна либо одновременной истинности В и С, либо их одновременной ложности. К рассмотрению каждого из этих случаев мы и переходим в подтаблицах. Прочие формулы исходной таблицы переходят в новые таблицы с тем же значением. Правило «строгая дизъюнкция слева». Если А имеет вид (В ⇎ С) и находится в левой части таблицы n, то вычёркиваем эту таблицу переходим к рассмотрению таблиц n.1 и n.2, а таблицу n вычеркиваем. При этом: записываем в n.1 слева В, S, а справа – С, G, записываем в n.2 слева С, S, а справа – В, G.
(n)
(В ⇎ С), S G
(n.1) (n.2)
В, S С, G С, S В, G Действительно, истинность (В ⇎ С) равносильна либо случаю, когда В истинно, а С ложно, либо случаю, когда С истинно, а В ложно. К рассмотрению каждого из этих случаев мы и переходим в подтаблицах. Прочие формулы исходной таблицы переходят в новые таблицы с тем же значением. Правило «импликация справа».Если А имеет вид (В ⇒ С) и находится в правой части таблицы, то вычеркиваем А и записываем В в левую часть таблицы, а С – в правую часть.
(n) (n)
(В ⇒ С)ложно, когда В истинно, а С ложно.
Правило «импликация слева». Если А имеет вид (В ⇒ С) и находится в левой части таблицы n, то вычёркиваем эту таблицу и переходим к рассмотрению таблиц п.1 и n.2. При этом: записываем в n.1 слева S, а справа – В, G записываем в n.2 слева С, S, а справа – G.
(n)
(В ⇒ С), S G
(n.1) (n.2)
С, SG S В, G
Истинность (В ⇒ С) означает, что либо В ложно, либо С истинно, либо то и другое одновременно. Достаточно рассмотреть первые два условия, что мы и делаем в подтаблицах. Прочие формулы исходной таблицы переходят в новые таблицы с теми же значениями. Правила «эквиваленция справа» и «эквиваленция слева» зеркальны относительно правил «строгая дизъюнкция слева» и «строгая дизъюнкция справа» соответственно. Читатель может сформулировать их самостоятельно. Таблица называется замкнутой, если существует формула В, находящаяся одновременно в правом и левом ее столбцах. В замкнутой таблице процесс применения правил редукции останавливается. Табличное построение. Табличное построение для формулы А возникает при выполнении последовательности шагов: Шаг 1. Записываем А справа в таблицу, нумеруемую как 1. Шаг 2. Применяем одно из «правых» правил в зависимости от вида А. Шаг 3. В каждой из получившейся после шага 2 таблиц применяем одно из правил редукции. Действуем далее до тех пор, пока на некотором шаге n построения обнаружится, что ни в одной таблице порожденной в ходе построения множества таблиц нельзя уже применить правил редукции. Это означает, что всякая таблица Т данного множества или (а) замкнута, или (б) не имеет формул, которые могут быть редуцированы. Критерий тождественной истинности формулы А: Если табличное построение для А остановилось и всякая невычеркнутая таблица порожденного множества таблиц замкнута, то формула А общезначима. Содержательно это означает, что предположение о ложности А приводит к противоречиям при разборе всех возможных частных случаев. Приведём несколько примеров (номера таблиц, где возможно, опускаем). Рассмотрим тавтологию, имеющую название «закон Пирса»: ((А É В) É А) É А.
(1)
((А É В) É А) É А
(А É В) É А А (⇒ справа)
(1.1) (1.2)
А А (А É В) А (⇒ слева)
замыкание (1.2)
А В, А (⇒ справа)
замыкание. Итак, здесь все невычеркнутые таблицы замкнулись, что говорит нам о том, что предположение о ложности закона Пирса несостоятельно. Рассмотрим тавтологию, показывающую связь импликации и слабой дизъюнкции – (А ⇒ В) ⇔ (Ø А Ú В).
(1)
(А ⇒ В) ⇔ (Ø А Ú В)
(1.1) (1.2)
(А ⇒ В) (Ø А Ú В) (Ø А Ú В) (А ⇒ В) (⇔ справа)
(А ⇒ В) Ø А, В (Ú справа) (Ø А Ú В), А В (⇒ справа)
(А ⇒ В), А В (Ø справа) (1.2.1) (1.2.2)
Ø А, А В В, А В (Ú слева)
В, А В А А, В (⇒ слева) А А, В (Ø слева)
замыкание замыкание замыкание Здесь также получены замыкания во всех невычеркнутых таблицах. Рассмотрим теперь пример формулы, которая не является тождественно истинной: (А ⇒ (В Ú С)) ⇒ (Ø В ⇒ Ø А)
(1)
(А ⇒ (В Ú С)), Ø В Ø А (⇒ справа, 2 раза)
(1.1) (1.2)
В Ú С, А В А А, В (⇒ слева)
(1.1.1) (1.1.2)
В, А В С, А В (Ú слева) замыкание
Одна невычеркнутая таблица осталась незамкнутой – (1.1.2). По ней легко определить, при каких условиях исследуемая нами формула окажется ложной. Для этого необходимо, чтобы А и С приняли значение И, а В – значение Л. Построим соответствующую строку таблицы истинности для формулы (А ⇒ (В Ú С)) ⇒ (Ø В ⇒ Ø А):
Мы видим, что формула здесь принимает значение Л. Итак, для всякой формулы, которая представляет нам структуру сложного суждения, можно решить вопрос о том, является она тождественно-истинной или нет. Любопытно, что из бесконечного числа тождественно-истинных формул не все содержательно интересны. Мы приводили примеры формул, которые соответствуют закону исключённого третьего и закону противоречия – (А Ú Ø А) и Ø (А Ù Ø А) – их содержательная ценность очевидна. Но, например, о чём говорит рассмотренный выше закон Пирса, не совсем понятно. Дело в том, что все тождественно-истинные формулы эквивалентны друг другу, т. е., в каком-то смысле, выражают одно и то же, но разными способами. Как это происходит читатель может выяснить, познакомившись с более специальной литературе по логике, подробно освещающей логику высказываний (см. список литературы). Важно, тем ни менее, понимать, что отвергнув хотя бы одну тождественно-истинную формулу как «не интересную», мы тем самым, лишимся и всех остальных. Упражнения 1. Постройте таблицы истинности для следующих формул. 1) Ø А ⇔ Ø Ø Ø А 2) (А Ù А)⇔ А 3) (А Ù B)⇔ Ø (Ø А Ù В) 4) (С ⇒ (Ø С Ù А)) ⇎ Ø А 5) (Ø А ⇒ (В ⇒ С)) ⇒ (Ø С ⇒ А) 6) (А Ú Ø (В Ù С)) ⇒ Ø (C ⇔ А) 7) (В ⇔ (С Ù Ø А)) Ú (Ø В ⇔ Ø С) 8) (((В Ú С) ⇒ Ø (D ⇒ С)) ⇒ А)Ù Ø В 9) С ⇒ ((Ø С Ú В) ⇒ А) 10) ((С ⇒ Ø А) Ù (В ⇒ Ø А)) ⇒ (Ø (С Ù В) ⇒ А)
2. С помощью таблиц истинности обоснуйте тождественно-истинный характер следующих формул. 1) А ⇔ Ø Ø А 2) (А Ú А)⇔ А 3) А ⇔ А 4) А ⇒ А 5) ((А Ú В) Ù А) ⇔ А 6) ((А Ù В) Ú А) ⇔ А 7) ((А ⇒ В) Ù (В ⇒ А)) ⇔ (А ⇔ В) 8) ((А Ú В) Ù (Ø А Ú Ø В)) ⇔ (А ⇎ В).
3. С помощью аналитических таблиц покажите, что следующие формулы являются тождественно-истинными 1) А ⇒ (В ⇒ А) 2) (А ⇒ В) ⇒ (Ø А ⇒ Ø В) 3) Ø (А ⇒ В) ⇔ (А Ù Ø В) 4) Ø (А Ú В) ⇔ (Ø А Ù Ø В) 5) Ø (А Ù В) ⇔ (Ø А Ú Ø В) 6) (А ⇒ (В ⇒ С)) ⇒ ((А ⇒ В) ⇒ (А ⇒ С)) 7) (В ⇒ А) ⇒ ((С ⇒ А) ⇒ (Ø А ⇒ (В ⇒ Ø С))) 8) ((В ⇒ А) Ù (С ⇒ А)) ⇒ ((В Ú С) ⇒ А).
4. Ниже представлены фрагменты работы «О смысле и значении» одного из основоположников современной логики Готтлоба Фреге (1848–1925). Ознакомьтесь с ними и попытайтесь дать ответ на вопрос о том, почему Фреге объявляет значением (денотатом) предложения не описываемую предложением ситуацию (факт или положение дел в мире), а его истинностное значение.
… под «знаком» и «именем» я понимаю любое обозначение, представляющее собою собственное имя, чьим значением, стало быть, является определенный предмет (в самом широком смысле этого слова), но не понятие и не отношение, на которых я подробнее остановлюсь в другой статье. Обозначение единичного предмета может также состоять из нескольких слов или других знаков. Пусть каждое такое обозначение для краткости носит название собственного имени. Смысл собственного имени понимает каждый, достаточно знающий язык или совокупность обозначений, к которой принадлежит имя …; тем самым, однако, значение, если оно имеется, освещено все же только с одной стороны. Всестороннее познание данного значения состояло бы в том, что мы могли бы для каждого заданного смысла указать, относится ли он к этому значению. Этого мы никогда не достигаем. Связь, существующая, как правило, между знаком, его смыслом и его значением, такова, что знаку соответствует определенный смысл, а этому последнему – определенное значение, тогда как одному значению (одному предмету) соответствует не единственный знак. … Быть может, следует признать, что всякое грамматически правильно построенное выражение, выполняющее роль собственного имени, всегда имеет смысл. Однако это не значит, что смыслу всегда соответствует некоторое значение. Слова «самое удаленное от Земли небесное тело» имеют некий смысл; однако весьма сомнительно, чтобы они имели значение. … Отсюда следует, что если мы понимаем смысл, это еще не значит, что мы с уверенностью располагаем и некоторым значением. … Значение собственного имени – это сам предмет, обозначенный этим именем; представление, которое при этом у нас возникает, вполне субъективно; между значением и представлением можно поместить смысл, который, в отличие от представления, хотя и не является субъективным, все же не есть сам предмет. … До сих пор мы рассматривали смысл и значение только таких выражений, слов, знаков, которые нами были названы собственными именами. Поставим теперь вопрос о смысле и значении целого утвердительно-повествовательного предложения. Такое предложение содержит некоторую мысль… Как следует рассматривать эту мысль – как смысл предложения или как его значение? Предположим, предложение имеет значение. Если мы заменим в нем какое-либо слово другим словом, имеющим то же значение, но другой смысл, то это не должно иметь никакого влияния на значение предложения. Однако мы видим, что мысль в этом случае меняется; так, например, мысль, содержащаяся в предложении «Утренняя звезда есть тело, освещаемое Солнцем», отлична от мысли, имеющейся в предложении «Вечерняя звезда есть тело, освещаемое Солнцем». Тот, кто не знает, что Вечерняя звезда есть Утренняя звезда, мог бы считать одну мысль истинной, а другую ложной. Стало быть, мысль не может быть значением предложения, напротив, мы должны считать ее смыслом предложения. Но как же обстоит дело со значением? Имеем ли мы право вообще ставить о нем вопрос? Быть может, предложение, взятое как целое, имеет только смысл, но не имеет значения? … Но почему же мы хотим, чтобы каждое собственное имя имело не только смысл, но и значение? Почему мысль не удовлетворяет нас? Потому и постольку, почему и поскольку для нас важно истинностное значение мысли. Так бывает не всегда. Например, когда мы воспринимаем эпическое произведение, нас очаровывает, кроме благозвучия языка, только смысл предложений и вызываемые ими представления и чувства. Если бы мы поставили вопрос об истине, мы потеряли бы эстетическое наслаждение и перешли к научному исследованию. … Итак, стремление к истине – вот что всегда побуждает нас к переходу от смысла к значению. Мы видели, что для предложения надо всегда доискиваться значения тогда, когда речь идет о значении составных частей; а это имеет место тогда, и только тогда, когда мы ставим вопрос о его истинностном значении. Таким образом, мы принуждены признать в качестве значения предложения его истинностное значение. Под истинностным значением – значением истинности предложения я понимаю то, что оно либо истинно, либо ложно. Других значений истинности не бывает. Для краткости я называю одно из этих значений – истиной, истинностью, а другое – ложью, ложностью. На каждое утвердительно-повествовательное предложение, относительно которого ставится вопрос о значении его слов, надо, таким образом, смотреть как на собственное имя, причем на такое, значение которого, если таковое существует, есть либо истина, либо ложь. Эти два предмета признаются – может быть только молчаливо – всяким, кто выносит суждение, кто считает хотя бы что-нибудь истинным; значит, они признаются даже скептиком. … Если наше предположение, что значение предложения есть его истинностное значение, верно, то последнее должно остаться без изменения, если заменить часть предложения выражением, имеющим то же значение, но другой смысл. Но так дело и обстоит. … Что же еще, кроме значения истинности, можно найти такого, что, будучи присуще самым общим образом каждому предложению, относительно которого ставится вопрос о значении его составных частей, оставалось бы без изменения при замене указанного рода? Далее. Если значение истинности предложения есть его значение, то, с одной стороны, все истинные предложения имеют одно и то же значение, а с другой стороны, одно и то же значение имеют и все ложные предложения. Отсюда видно, что в значении предложения всё единичное оказывается стертым. Стало быть, мы никогда не можем довольствоваться одним только значением предложения; однако и мысль сама по себе не составляет познания; таковым является мысль вместе со своим значением, то есть со своим истинностным значением. На процесс суждения можно смотреть как на переход от мысли к значению ее истинности.[22] Суждения с модальностями Модальностями (от латинского слова modus – способ) в логике называют аспекты истинности суждения. В самом деле, некоторое истинное суждение А может быть истинно всегда или время от времени, или завтра – это временная модальность, или оно должно быть истинно, начиная с того момента, когда об этом заявило начальствующее лицо – это деонтическая модальность или модальность долженствования, или оно вообще может быть истинно или истинно в действительности или не может не быть не истинно по логическим причинам – в этом случае перед нами истинностные модальности. В настоящем разделе нас будут интересовать только истинностные модальности, а именно такие, которые характеризуют истинность суждений словами необходимо, действительно и возможно. При построении суждения эти слова играют роль префикса:
Возможно, что каждый школьник научится умножать трёхзначные числа в уме. Необходимо, что все, кто прочитал учебник по логике до конца, сдадут зачёт.
Префиксы «возможно» и «необходимо» читаются здесь как «возможно истинно, что А» и «необходимо истинно, что А». Иногда модальность может быть выражена в языке как свойство предмета или другого свойства, а не как характеристика суждения:
Возможный результат моего опыта лучше не трогать руками. Необходимым свойством чеснока является резкий запах. Эти предложения, могут быть, однако, переформулированы так, чтобы модальность стала явной. Следующие предложения до некоторой степени синонимичны исходным:
Возможно, что результат моего опыта лучше не трогать руками. Необходимо, что чеснок имеет резкий запах. Логические системы с модальностями создаются для анализа самых разных контекстов естественного языка. Некоторые из них представлены в таблице:
Договоримся теперь о введении следующих обозначений:
□ А – «необходимо, что А», А – «действительно, что А», ◊ А – «возможно, что А».
Используя эти обозначения, а также логические связки, мы сможем выражать связи и зависимости между различными модализированными суждениями. Рассмотрим сначала несколько простых примеров:
□ А – необходимо, что А истинно, ◊ А – возможно, что А истинно, Ø □ А – не необходимо А, □ Ø А – необходимо, что не-А, Ø □ Ø А – не необходимо, что не-А, Ø ◊ А – невозможно А; ◊ Ø А – возможно, что не-А, Ø ◊ Ø А – не возможно, что не-А.
Возможны также и различные итерации (повторения) модальностей и отрицаний:
□ □ р, □ ◊ □ р, ◊ Ø □ Ø р и т. п.
Наконец, возможны самые ращенные комбинации модальностей и связок:
(□ А ⇔ Ø ◊ Ø А) – необходимость А эквивалентна невозможности не-А; (А ⇒ ◊ А) – если А истинно, то А возможно; (◊ А ⇒ ◊ ◊ А) – если А возможно, то возможно, что оно возможно; □ (А ⇒ В) ⇒ (□ А ⇒ □ В) – если необходимо, что из А следует В, то если В необходимо, то и В необходимо.
Представим теперь структуру некоторых выражений естественного языка средствами модальной логики:
Если возможно, что чеснок имеет приятный запах, то возможно, что его не испугаются вампиры.
(◊ А ⇒ ◊ Ø В) Если необходимо, чтобы все студенты имели студенческий билет, то из этого, возможно, следует, что наличие билета способствует усвоению знаний.
◊ (□ А ⇒ В)
Возможно, что если я потеряю свою шляпу, то она попадёт в плохие руки и обязательно будет использован для достижения ненадлежащих целей, вследствие чего, возможно, будет конфискована правоохранительными органами и тогда неизбежно навсегда исчезнет в архивах.
◊ (А ⇒ (В Ù □ С Ù ◊ (С ⇒ (D Ù □ Е))))
Если рассматриваемое положение имеет необходимый характер, а из него вытекает, что мы правильно готовили грядки под огурцы, то это так необходимо образом.
(□ А ⇒ ((А ⇒ В) ⇒ □ В)) |
Последнее изменение этой страницы: 2017-05-05; Просмотров: 881; Нарушение авторского права страницы
– стрелки будут обозначать переход от одного состояния некоторой таблицы к другому или от одной таблицы к другой; 
S Ø В, G В, S G
S (В Ú С), G S В, С, G
S (В ⇒ С), G S, В С, G
(1.1.1) (1.1.2) замыкание
(А ⇒ (В Ú С)) ⇒ (Ø В ⇒ Ø А)
(А ⇒ (В Ú С)), А В (Ø справа и слева)
замыкание