Отношения модальных суждений: шестиугольник и треугольник

Отношения между модальными суждениями, подобные отношениям, которые связывают простые категорические сужения в логическом квадрате, могут быть представлены в виде шестиугольника. Единственным дополнительным условием является здесь следующее: отношение R между мирами надо считать рефлексивным. Это означает, что каждый мир должен находиться в отношении R сам к себе – х R х для любого х.

Рассмотрим модальный шестиугольник:

 

□ А □ Ø А

 

А Ø А

 

◊ А ◊ Ø А

 

Исходя из описанной семантики модальностей и при рефлексивном R, можно определить, в каких отношениях находятся суждения, объединённые в шестиугольник. Стрелки обозначают отношение подчинения. Двойной штриховой пунктир – это отношение противоречия (контрадикторности), а сплошная линия – отношение противоположности (контрарности). Пунктирные линии указывают на отношение совместимости.

Напомним, что суждения, связанные отношением противоположности, могут быть одновременно ложными, но не могут быть одновременно истинными. От этого нас предохраняет рефлексивность R, ведь в мире, из которого недостижим никакой другой мир и который сам недостижим для себя, все необходимости истинны, т. е. истинно и □ А и □ Ø А. При рефлексивном R суждения □ А и □ Ø А не могут быть одновременно истинными в данном (действительном) мире, но могут быть одновременно ложными, например когда из данного мира достижимы как миры, в которых истинно А, так и миры, в которых истинно Ø А.

Противоречие – это исключающее отношение, т. е. из истинности одного суждения, связанного отношением противоречия, следует ложность другого, а из ложности – истинность. Очевидно, что истинность □ А влечёт ложность ◊ Ø А и Ø А. Ложность □ А, как говорит нам определение истинности, есть не что иное, как истинность Ø А в каком-либо из миров, достижимых из данного, что равносильно истинности ◊ Ø А или Ø А. Точно так же обстоит дело и с суждением □ Ø А. Суждения А и Ø А противоречат друг другу в силу общего логического закона исключённого третьего, поскольку говорят о действительном мире.

Отношение совместимости связывает суждения, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Например, истинность ◊ А и ◊ Ø А означает всего лишь, что существуют два мира, достижимых из данного, в одном из которых истинно А, а в другом – Ø А. Одновременная ложность суждений ◊ А и ◊ Ø А невозможна. Поскольку рефлексивность R обеспечивает нам достижимость действительного мира и всех других миров для самих себя, невозможно, что все формулы вида ◊ В ложны хотя бы в одном мире, иначе в этом мире не было бы истинным ни В, ни Ø В, что невозможно, поскольку определение истинности присваивает значение всем формулам языка. Поэтому для любой формулы А в любом мире будет иметь место либо А, либо Ø А, но не то и другое вместе. Отсюда следует, что, независимо от количества миров, достижимых из произвольного мира х, или ◊ А, или ◊ Ø А, или обе эти формулы оказываются истинными в мире х.

Пары формул ◊ А и Ø А, а также ◊ Ø А и А могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. В самом деле, ложность ◊ А потребует истинности Ø А во всех мирах, достижимых из данного, в том числе в силу рефлексивности R, в самом этом мире, но там Ø А уже ложно. Аналогичное рассуждение проводится и для второй пары.

Существует ещё одна схема отношений модальных суждений, восходящая к Аристотелю и называемая «модальным треугольником». В основе этого соотношения лежит представление о так называемой билатеральной возможности, предполагающей, что «возможно А» означает «возможно А и возможно Ø А», что трактуется как «А случайно»:

 

□ А □ Ø А

 

 

◊ А Ù ◊ Ø А

 

(◊ А Ù ◊ Ø А) читается как «А случайно». Все суждения в «треугольнике» связаны отношением противоположность. Отношение между □ А и □ Ø А обосновывается так же, как и выше. Особенность «треугольника» состоит в том, что при отрицании случайности – (◊ А Ù ◊ Ø А) мы не можем прийти к истинности ни □ А, ни □ Ø А. С каждой из этих формул случайность может быть одновременно ложна, поэтому имеет место отношение противоположности, а не противоречия. От отрицания (◊ А Ù ◊ Ø А) можно перейти только к дизъюнкции (□ А Ú □ Ø А).

Упражнения

1. Представьте следующие суждения в символической записи, используя логические связки и модальные операторы.

1) Возможно, что завтра будет хорошая погода, хотя сегодня идёт дождь.

2) Обязательно принеси мне эту книгу, поскольку если у меня её не будет, то я вполне возможно провалю зачёт.

3) Либо необходимо немедленно прекратить погружение, либо необходимо его ускорить, а продолжать делать то, что мы делаем, невозможно.

4) Когда стало возможно свободно пересекать границу, многие страусы были перемещены в северные края, где для них необходим был совершенно особый уход.

5) Ты не говорил мне об этом, когда я мог тебе помочь, поэтому не нужно говоришь об этом сейчас, когда мне необходимо уехать.

6) Возможность достичь Марса существует всегда, но сегодня это не необходимо, поскольку нельзя отложить другие более насущные дела.

7) Всем участникам соревнований необходимо представить медицинские справки установленного образца, а если это не будет сделано, то возможно, что такие участники будут сняты с дистанции или их результаты будут аннулированы.

8) Если необходимо, что теорема Пифагора доказуема в геометрии Эвклида, то такая необходимость сама необходима,

9) Если необходимо, что все живые существа смертны, то такая необходимость сама необходима.

10) Возможно такое положение дел, когда окажется невозможным, что Волга впадает в Каспийское море.

 

2. Используя определение истинности, попытайтесь обосновать истинность универсально общезначимых формул модальной логики, приведённых выше.

 

3. Привлекая модальный шестиугольник, сформулируйте суждения, противоречащие, противоположные и подчинённые данным.

1) Пешеходам необходимо переходить улицу только по зелёному сигналу светофора.

2) Необходимо, чтобы участники соревнований по бегу не использовали запрещённые бутсы с шипами.

3) Необходимой мерой в этом случае становится отключение электроэнергии.

4) Судам, находящимся во внутренних водах, необходимо не отключать датчики чистоты воздуха до прибытия в порт.

5) Мне было обязательно нужно узнать о начале конференции за неделю.

 

4. Привлекая модальный шестиугольник, сформулируйте суждения, противоречащие, и совместимые по отношению к данным.

1) Ему, возможно, не понадобится дополнительный канат.

2) Возможные результаты твоей работы впечатляют уже до её начала.

3) Вчера на лекции было возможно либо записывать то, что он говорит, либо просто смотреть в окно.

4) Кто-то из участников экспедиции, возможно, правильно оценил свои силы только взойдя на перевал.

5) Возможно, что не я буду проводить эту сложную операцию.

 

Глава 3. Умозаключение

Анализ умозаключений – это центральная тема логики. Ещё Аристотель создавал логику для того, чтобы получить инструмент, который позволил бы отличать правильные доказательства и рассуждения от неправильных. Если считать доказательством процедуру, обеспечивающую принятие истинности некоторого суждения, а рассуждением – процедуру более слабую, достигающую, самое большее, увеличения степени правдоподобия суждения, то элементарными составляющими того и другого всё равно окажутся умозаключения различных видов.

Общая схема всякого умозаключения такова:

 

[Посылки]

––––––––––––

[Заключение]

 

Черта, отделяющая посылки от заключения, означает, что совершаемый переход является логическим, и его принцип гласит:

 

Если истинно написанное над чертой, то истинно написанное под чертой.

 

Это принцип действует в отношении любого умозаключения, соответствующего правилам логики. Нарушение этого принципа будет означать, что умозаключение с точки зрения логики не является правильным.

Элементарные умозаключения

Сначала рассмотрим элементарные умозаключения, т. е. такие, которые содержат только одну посылку, являющуюся при этом простым категорическим суждением. К числу таких умозаключений относятся обращение, превращение и противопоставление.

Обращение

Обращение – это умозаключение, совершаемое по схеме синтаксической операции обращения. Такая операция совершается над простым категорическим суждением и состоит она в перестановке субъекта и предиката. Переход от посылки к заключению по схеме обращения выглядит так:

 

... S. .. Р (посылка)

–––––––––

... Р. .. S (заключение)

 

Сама по себе синтаксическая операция перестановки субъекта и предиката не вызывает трудностей, но и не является умозаключением. Исследуем теперь, при каких условиях здесь может иметь место умозаключение.

Рассмотрим обращение общеутвердительного сужения – Все S суть Р (поскольку мы ещё не обосновали возможность умозаключения, черту наберём штриховым пунктиром).

 

Все S суть Р

– – – – – – – –

Все Р суть S

 

Умозаключение будет иметь место, если при любых S и Р из истинности Все S суть Р будет следовать истинность Все Р суть S. Как мы помним, общеутвердительные сужения истинны при двух соотношениях S и Р :

S, P S

P

I. II.

 

Очевидно, что в первом случае Все Р суть S также будет истинно, но во втором это не будет иметь места. Например, переход

 

Все люди – разумные существа

– – – – – – – – – – – – – – – – – –

Все разумные существа – люди,

как кажется, даёт нам правильный вывод, в то время как переход

 

Все люди – смертные существа

– – – – – – – – – – – – – – – – – –

Все смертные существа – люди,

не является правильным, т. к. из истинной посылки следует ложный вывод. На самом деле и в первом случае вывод не был обоснован логически, но лишь фактически – мы знаем, что люди – это единственные разумные существа. Очевидно, что по схеме обращения невозможно перейти от общеутвердительного суждения к общеутвердительному.

Вместе с тем, мы видим, что у соотношений I и II есть общее – пересечение S и Р непусто. Это позволяет сделать вывод, что от общеутвердительного суждения по обращению можно умозаключать к частноутвердительному:

Все S суть Р ( а )

––––––––––––––––––

Некоторые Р суть S ( i )

 

Такое обращение называется обращением с ограничением.

Обращение частноутвердительных суждений не вызывает трудностей. Мы помним, что условием истинности частноутвердительного суждения является непустота пересечения S и Р, т. е. S Ç Р ¹ Æ. Но если это так, то и Р Ç S ¹ Æ. Так что, несмотря на то, что истинности частноутвердительного суждения могут соответствовать четыре соотношения S и Р следующий переход всегда верен:

Некоторые S суть Р ( i )

––––––––––––––––––

Некоторые Р суть S ( i )

 

Точно так же выглядит ситуация и с общеотрицательными суждениями. В самом деле, если S Ç Р = Æ, то и Р Ç S = Æ. Таким образом, верен переход

 

Ни одно S не суть Р ( е )

––––––––––––––––––

Ни одно Р не суть S ( е )

 

Самый сложный случай – это обращение частноотрицательных суждений. Суждение вида Некоторые Р не суть S истинны при следующих соотношениях S и Р:

S

P SP S P

 

V III IV

 

Рассмотрим каждое из них. Пусть имеет место соотношение V, например, пусть посылкой является истинное суждение

 

Некоторые лошади не умеют играть на гитаре. ( о )

Применив схему обращения, получаем снова истинно суждение

Некоторые из тех, кто умеет играть на гитаре, не лошадь. ( о )

Пусть имеет место соотношение III, и, например, посылкой выступает истинное суждение

 

Некоторые студенты не поют в хоре, ( о )

 

откуда по схеме обращения получим снова истинное суждение

 

Некоторые из тех, кто поёт в хорах, не студенты. ( о )

Наконец, пусть верно соотношение IV, и посылкой служит истинное сужение

 

Некоторые европейцы не французы. ( о )

Отсюда по схеме обращения мы получим суждение

 

Некоторые французы не европейцы, ( о )

что, как легко усмотреть из схемы IV, ложно. Таким образом, переход по обращению от частноотрицательного суждения к частноотрицательному оказывается пригодным только в двух первых случаях, но не в третьем.

Рассматривая выше общеутвердительные суждения, мы нашли то общее, что было присуще обоим соотношениям S и Р – I и II. Но совершенно очевидно, что такого общего для соотношений III, IV и V мы не обнаружим. Отсюда следует вывод, который может показаться слишком радикальным, но вполне соответствует строгости логики: при обращении частоотрицательного суждения никакого умозаключения сделать нельзя.

Сформулируем теперь правило обращения простых категорических суждений:

 

а обращается в i,

i обращается в i,

е обращается в е,

о вовсе не обращается.

 

Обращение, несмотря на свою простоту, не является тривиальным умозаключением. На практике мы используем обращение постоянно, поскольку, встретившись, например, с утверждением «Все люди – разумные существа», мы, стремясь расширить и уточнить наши знания о соотношении объёмов понятий «человек» и «разумное существо», задаёмся вопросом, все ли разумные существа являются людьми, и нет ли ещё иных разумных существ. При исследовании содержания тех или иных общих положений, законов, предписаний и пр. мы стараемся выяснить вопрос о том, верны ли соответствующие им обращения. Например, когда водитель узнаёт, что за выезд на полосу встречного движения он может быть лишён прав, у него немедленно возникает вопрос, а за что ещё его могут лишить прав.

Рассмотрим ряд примеров обращений, в которых мы будем по большей части сохранять естественную форму суждений:

 

Все слоны боятся мышей ( а )

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Некоторые из тех, кто боится мышей – слоны ( i )

Ночные страхи и меланхолия не присущи сангвиникам ( е )

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Ничто из того, что присуще сангвиникам, не есть ( е )

ночные страхи и меланхолия

Для пояснения последнего примера приведём логическую форму посылки:

Всё, что является ночными страхами и меланхолией не суть то,

что присуще сангвиникам.

 

Следующий пример:

 

Некоторые владыки Азии падали с белого слона ( i )

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Некоторые из тех, кто падал с белого слона - владыки Азии ( i )

 

Могут вызвать затруднение случаи, когда субъект или предикат являются единичным понятием. В этом случае квантор в посылке отсутствует. Мы помним, что единичные суждения рассматриваются как общие. Так же действуем и при обращении, но придавая заключению естественное благозвучие. Например,

 

Магараджа упал с белого слона ( а )

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Один из упавших с белого слона – Магараджа ( i )

Или

Самый ловкий человек это не Пётр Петрович ( е )

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Пётр Петрович не является самым ловким человеком ( е )

 

Ничего страшного не произойдёт, если Р будет единичным термином, а посылка – общеутвердительной:

 

Пётр Петрович – самый неуклюжий человек ( а )

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Один из тех, кого можно назвать самыми неуклюжими ( i )

людьми, это Пётр Петрович

Рассмотрим также пример, в котором разные понятия могут претендовать на роль субъекта:

 

Мне декан сегодня не встретился.

 

Если считать субъектом термины «мне» или «я», то обращение выглядит так:

 

Ни один из тех, кому сегодня встретился декан, не есть я.

 

Если же в качестве субъекта взят «декан», то получаем

 

Ни один из тех, кто сегодня встретился мне, не суть декан.

 

Наконец, суждения с внутренним квантором «некоторый» обращаются как и прочие:

 

Зонтики некоторых дам не годятся на роль парашюта ( е )

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Всё, что годится на роль парашюта, не суть зонтики ( е )

некоторых дам.

Превращение

Превращение – это элементарное умозаключение, техническая сторона которого состоит в замене в исходном суждении связки на противоположную и предиката на противоположный. Иными словами, связка «суть» («есть»)меняется на «не суть» («не есть») и наоборот, а предикат Р –на не- Р и наоборот. Схема превращения такова:

 

... S. .. Р (посылка)

––––––––––––––

... S не-... не- Р (заключение)

 

При этом, как правило, не -Р заменяется на синонимичный и не содержащий отрицания термин Q.

Исследуем вопрос о том, в каких случая превращение позволяет делать умозаключения. Начнём с общеутвердительных суждений Все S суть Р. По превращению получаем:

 

Все S суть Р ( а )

– – – – – – – – – – –

Все S не суть не- Р ( е )

 

Может ли возникнуть ситуация, когда посылка истинна, а заключение ложно? Рассмотрим диаграмму, на которой соотношения S и Р показаны на универсальном классе:

 

Р

не -Р

S

 

U

 

Очевидно, что универсальный класс U может быть представлен как сумма Р и не -Р. Если взять самый слабый случай, при котором истинно сужение Все S суть Р, а именно, представленный на диаграмме случай включения S в Р, то очевидно, что истинно и суждение Все S не суть не -Р. Иными словами, из истинности посылки здесь всегда будет следовать истинность заключения, и общеутвердительные суждения при превращении дают общеотрицательное заключение:

 

Все S суть Р ( а )

–––––––––––––––––

Все S не суть не- Р ( е )

 

Для сужений других типов превращение также проходит без ограничений и исключений. Представим последовательно схемы и иллюстрирующие их диаграммы:

 

Некоторые S суть Р ( i )

––––––––––––––––––––––––

Некоторые S не суть не- Р ( o )

 

для самого слабого случая пересечения S и Р

 

 

Р

не -Р

U

 

S

 

Ни одно S не суть Р ( е )

––––––––––––––––––

Все S суть не- Р ( а )

 

для единственного соотношения S и Р

 

Р не -Р

S

U

 

Некоторые S не суть Р ( о )

––––––––––––––––––––––––

Некоторые S суть не- Р ( i )

 

для самого слабого случая пересечения S и не -Р

 

Р

не -Р

U

 

S

 

Таким образом, правило умозаключения по схеме превращения таково:

 

а превращается в е

i превращается в о

е превращается в а

о превращается в i.

 

Превращение – это очень распространённое и практически полезное умозаключение. Мы пользуемся им так же часто, как и обращением. Цель использования превращения состоит в модификации смысла выражения, которая, с одной стороны, не затрагивает его содержания, а с другой, акцентирует внимание на отрицании предиката или на его положительном синониме.

Можно выделить несколько коммуникативно и когнитивно значимых целей использования превращения:

(1) Уточнение информации путём введения вместо отрицания предиката не- Р синонимичного ему положительного термина Q. Иногда это может усилить высказывание. Например (в форме близкой к естественной; логическую форму записываем, где потребуется, в квадратных скобках),

 

За такую работу тебя по головке не погладят ( е )

[Ты не суть тот, кого погладят по головке за эту работу]

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

За такую работу тебя накажут. ( а )

[Ты суть тот, кого не погладят по головке за эту работу]

 

Некоторые заявки на конкурс Чайковского не были поддержаны ( е )

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Некоторые заявки на конкурс Чайковского были отклонены. ( i )

[Некоторые заявки на конкурс Чайковского суть то, что не было

поддержано]

 

Здесь «не погладят по головке» (не- Р ) синонимично «накажут», а «то, что не было поддержано» – это синоним для «отклонено».

 

(2) Ответ на вопрос или возражение, а также усиление утверждения с помощью введения двойного отрицания:

 

Все спортсмены из нашей команды получили медали ( а )

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Ни один спортсмен из нашей команды не остался без награды . ( е )

 

Некоторые туристы спокойно проходят этот маршрут ( i )

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Некоторые туристы не жалуются на трудности, проходя этот маршрут. ( о )

 

Здесь «получил медаль» синонимично «не остался без награды», а «спокойно проходят» – синоним для «не жалуются на трудности, проходя».

Иногда люди, не очень внимательные могут запутаться в отрицаниях и не увидеть, где отрицание находится в связке, а где – в предикате. Курьёзный случай такого рода случился с политиком N. Посчитав оскорбительными и клеветническими обвинения, выдвинутые в его адрес соперниками по выборам, он подал на них в суд. Юристы составили следующее исковое заявление:

 

«Требуем опровергнуть, что N не является …»

 

и дальше шло то, что говорили про N его соперники. N суд выиграл, поскольку обвинения не были ничем подкреплены, и прислал на телевидение судебное постановление, которое в точности повторяло его исковое требование. Оппоненты N были в восторге, ведь согласно бумаге от них требовалось

 

«Публично опровергнуть, что N не является …»,

 

что они охотно и сделали: «Опровергаем, опровергаем, он является таким-то и таким-то! » Всё дело оказалось в отрицании, которое скрывается в глаголе «опровергать», ведь «опровергать» означает «утверждать, что не». Чтобы реконструировать совершённое здесь умозаключение придётся провести два превращения подряд:

 

Мы суть те, кто обязаны опровергнуть, что N не жулик ( а )

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Мы не суть те, кто может утверждать, что N не жулик. ( е )

[Мы не суть те, кто не обязаны утверждать, что неверно, что N не жулик]

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Мы суть те, кто обязаны утверждать, что N жулик. ( а )

[Мы суть те, кто обязаны опровергнуть, что N не является жуликом]

 

Здесь две группы синонимичных терминов:

 

Те, кто не обязаны утверждать, что неверно, что N не является жуликом.

Те, кто не обязаны утверждать, что N жулик.

Те, кто может утверждать, что N не жулик.

 

Те, кто не может утверждать, что N не жулик.

Те, кто обязаны утверждать, что N жулик.

 

Рассмотрим ещё несколько примеров превращения, стараясь подыскивать для отрицательных терминов положительные синонимы. Будем стараться сохранять естественную форму суждений. Кроме того, будем помнить, что неблагозвучное «не тот, кто А» эквивалентно более приемлемому «тот, кто не-А».

 

Все волки, видя Луну, волнуются ( а )

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Ни один волк не суть тот, кто, видя Луну, остаётся спокоен. ( е )

Некоторые мои друзья опоздали к началу спектакля ( i )

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Некоторые мои друзья не суть те, кто пришли на спектакль вовремя. ( о )

Йог не простоит на голове более суток ( е )

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Все йоги суть те, кто может простоять на голове лишь сутки или менее. ( а )

Некоторых студентов никак нельзя назвать лысыми ( о )

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Некоторые студенты весьма волосаты ( i )

Заметим, что превращение отрицательных суждений проходить как будто незаметно. Связка в русском языке, как правило, опускается, и, если она отрицательна, то от неё остаётся только отрицательная частица «не». В предпоследнем примере из посылки:

Йог не простоит на голове более суток.

вполне можно было получить в естественной форме заключение вида

 

Йог может простоять на голове не более суток,

что, как кажется, едва ли отличается от посылки. Между тем первое суждение отрицательное, а второе утвердительное. В случаях очень простых предложений в естественной форме иногда трудно определить, что перед нами, утверждение или отрицание. Суждение

 

Поезд так просто не догнать

 

может быть прочитано двояко (раскрывая фразеологизмы)

 

Поезд не есть то, что можно догнать без особых усилий.

Поезд есть то, что нельзя догнать без особых усилий.

 

Следует всегда помнить, что отрицание в связке и отрицание в предикате – это разные отрицания, выполняющие разные логические функции.

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: