Определение вероятностных показателей структурной надежности

Рассмотрим задачу определения надежности связи (вероятность связности) меж­ду узлами сети а_s и а_t, если задано множество путей m_st, которые могут быть использованы для связи указанных узлов. В качестве математической модели сети используем вероятностный граф, веса вершин и ребер которого представляют показатели надежности (коэффициенты готовности или вероятно-сть безотказной работы).

При использовании одного пути для связи двух вершин графа сети, надеж-ность связи вершин определяется следующим образом.

Пусть - конкретный путь ( k -ый путь), связывающий вершину s с вершиной t. Надежность пути между вершинами s и t, при условии стати-стической независимости элементов графа сети, оценивается вероятностью одновременного исправного (работоспособного) состояния всех ребер графа (ли-ний связи сети), образующих указанный путь, если вершины графа абсолютно надежны, т.е.

, (1)

 

где - знак произведения;

p(bij) – вероятность исправного состояния ребра bij, принадлежащего пути между вершинами s и t;

q (bij) -вероятность неисправного состояния ребра bij.
Если учитывать надежность вершин графа, то

 

, (2)

 

где p(ai) –показатель надежности a i – ого узла, входящего в путь между узлами.

Надежность связи (вероятность связности) двух узлов s и t при использова-нии m_st путей (k ≥ 2) - , будем оценивать вероятностью исправного состояния хотя бы одного пути из заданного множества путей m_st. Если отдельные элементы пути (их участки или линии связи) образуют по отношению к узлам s и t парал-лельно-последовательную структуру, то для определения надежности связи (веро-ятности связности) можно использовать общепринятые способы определения на-дежности структур с таким соединением элементов. При последовательном сое-динении можно пользоваться формулой (2.1, 2.2), а при параллельном соединении

путей надежность связи рассчитывается по формуле

(3)

где m_st - совокупность параллельных путей, связывающих узлы s и t;

Для определения надежности связи узла s с узлом t, при ограниченном числе используемых путей, предлагается следующий алгоритм:

1. По графу сети определим множество путей m_st, которые используются для связи узла s с узлом t. Например, используя графический метод.

2. Каждому пути поставим в соответствие случайное событие Ai, характеризую-

щее исправное состояние i - ого пути.

3. Определим надежность каждого из указанных путей c учетом показателей наде-

жности элементов сети, применяя формулу (1) или (2). Полученные выражения определяют вероятность наступления каждого события Ai.

4. Для определения надежности связи Pst узла s с узлом t, воспользуемся формулой для расчета вероятности суммы совместных событий Ai, поставленных в соответст-вие множеству путей между узлами s и t.

 

 

где m - число путей между узлом s и t;

Ai – событие, поставленное в соответствие исправному состоянию i-ого пути из множества путей m,

P (А_i) – вероятность наступления события А_i;

P (А_i А_j) – вероятность совместного наступления двух событий А_i и А_j;

P (А_i А_j А_к)- вероятность совместного наступления трех событий А_i, А_j и А_к;

.

.

P (А₁ А₂ …А_m)– вероятность совместного наступления m событий А_i.

В соответствии с теоремой произведения вероятностей, вероятность произ-

ведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий,

причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при

условии, что все предыдущие имели место. Тогда:

P (А_i А_j) = P (А_i) P ( А_j | А_i),

где P( А_j | А_i) условная вероятность наступления события А_j при условии, что про-изошло событие А_i.

Аналогично:

P (А_i А_j А_к) = P (А_i ) P( А_j | А_i) P(А_к| А_i А_j);

.

.

P (А₁ А₂ …А_m) = P (А₁ ) P( А₂ | А₁) P(А₃| А₁ А₂) … P(А_m| А₁ А₂ А_{3 …} А_m-1 ).

 

Пример 1

 

Определить надежность связи (вероятность связности) узла 1 с узлом 3 - Р13 в

сети, граф которой показан на рисунке 18. При этом для связи указанных узлов

1 и 3 используются пути: = {а1, b12, а2, b13, а2}, = {а1, b14, а4, b42, а2, b23, а3} и

= {а1, b14, а4, b43, а3}. Элементы сети (узлы и линии связи) являются статистически независимыми. Показатели надежности элементов сети представляют их коэффици-енты готовности.

 

 

 

Рис. 18. Граф сети

 

Для определения Р13 воспользуемся выше приведенным алгоритмом расчета на-

дежности связи. Поскольку пути заданы, реализацию алгоритма начнем со второго шага.

1. Поставим каждому из указанных путей случайные события Аi, соответствующие

исправным состояниям этих путей.

Событие А1 поставим в соответствие путь ; А2 – ; А3 – .

3. Определим вероятность наступления событий Аi, зная маршруты путей и коэффициенты готовности узлов и линий связи сети, а также, в качестве примера,

вероятность совместного наступления событий А1 и А2 - P (А_i А_j).

Р(А1) = К1 К12 К2 К23 К3; Р(А2) = К1К14 К4 К42К2 К23 К3; Р(А3) = К1К14 К4 К43 К3.

P (А₁ А₂) = P (А₁) P ( А₂ | А₁),

где Р (А1) = К1 К12 К2 К23 К3;

P (А₂ | А₁) = К14 К4 К42.

Таким образом:

P (А₁ А₂) = К1 К12 К2 К23 К14 К4 К42 К3.

Аналогичным способом определяются вероятности совместного наступления дру-

гих событий - P (А₁ А₃), P (А₂ А₃) и P (А ₁ А ₂ А ₃ ).

4. Используя формулу (4), определим надежность связи Р13.

Р13 = К1 К12 К2 К23 К3 + К1К14 К4 К42 К2 К23 К3 + К1К14 К4 К34 К3 ­

К1 К12 К2 К23 К14 К4 К42 К3 ­ К1 К12 К2 К23 К14 К4 К34 К3 - К1К14 К4 К42К2 К23 К34 К3 +

+ К1 К12 К2 К23 К14 К42 К4 К34 К3

Если узлы абсолютно надежны, т.е. коэффициенты готовности узлов сети рав-

ны 1, то имеем:

Р13 = К12 К23 + К14 К42 К23 + К14 К34 ­ К12 К23 К14 К42 ­ К12 К23 К14 К34 -

- К14 К42 К23 К34 + К12 К23 К14 К42 К34.

Подставляя конкретные значения коэффициентов готовности Кij, рассчитаем Р13.

Если коэффициенты готовности для всех линий связи одинаковые и равны 0.9, по-

лучим

Р13 = 0.97119.

Для определения математического ожидания числа связей в сети М (Х) вос-пользуемся основными положениями теории вероятности. Пусть случайная величина Х поставлена в соответствие общему числу межузловых связей в сети. При наличии n взаимодействующих друг с другом узлов, случайная величина X, в зависимости от надежности узлов или линий связи, будет изменяться в пределах от 0 до n(n – 1)

(0 ≤ X ≤ n(n – 1)). Если каждой связи в сети поставить в соответствие случайную величину , то случайная величина X может быть определена как:

, (5)

где M – число рассматриваемых связей в сети. Тогда

(6)

В соответствии с теоремой сложения математических ожиданий случайных вел-

чин, имеем

(7)

Величина является дискретной случайной величиной, принимающей значение

1, если i-ая связь существует в сети, или 0, если i-ая связь отсутствует, т.е. данные

события образуют полную группу. Пусть Pi – вероятность того, что случайная ве-

личина принимает значение равное 1. Тогда, в соответствии с выше сказанным, (1­Pi)– вероятность того, что случайная величина принимает значение равное 0. Тогда математическое ожидание случайной величины будет равно

 

m (xi) = 1Pi + 0(1- Pi) = Pi

 

Следовательно

(8)

 

ВероятностьPi эквивалентна надежности связи (вероятности связности) узлов, обра-зующих i-ую связь.

С учетом выше сказанного, для определения математического ожидания чи-сла связей в сети М (Х) предлагается использовать следующий алгоритм:

1. Сформировать список корреспондирующих пар узлов сети.

2. Определить пути, которые могут быть использованы для связи каждой пары узлов сети из заданного списка.

3. Для каждой пары узлов, с учетом надежности элементов сети и используемых для связи путей, определим вероятность связности.

4. Произведем суммирование значений вероятностей связности различных пар узлов сети из заданного списка. В результате получим абсолютное значение мате-матического ожидания числа связей в сети – М (Х).

Удобнее и нагляднее число связей в сети выразить в относительных единицах. В этом случае величина М (Х)_отн. может быть рассчитана по формуле:

 

М (Х)_отн. = (М (Х)/M_max)·100%, (9)

 

где M_max – число связей в сети из заданного списка корреспондирующих пар узлов, при условии, что все элементы сети абсолютно надежны.

 

Пример 2

Определить математическое ожидание числа связей М (Х)_отн. для сети, пред-ставленной на рисунке 19, при условии, что используются все возможные пути

для связи узлов сети и коэффициент готовности каждой линии связи (вес ребра

графа сети) равен К = 0, 9. Узлы сети абсолютно надежны.

Рис. 19. Граф сети

 

Для решения задачи используем алгоритм расчета математического ожидания числа связей М (Х), приведенный выше,

 

1. Используя графический метод, изложенный в МУ к задаче 1, определим список путей, связывающих узлы сети. Для связи i – го узла с j – ым могут быть исполь-зованы по два пути. Ранг путей в сети изменяется от 1 до 3.

m¹₁₂={b₁₂}, m²₁₂ = {b₁₃, b₂₃}; m¹₁₃ = {b₁₃}, m²₁₃ = {b₁₂, b₂₃};

m¹₁₄ = {b₁₃, b₃₄}, m²₁₄ = {b ₁₂, b₂₃, b₃₄}; m¹₂₁ = {b₂₁}, m²₂₁ = {b₂₃, b₃₁};

m¹₂₃ = {b₂₃}, m²₂₃ = {b₂₁, b₁₃}; m¹₂₄ = {b₂₃, b₃₄}, m²₂₄ = {b₂₁, b₁₃, b₃₄};

m¹₃₁ = {b₃₁}, m²₃₁ = { b₃₂, b₂₁ }; m¹₃₂ = {b₃₂}, m²₃₂ = {b₃₁, b₁₂}; m¹₃₄ = {b₃₄};

m¹₄₁ = { b₄₃, b₃₁}, m²₄₁ = {b₁₂, b₂₃, b₃₄}; m¹₄₂ = {b₂₃, b₃₄}; m²₄₂ = {b₁₂, b₁₃, b₃₄};

m¹₄₃ = {b₄₃}.

 

2. Определим надежность каждого из указанных путей в общем виде с учетом коэффициентов готовности линий связи сети (весов ребер графа сети), используя

формулу (1).

P (m¹₁₂) = P (m¹₂₁) = К₁₂; P (m²₁₂) = P (m²₂₁) = К₁₃ К₂₃;

P (m¹₁₃) = P (m¹₃₁) = К₁₃; P (m²₁₃) = P (m²₃₁) = К₁₂ К₂₃;

P (m¹₁₄) = P (m¹₄₁) = К₁₃ К₃₄; P (m²₁₄) = P (m²₄₁) = К₁₂ К₂₃ К₃₄;

P (m¹₂₃) = P (m¹₃₂) = К₂₃; P (m²₂₃) = P (m²₃₂) = К₁₂ К₁₃ ;

P (m¹₂₄) = P (m¹₄₂) = К_23* К₃₄; P (m²₂₄) = P (m²₄₂) = К₁₂ К₁₃ К₃₄;

P (m¹₃₄) = P (m¹₄₃) = К₃₄

 

3. Определим вероятности связности для каждой пары вершин графа (узлов сети), используя выражение (4).

Р₁₂ = Р₂₁ = К₁₂ + К₁₃ К₂₃ – К₁₂ К₁₃ К₂₃; Р₁₃ = Р₃₁ = К₁₃ + К₁₂ К₂₃ – К₁₂ К₁₃ К₂₃;

Р₁₄ = Р₄₁ = К₁₃ К₃₄ + К₁₂ К₂₃ К₃₄ – К₁₂ К₁₃ К₂₃ К₃₄;

Р₂₃ = Р₃₂ = К₂₃ + К₁₃ К₁₂ – К₁₂ К₁₃ К₂₃;

Р₂₄ = Р₄₂ = К₂₃ К₃₄ + К₁₂ К₁₃ К₃₄ – К₁₃ К₁₂ К₂₃ К₃₄; Р₃₄ = Р₄₃ = К₃₄ .

4. Определим выражение для расчета математического ожидания числа связей в сети - М (Х).

М (Х) = Р₁₂ + Р₂₁ + Р₁₃ + Р₃₁ + Р₁₄ + Р₄₁ + Р₂₃ + Р₃₂ + Р₂₄ + Р₄₂ + Р₃₄ + Р₄₃ =

= 2(К₁₂ + К₁₃ К₂₃ + К₁₃ + К₁₂ К₂₃ + К₁₃ К₃₄ + К₁₂ К₂₃ К₃₄ + К₂₃ + К₁₃ К₁₂ + К₂₃ К₃₄ + К₁₂ К₁₃ К₃₄ + К₃₄ ) – 6 К₁₂ К₁₃ К₂₃ – 4 К₁₂ К₁₃ К₂₃ К₃₄ .

5.Определим максимальное число межузловых связей в сети при абсолютно надежных элементах.

M_max = n (n-1) = 4 x 3 = 12,

где n – число узлов сети (вершин графа n = 4).

6. Подставив значение К_г = 0, 9 в выражение для М (Х), полученное в пункте 4,

и, используя формулу (9), определим М (Х)_отн..

М (Х)_отн. = (М (Х)/ n (n-1)) 100% = (11.2176 /12) 100% = 93.48 %

 

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: