Работа 19. Законы распределения случайных процессов

 

Работа «Законы распределения случайных процессов» предназначена для изучения временных и вероятностных характеристик случайных процессов. Она содержит три задания:

1. Исследование законов распределения различных процессов.

2. Исследование законов распределения суммы гармонического сигнала и шума при разных отношениях с/ш.

3. Исследование законов распределения сумм случайных независимых процессов при разном числе слагаемых.

4. Повторение задания 1 в режиме многократной (30 циклов) развертки приборов.

5. Повторение задания 2 в режиме многократной (100 циклов) развертки приборов.

Задание 1

Наблюдайте законы распределения разных процессов в следующем порядке по каналам:

1) сигнал Ucos(2пfоt + Phase) (Uэфф=0, 5В, fo=13кГц),

2) АМ сигнал U[1+cos(2пFмt)] cos(2пfot + Phase),

3) равномерный шум N1(t) (Uэфф = 0, 3 В),

4) нормальный шум N2(t) (Uэфф = 0, 3 В).

Зафиксируйте осциллограммы и гистограммы распределения значений сигналов по уровням с указанием их параметров. Обратите внимание на различия в законах распределения наблюдаемых сигналов.

Сделайте выводы по результатам наблюдений.

Комментарии и выводы

Экспериментальное измерение плотности вероятности w(u) случайного процесса (СП) осуществляется с помощью анализатора уровней (АУ). Основными характеристиками АУ являются:

1) диапазон измерения – интервал значений, в котором производится анализ сигнала (в ВЛ от –1 до +1 В),

2) количество подинтервалов (каналов) m, на которые разбивается диапазон измерения (в ВЛ m = 21 подинтервал, протяженностью 0, 1 В каждый).

3) объем обрабатываемой выборки n (в ВЛ n = 4096 отсчетов сигнала).

Принцип действия АУ заключается в подсчете числа попаданий отсчетов сигнала в каждый из m подинтервалов. Результат анализа выдается в виде гистограммы – совокупности 21 столбца, основание которых есть ширина интервала (0, 1 В), а высота – относительное число отсчетов, попавших в данный интервал. Для удобства сопоставления гистограмм с осциллограммами сигналов (одинакового расположения осей u(t) осциллограмм и u гистограмм) гистограммы повернуты на 90° по часовой стрелке.

Очевидно, что результаты измерений являются оценками плотности вероятности, носящими случайный характер. Они тем ближе к истинным, чем больше объем выборки n и число подинтервалов m. Очевидно, также, что их можно трактовать как оценку w(u) только для эргодических случайных процессов, т. к. анализ проводится по одной реализации случайного процесса.

Разные случайные процессы имеют разные w(u). Для гармонического колебаний со случайной фазой вероятность экстремальных значений максимальна, а нулевых – минимальна, что связано с разной относительной скоростью изменения сигнала около соответствующих его мгновенных значений.

Аналитические выражения плотности вероятности СП:

1) равномерного

2) нормального (гауссовского) .

3) сигнала Ucos(2pft + Phase) с равномерно распределенной случайной фазой w(Phase) = 1/2π .

 

Задание 2

Наблюдайте законы распределения суммы гармонического сигнала и гауссовского шума Ucos(2пfot) + N2(t) (fo = 13кГц) при разных отношениях сигнал/шум (с/ш) в следующем порядке по каналам:

1) сигнал Uэфф = 0, 5 В, с/ш = 50,

2) сигнал Uэфф = 0, 5 В, с/ш = 5,

3) сигнал Uэфф = 0, 5 В, с/ш = 5,

4) сигнал Uэфф = 0, 5 В, с/ш = 1.

Зафиксируйте осциллограммы и гистограммы распределения значений сигналов по уровням с указанием их параметров.

Обратите внимание на сходства и различия в законах распределения наблюдаемых сигналов.

Сделайте выводы по результатам наблюдений.

Комментарии и выводы

При отношении с/ш = 50 распределение аддитивной смеси гармонического сигнала и нормального шума отличается от распределения чисто гармонического сигнала небольшой размытостью в области максимумов гистограммы.

С уменьшением отношения с/ш гистограмма распределения принимает все более выраженную колокольную форму по краям с уменьшением провала в центре и стремится к нормальному распределению.

 

Задание 3

Наблюдайте законы распределения суммы шумовых процессов с Uэфф = 0, 3 В с равномерными распределениями N1(t)+N1(t) +... при разном числе слагаемых n (объемах выборки n x 4096 – пункт меню «Выборка СП») в следующей последовательности по каналам:

1) n = 1 (объем выборки 1 х 4096),

2) n = 2 (объем выборки 2 х 4096),

3) n = 4 (объем выборки 4 х 4096),

4) n = 8 (объем выборки 8 х 4096).

Зафиксируйте гистограммы распределения значений процессов по уровням с указанием числа слагаемых.

Обратите внимание на сходства и различия в законах распределения наблюдаемых процессов.

Сделайте выводы по результатам наблюдений.

Комментарии и выводы

Плотность вероятности суммы двух случайных независимых процессов с равномерными распределениями имеет треугольную форму.

С увеличением числа слагаемых процессов распределение их суммы приобретает все более выраженную колокольную форму (т.е. стремится к нормальному). Это объясняется известной в теории вероятностей центральной предельной теоремой А.М. Ляпунова.

 

Задание 4

Повторение задания 1 в режиме многократной (30 циклов) развертки приборов.

Установите в приборах режим многократной развертки (меню «Приборы / Число циклов (память) развертки / 30»).

Наблюдайте законы распределения разных процессов в следующем порядке по каналам:

1) сигнал Ucos(2пfоt + Phase) (Uэфф=0, 5В, fo=13кГц),

2) АМ сигнал U[1+cos(2пFмt)]cos(2пfot + Phase),

3) равномерный шум N1(t) (Uэфф = 0, 3 В),

4) нормальный шум N2(t) (Uэфф = 0, 3 В).

Зафиксируйте осциллограммы и гистограммы распределения значений сигналов по уровням с указанием их параметров.

Обратите внимание на существенное уменьшение погрешности экспериментального определения плотности вероятности СП по сравнению с результатами выполнения задания 1, связанное с увеличением объема анализируемой выборки отсчетов сигнала.

Сделайте выводы по результатам работы.

Комментарии и выводы

При использовании в осциллографе и анализаторе уровней режима многократной развертки (в данном случае 30 циклов) имеют место:

1) наложение на экране осциллографа осциллограмм 30-ти реализаций случайного процесса (СП) – «шумовая дорожка», дающая определенное представление о распределении мгновенных значений СП;

2) воспроизводимая на экране анализатора уровней гистограмма оценки плотности вероятности СП имеет существенно меньшую экспериментальную погрешность, чем при использовании однократной развертки в задании 1, вследствие увеличения объема выборки отсчетов СП в 30 раз.

Задание 5

Повторение задания 2 в режиме многократной (100 циклов) развертки приборов.

Установите в приборах режим многократной развертки (меню «Приборы / Число циклов (память) развертки / 100»).

Наблюдайте законы распределения суммы гармонического сигнала и гауссовского шума Ucos(2пfot) + N2(t) (fo = 13кГц) при разных отношениях сигнал/шум (с/ш) в следующем порядке по каналам:

1) Сигнал Uэфф = 0, 5 В, с/ш = 50,

2) Сигнал Uэфф = 0, 5 В, с/ш = 5,

3) Сигнал Uэфф = 0, 5 В, с/ш = 2,

4) Сигнал Uэфф = 0, 5 В, с/ш = 1.

Зафиксируйте осциллограммы и гистограммы распределения значений сигналов по уровням с указанием их параметров.

Обратите внимание на существенное уменьшение погрешности экспериментального определения плотности вероятности СП по сравнению с результатами выполнения задания 2, связанное с увеличением объема анализируемой выборки отсчетов сигнала.

Сделайте выводы по результатам работы.

Комментарии и выводы

При использовании в осциллографе и анализаторе уровней режима многократной развертки (в данном случае 100 циклов) имеют место:

1) наложение на экране осциллографа осциллограмм 100 реализаций случайного процесса (СП) – «шумовая дорожка», дающая определенное представление о распределении мгновенных значений СП;

2) воспроизводимая на экране анализатора уровней гистограмма оценки плотности вероятности СП имеет существенно меньшую экспериментальную погрешность, чем при использовании однократной развертки в задании 1, вследствие увеличения объема выборки отсчетов СП в 100 раз.

 

Контрольные вопросы

1. Случайный процесс – это …?

2. Что надо указать для исчерпывающего описания случайного процесса?

3. Каков смысл и размерность n-мерной F(x₁, x₂, …, x_n; t₁, t₂, …, t_n) [или одномерной F(x)] функции распределения случайного процесса?

4. Каков смысл и размерность n-мерной [или одномерной w(x)] плотности вероятности случайного процесса?

5. Как связаны между собой n-мерные [или одномерные w(x)] плотность вероятности и функция распределения?

6. Математическое ожидание M[X(t)] случайного процесса и его размерность – это …?

7. Укажите верные характеристики случайного процесса N(t) вида «белый шум».

8. Дисперсия D[X(t)] случайного процесса и ее размерность – это …?

9. Укажите верные характеристики случайного процесса вида «квазибелый шум».

10. Укажите правильные определения функции корреляции случайного процесса.

11. Случайные процессы называют стационарными в широком смысле, если …?

12. Случайный процесс называют стационарными в узком смысле, если …?

13. Случайные стационарные процессы называют эргодическими, если …?

14. Постоянная составляющая случайного процесса – это …?

15. Мощность переменной составляющей СП – это …?

16. Какие свойства соответствуют нормальному (гауссовскому) процессу?

17. Укажите верные свойства корреляционных функций B_X(t) стационарных СП.

18. Спектральная плотность энергии СП и ее размерность – это …?

19. Спектральная плотность мощности (энергетический спектр) СП и ее размерность – это …?

20. Каковы связи между корреляционной функцией и энергетическим спектром стационарного СП?

21. Укажите верные свойства энергетического спектра стационарного СП.

22. Укажите верные характеристики случайного процесса вида «синхронный телеграфный сигнал».

23. Определите математическое ожидание СП с распределением В^-1.

24. Определите дисперсию СП с распределением В^-1.

25. Определите среднеквадратичное отклонение СП (в вольтах) с распределением В^-1.

26. Определите мощность эргодического СП (в В²) с распределением В^-1.

27. Определите постоянную составляющую эргодического СП (в вольтах) с распределением В^-1.

 

⇐ Предыдущая12131415161718192021Следующая ⇒

Поделиться: