Обработка косвенных измерений

В практике большинство измерений – косвенные и интересующая _пределна является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин:

N = ƒ (x, y, z, …) (8.10)

Как следует из теории вероятностей, среднее значение величины _пределяяется подстановкой в формулу (8.10) средних значений непосредственно измеряемых величин, т.е.

¯ N = ƒ (¯ x, ¯ y, ¯ z, …) (8.11)

Требуется найти абсолютную и относительную ошибки этой функции, если известны ошибки независимых переменных.

Рассмотрим два крайних случая, когда ошибки являются либо систематическими, либо случайными. Если исходить из определения систематической ошибки как максимально возможной ошибки, то целесообразно находить систематическую ошибку по формулам

(8.12)

или

, (8.13)

где частные производные функции N = ƒ (x, y, z, …) по аргументу x, y, z…, найденные в предположении, что все остальные аргументы, кроме того, по которому находится производная, постоянные;

δ x, δ y, δ z – систематические ошибки аргументов.

Формулой (8.12) удобно пользоваться в случае, если функция имеет вид суммы или разности аргументов. Выражение (8.13) применять целесообразно, если функция имеет вид произведения или частного аргументов.

Для нахождения случайной ошибки косвенных измерений следует пользоваться формулами:

(8.14)

или

, (8.15)

где Δ x, Δ y, Δ z, … – доверительные интервалы при заданных доверительных вероятностях (надежностях) для аргументов x, y, z, …. Следует иметь в виду, что доверительные интервалы Δ x, Δ y, Δ z, … должны быть взяты при одинаковой доверительной вероятности P₁ = P₂ = … = P_n = P.

В этом случае надежность для доверительного интервала Δ N будет тоже P.

Формулой (8.14) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ (x, y, z, …) имеет вид суммы или разности аргументов. Формулой (8.15) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ (x, y, z, …) имеет вид произведения или частного аргументов.

Часто наблюдается случай, когда систематическая ошибка и случайная ошибка близки друг к другу, и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. В этом случае общая ошибка ∑ находится как квадратичная сумма случайной Δ и систематической δ ошибок с вероятностью не менее чем P, где P – доверительная вероятность случайной ошибки:

.

При проведении косвенных измерений в невоспроизводимых условияхфункцию находят для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляют для получения значений искомой величины по тому же методу, что и для прямых измерений.

Следует отметить, что в случае функциональной зависимости, выраженной формулой, удобной для логарифмирования, проще сначала определить относительную погрешность, а затем из выражения Δ N = ε ¯ N найти абсолютную погрешность.

Последовательность обработки результатов косвенных измерений:

Все величины, находимые прямыми измерениями, обработать в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин задать одно и то же значение надежности P.

Оценить точность результата косвенных измерений по формулам (8.12) – (8.13), производные вычислить при средних значениях величин.

Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом взять по модулю; знак d заменить на Δ (или δ ).

Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то сложить их по правилу сложения ошибок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросить.

4. Результат измерения записать в виде:

N = ƒ (¯ x, ¯ y, ¯ z, …) ± Δ ƒ.

Определить относительную погрешность результата серии косвенных измерений

_{ε =} ( Δ ƒ _{· 100%.}) / ƒ

Примеры расчета ошибки косвенного измерения.

Пример 1.Находится объем цилиндра по формуле

V = (π d2 h ) / 4

где d – диаметр цилиндра, h – высота цилиндра.

Обе эти величины определяются непосредственно. Пусть измерение этих величин дало следующие результаты:

d = (4.01 ± 0.03) мм,

h = (8.65 ± 0.02) мм, при одинаковой надежности Р = 0.95.

Среднее значение объема, согласно (8.11) равно

V = 3.14 · (4.01)2 · 8.65 = 109.19 мм3

¯ ¯ ¯ ¯ 4¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Воспользовавшись выражением (8.15) получаем:

ln V = ln π + 2 lnd + lnh – ln4;

;

;

;

.

Так как измерения производились микрометром, цена деления которого

0.01 мм, систематические ошибки δ d = δ h = 0.01 мм. На основании (8.13) систематическая ошибка δ V будет

.

Систематическая ошибка оказывается сравнимой со случайной, следовательно

.

Таким образом, результат измерения оказывается

V = (109 ± 2) мм³ при P = 0.95

.

Пример 2. Найти абсолютную и относительную погрешности для следующей функциональной зависимости:

.

В этом случае удобнее сначала искать относительную погрешность. Тогда

= d[ln(m₁ + m₂ – m₃)] – d(ln2) – d(ln m₁) – d(ln m₂) =

.

До сих пор подразумевается математический смысл дифференциала, и знаки слагаемых учитываются. Раскроем выражение d(m₁ + m₂ – m₃) = dm₁ + dm₂ – dm₃ и разделим почленно на знаменатель. Затем объединим все члены, содержащие дифференциалы одной и той же переменной:

.

Используя формулу (8.15), получим

.

Абсолютную случайную погрешность найдем из выражения

Δ τ = ε ·¯ ¯ τ

Используя формулу (8.13) получаем

Абсолютную систематическую ошибку найдем из выражения

δ τ = ε ·¯ ¯ τ

 

Таблица 8.4
Расчет погрешностей для простейших функций
N	ƒ	Δ ƒ	ε =Δ ƒ /ƒ
	x + y	Δ x + Δ y	(Δ x + Δ y)/(x + y)
	x - y	Δ x + Δ y	(Δ x + Δ y)/(x - y)
	x · y	xΔ y + yΔ x	(Δ x/x) + (Δ y/y)
	x/y	(xΔ y + yΔ x)/y2	(Δ x/x) + (Δ y/y)
	xn	nxn-1 · Δ x	nΔ x/x
	x1/n	Δ x / (n · x(n-1)/n)	Δ x/(nx)
	sin x	cos x· Δ x	ctg x· Δ x
	cos x	sin x· Δ x	tg x· Δ x
	tg x	Δ x/cos2x	2Δ x/sin 2x
	lg x	0.434Δ x/x	0.434Δ x/(x · lg x)

Метод наименьших квадратов

Если некоторая физическая величина зависит от другой величины, то эту за-

висимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x. В ре-

зультате измерений получается ряд значений:

x₁, x₂, ..., x_i, , ..., x_n;

y₁, y₂, ..., y_i, , ..., y_n.

По данным такого эксперимента можно построить график зависимости y = ƒ (x). Полученная кривая дает возможность судить о виде функции ƒ (x). Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Определить их позволяет метод наименьших квадратов. Экспериментальные точки, как правило, не ложатся точно на кривую. Метод наименьших квадратов требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой, т.е. [y_i – ƒ (x_i)]² была наименьшей.

На практике этот метод наиболее часто используется в случае линейной зависимости, т.е. когда

y = kx или y = a + bx.

И даже когда зависимость нелинейная, обычно стараются строить график так, чтобы получить прямую линию. Например, если предполагают, что показатель преломления стекла n связан с длиной λ световой волны соотношением

n = a + b/λ ²,

то на графике строят зависимость n от λ ^-2.

Рассмотрим зависимость y = kx (прямая, проходящая через начало координат). Составим величину φ – сумму квадратов отклонений наших точек от прямой

.

Величина φ всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором φ имеет минимум

или

(8.16)

Вычисление показывает, что среднеквадратичная ошибка определения величины k равна при этом

, (8.17)
где – n число измерений.

Рассмотрим более сложный случай, когда точки должны удовлетворить формуле y = a + bx (прямая, не проходящая через начало координат).

Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений x_i, y_i найти наилучшие значения a и b.

Снова составим квадратичную форму φ, равную сумме квадратов отклонений точек x_i, y_i от прямой

и найдем значения a и b, при которых φ имеет минимум

;

.

Совместное решение этих уравнений дает

(8.18)

. (8.19)

Среднеквадратичные ошибки определения a и b равны

(8.20)

. (8.21)

При обработке результатов измерения этим методом удобно все данные сводить в таблицу, в которой предварительно подсчитываются все суммы, входящие в формулы (8.16)–(8.21).

Пример 1. Исследовалось основное уравнение динамики вращательного движения ε = M/J (прямая, проходящая через начало координат). При различных значениях момента M измерялось угловое ускорение ε некоторого тела. Требуется определить момент инерции этого тела. Результаты измерений момента силы и углового ускорения занесены во второй и третий столбцы таблицы 8.5.

По формуле (8.16) определяем:

.

отсюда

.

 

Таблица 8.5
n	M, Н · м	ε, c-1	M2	M · ε	ε - kM	(ε - kM )2
	1.44	0.52	2.0736	0.7488	0.039432	0.001555
	3.12	1.06	9.7344	3.3072	0.018768	0.000352
	4.59	1.45	21.0681	6.6555	-0.08181	0.006693
	5.90	1.92	34.81	11.328	-0.049	0.002401
	7.45	2.56	55.5025	19.072	0.073725	0.005435
∑	–	–	123.1886	41.1115	–	0.016436

 

Для определения среднеквадратичной ошибки воспользуемся формулой (8.17)

= 0.005775 кг^-1 · м^-2.

По формуле (18) определяем

S_J = (2.996 · 0.005775)/0.3337 = 0.05185 кг · м².

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 5, находим t = 2.78 и определяем абсолютную ошибку Δ J = 2.78 · 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 кг · м².

Результаты запишем в виде:

J = (3.0 ± 0.2) кг · м²;

.

Пример 2. Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону

R_t = R₀(1 + α t°) = R₀ + R₀ α t°.

Свободный член определяет сопротивление R₀ при температуре 0° C, а угловой коэффициент – произведение температурного коэффициента α на сопротивление R₀.

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 8.6).

Таблица 8.6
n	t°, c	r, Ом	t-¯ t	(t-¯ t)2	(t-¯ t)r	r - bt - a	(r-bt - a)2* 10-6
		1.242	-62.8333	3948.028	-78.039	0.007673	58.8722
		1.326	-26.8333	720.0278	-35.581	-0.00353	12.4959
		1.386	-1.83333	3.361111	-2.541	-0.00965	93.1506
		1.417	10.16667	103.3611	14.40617	-0.01039	107.898
		1.512	34.16667	1167.361	51.66	0.021141	446.932
		1.520	47.16667	2224.694	71.69333	-0.00524	27.4556
∑		8.403	–	8166.833	21.5985	–	746.804
∑ /n	85.83333	1.4005	–	–	–	–	–

 

По формулам (8.18), (8.19) определяем

,

R₀ = ¯ R- α R₀¯ t = 1.4005 - 0.002645 · 85.83333 = 1.1735 Ом.

отсюда:

.

Найдем ошибку в определении α. Так как , то по формуле (8.15) получим:

.

Пользуясь формулами (8.20), (8.21) получим:

;

= 0.014126 Ом.

Тогда

.

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 6, находим t = 2.57 и определяем абсолютную ошибку

Δ α = 2.57 · 0.000132 = 0.000338 град^-1.

α = (23 ± 4) · 10^-4 град^-1 при P = 0.95.

.

Пример 3. Требуется определить радиус кривизны линзы по кольцам Ньютона. Измерялись радиусы колец Ньютона r_m и определялись номера этих колец m. Радиусы колец Ньютона связаны с радиусом кривизны линзы R и номером кольца уравнением

r²_m = mλ R - 2d₀R,

где d₀ – толщина зазора между линзой и плоскопараллельной пластинкой (или деформация линзы),

λ – длина волны падающего света.

Пусть

λ = (600 ± 6) Нм;
r²_m = y;
m = x;
λ R = b;
-2d₀R = a,

тогда уравнение примет вид y = a + bx.

Результаты измерений и вычислений занесены в таблицу 8.7.

Таблица 8.7
n	x= m	y = r2, 10-2 мм2	m -¯ m	(m-m)2	(m -¯ m)y	y - bx - a, 10-4	(y - bx - a)2* 10-6
		6.101	-2.5	6.25	-0.152525	12.01	1.44229
		11.834	-1.5	2.25	-0.17751	-9.6	0.930766
		17.808	-0.5	0.25	-0.08904	-7.2	0.519086
		23.814	0.5	0.25	0.11907	-1.6	0.0243955
		29.812	1.5	2.25	0.44718	3.28	0.107646
		35.760	2.5	6.25	0.894	3.12	0.0975819
∑		125.129	–	17.5	1.041175	–	3.12176
∑ /n	3.5	20.8548333	–	–	–	–	–

 

Рассчитываем:

1. a и b по формулам (8.18), (8.19).

;

a = ¯ r² - b¯ m = (0.208548333 - 0.0594957 · 3.5) = 0.0003133 мм².

2. Рассчитаем среднеквадратичные ошибки для величин b и a по формулам (8.20), (8.21)

;

3. При надежности P = 0.95 по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 6 находим t = 2.57 и определяем абсолютные ошибки

Δ b = 2.57 · 0.000211179 = 6·10^-4 мм²;

Δ a = 2.57 · 0.000822424 = 3· 10^-3 мм².

4. Записываем результаты

b = (595 ± 6)·10^-4 мм² при Р = 0.95;

a = (0.3 ± 3)·10^-3 мм² при Р = 0.95;

Из полученных результатов следует, что в пределах ошибки этого опыта прямая r²_m = ƒ (m) проходит через начало координат, т.к. если ошибка значения какого-либо параметра окажется сравнимой или превысит значение параметра, то это означает, что скорей всего, настоящее значение этого параметра равно нулю.

В условиях данного эксперимента величина a не представляет интереса.

5. Подсчитаем радиус кривизны линзы:

R = b / λ = 594.5 / 6 = 99.1 мм.

6. Так как для длины волны дана систематическая ошибка, подсчитаем и для R систематическую ошибку по формуле (8.13), взяв в качестве систематической ошибки величины b ее случайную ошибку Δ b.

.

Записываем окончательный результат R = (99 ± 2) мм ε ≈ 3% при P = 0.95.

Контрольные вопросы

1. Назовите методы научно-исследовательской деятельности инженера?

2. Как проводятся исследования влажности грунтов?

3. Как измеряется плотность грунтов и уплотнение дорожных покрытий?

4. Основы обработки экспериментальных данных?

5. Как представляются результаты измерений?

6. Основные погрешности измерений?

7. Как производится обработка результатов прямого измерения?

8. Дайте определение критериям Стьюдента?

9. Как производится обработка результатов косвенных измерений?

⇐ Предыдущая12131415161718192021

Поделиться: