Тема. Линейная модель множественной регрессии

Множественная регрессия – это уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

где у – зависимая переменная (результативный признак);

– независимые переменные ( факторы).

Линейная регрессия имеет вид .

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Вычислить параметры уравнения множественной регрессии возможно также с помощью инструмента анализа данных Регрессия (ППП Excel). Воспользуемся надстройкой Пакет анализа. Необходимо выбрать:

Сервис – Анализ данных – Регрессия – ОК.

Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Входной интервал У: указывается ссылка на ячейки, содержащие значения результативного признака у. В графе Входной интервал Х: указывается ссылка на ячейки, содержащие значения факторов .

Рассмотрим графы:

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона.

Пример.

№	х₁	х₂	у

1) Найдем точечные оценки коэффициентов уравнения линейной регрессии . Воспользуемся пакетом «Анализ данных» ППП MS Excel.

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0, 202125
R-квадрат	0, 040854
Нормированный R-квадрат	-0, 23319
Стандартная ошибка	14, 66753
Наблюдения

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		64, 14542	32, 07271	0, 149081	0, 864164
Остаток		1505, 955	215, 1364
Итого		1570, 1

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	15, 40418	9, 952511	1, 547768	0, 165604	-8, 12977	38, 93813
х1	0, 010868	0, 207621	0, 052348	0, 959714	-0, 48008	0, 501813
х2	-1, 10865	2, 058189	-0, 53865	0, 606822	-5, 9755	3, 758192



ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение	Предсказанное у	Остатки
	12, 27385	2, 726149
	13, 25208	32, 74792
	13, 50206	-10, 5021
	5, 491512	2, 508488
	8, 523952	1, 476048
	12, 11082	-8, 11082
	12, 13256	-11, 1326
	9, 893518	-7, 89352
	12, 08909	-6, 08909
	7, 730555	4, 269445

Итак, = 15, 4; = 0, 01; =-1, 11. Тогда .

2) Найдем интервальные оценки коэффициентов уравнения линейной регрессии . Доверительный интервал коэффициента задается формулой , , . Составим таблицу

№		²
	2, 726149	7, 431889
	32, 74792	1072, 426
	-10, 5021	110, 2932
	2, 508488	6, 29251
	1, 476048	2, 178718
	-8, 11082	65, 78547
	-11, 1326	123, 9339
	-7, 89352	62, 30763
	-6, 08909	37, 07698
	4, 269445	18, 22816
сумма		1505, 955

Тогда = =215, 14; =14, 67

Стандартные ошибки коэффициентов:

Составим таблицу

№	х₁	х₂		( )²		( )²	( )( )
					-1, 4	1, 96	-2, 8
			-10		-2, 4	5, 76
					-2, 4	5, 76	-31, 2
			-10		4, 6	21, 16	-46
					2, 6	6, 76
			-13		-1, 4	1, 96	18, 2
			-11		-1, 4	1, 96	15, 4
			-13		0, 6	0, 36	-7, 8
			-15		-1, 4	1, 96
			-8		2, 6	6, 76	-20, 8
сумма						54, 4
среднее		4, 4

Получим

= =99, 05, тогда =9, 95;

= =0, 04, тогда =0, 2;

= =4, 24, тогда =2, 06

t_кр(df=n-m-1=10-2-1=7; α =0, 005)=2, 84

Тогда интервальные оценки коэффициентов уравнения линейной регрессии имеют вид:

= 15, 4 ±2, 84·9, 95, т.е.

= 0, 01 ±2, 84·0, 2, т.е. -0, 56 0, 58

= -1, 11 ±2, 84·2, 06, т.е. -6, 96 4, 74

3) Проверим общее качество уравнения линейной регрессии. Вычислим коэффициент детерминации R²=0, 04, т.е. модель объясняет 4% общего разброса значений результативного признака у. Выдвигаем гипотезы:

Доверительная вероятность равна p=0, 95. Правосторонняя проверка. . Из таблиц F- распределения находим граничную точку

F( =0, 05; m=2; n-m-1=10-2-1=7)=4, 74. Статистика = =0, 15. Отметим значения на числовой оси

95% 5%

0, 15

4, 74

Мы принимаем гипотезу и отклоняем гипотезу на уровне значимости 0, 05%. Предположение о незначительности связи принимается.

4) Проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Выдвигаем гипотезы:

, т.е. объясняющая переменная х_i не влияет на результативный признак у.

, т.е. объясняющая переменная х_i влияет на результативный признак у.

Проведем двустороннюю проверку.

По таблице t-распределения находим

t_кр(df=n-m-1=10-2-1 =7; α =0, 005)=2, 84. Граничные точки ±2, 84.

Статистики:

=1, 55; =0, 05; =-0, 54.

Отметим значения на числовой оси.

2, 5% 95% 2, 5%

-0, 54 0, 05 1, 55

-2, 84 2, 84

Мы принимаем гипотезу и отклоняем гипотезу на уровне значимости 2, 5%. Все коэффициенты статистически незначимы.

5) Определим наличие автокорреляции с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Статистика Дарбина-Уотсона DW= . Составим таблицу

№				( )²	²
	12, 27385	2, 726149	-	-	7, 431889
	13, 25208	32, 74792	30, 02177	901, 3066	1072, 426
	13, 50206	-10, 5021	-43, 25	1870, 56	110, 2932
	5, 491512	2, 508488	13, 01054	169, 2743	6, 29251
	8, 523952	1, 476048	-1, 03244	1, 065932	2, 178718
	12, 11082	-8, 11082	-9, 58687	91, 90812	65, 78547
	12, 13256	-11, 1326	-3, 02174	9, 130894	123, 9339
	9, 893518	-7, 89352	3, 239043	10, 4914	62, 30763
	12, 08909	-6, 08909	1, 804431	3, 255972	37, 07698
	7, 730555	4, 269445	10, 35853	107, 2992	18, 22816
			сумма	3164, 293	1505, 955

Тогда DW= = =2, 10. По таблице распределения Дарбина-Уотсона находим

d_l

=0, 70

d_u

=1, 64

Тогда 4- d_u=4-1, 64=2, 36. Так как , (1, 64< 2, 10< 2, 36), то гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков не отклоняется на уровне значимости 0, 05.

7) Выясним, есть ли в модели мультиколлинеарность с помощью ППП MS Excel. Матрица парных коэффициентов корреляции:

	х1	х2	у
х1
х2	0, 257751
у	-0, 03314	-0, 20119

Низкие значения коэффициентов корреляции свидетельствуют об отсутствии мультиколлинеарности.

12 3 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2017-05-11; Просмотров: 88; Нарушение авторского права страницы