|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
РАСЧЕТ И ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХСтр 1 из 3Следующая ⇒
РАСЧЕТ И ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Задания и методические указания к выполнению курсовых работ по теоретическим основам электротехники Часть II
Пермь 1998 Составили: Т.А. Кузнецова, А.А. Рябуха УДК 621.3 У913
Расчет и исследование переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами: Задания и метод. указания к выполнению курсовых работ по теоретическим основам электротехники. Ч.II/ Составители: Т.А. Кузнецова, А.А. Рябуха; Перм.гос.техн.ун-т. Пермь, 1998. С.
В методических указаниях рассмотрены основные методы расчета переходных режимов в электрических цепях: классический, операторный, пространства (переменных) состояния. Приведены примеры расчета цепей I и II порядка. Прилагаются индивидуальные задания для выполнения курсовых работ.
Рецензент: канд.техн.наук, доцент Старков А.А.
ã Пермский государственный технический университет,
Р А Б О Т А 1 РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Задание 1. На откидном листе изобразить электрическую цепь, подлежащую расчету, при вести численные значения параметров и задающих источников цепи. 2. Рассчитать закон изменения указанного преподавателем тока классическим методом на двух интервалах времени: t1 < t < t2 , t > t2, определяемых последовательным срабатыванием коммутаторов K1 и K2 соответственно в моменты времени t1 и t2. Предполагается, что до момента t1 срабатывания первого коммутатора цепь находится в установившемся режиме. Момент t2 выбираем из условия: t2 = 2.t1, где t1 - постоянная времени цепи, образованной в результате первой коммутации. 3. Построить график зависимости тока i(t), заданного преподавателем, на всех интервалах времени.
Выбор варианта 1. Расчетная цепь выбирается с помощью табл. 1.1 и рис. 1.1 в соответствии с номером варианта, задаваемым преподавателем. В таблице ТС – тип срабатывания, К1 - первый коммутатор, К2 - второй коммутатор. 2. Параметры элементов цепи выбираются в соответствии со следующими правилами: a) для четных номеров вариантов L = 60 Гн, С = 200 мкФ; б) для нечетных номеров вариантов L = 20 Гн, С = 100 мкФ; в) величины сопротивлений R для всех вариантов равны: - для четных ветвей R = 10 + 10 AR Ом, - для нечетных ветвей R = 20 + 5 AR Ом, где AR - сумма цифр номера варианта; 3. Заданные параметры источников рассчитываются по формуле Е = 10 . ( N + M ) В, где N - номер группы; M - шифр специальности: для АТ – 1, АСУ –1, 5, ЭВТ – 2, АТПП – 2, 5, КРЭС – 3, КТЭИ – 3, 5, ИВК – 4, ТК – 4, 5. 4. Коммутаторы срабатывают поочередно в соответствии с указанными номерами. Тип срабатывания (замыкание, размыкание) задается в табл. 1.1. 5. Ток (или напряжение), функцию изменения во времени которого требуется определить, указывается преподавателем.
Методические указания Расчет переходных процессов в цепях I порядка классическим методом основан на решении дифференциального уравнения цепи. Дифференциальное уравнение цепи может быть получено методом исключения из системы уравнений Кирхгофа для мгновенных значений, описывающей послекоммутационную цепь. Связь между током и напряжением на реактивных элементах цепи задается дифференциальными зависимостями: на емкости
на индуктивности
Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, коэффициенты левой части которого зависят только от параметров пассивных элементов цепи и связей между ними, ищут в виде суммы принужденной и свободной составляющей i(t) = iпр + iсв. Причем для цепей I порядка свободная составляющая (общее решение дифференциального уравнения цепи) iсв = Aept , где p - корень характеристического уравнения цепи. Характеристическое уравнение цепи может быть получено путем алгебраизации (с применением преобразований Лапласа) однородного дифференциального уравнения, полученного из неоднородного дифференциального уравнения цепи путем приравнивания его правой части к 0.
рис 1.1. Таблица 1.1
Характеристическое уравнение также может быть получено с применением метода входного сопротивления. В данном случае осуществляется замена jw ® p, и, при этом, сопротивление индуктивности условно приравнивается pL, а емкости 1/(pC). Из цепи исключаются источники традиционным в ТОЭ способом (ветви с источниками тока разрываются, источники напряжения замыкаются накоротко). Далее в произвольной ветви цепь размыкается, и относительно точек разрыва записывается входное сопротивление z(p). Выражение z(p) = 0 является искомым характеристическим уравнением. Пример расчета Дано:
E=200 B R1=R3=R5=100 Ом R2=R4=400 Oм L= 0, 2 Гн
Рис. 1.1
Определить: Закон изменения тока i4 (t) в переходных режимах при условии, что срабатывание коммутаторов происходит в моменты времени: 1) K1 в t = 0, 2) K2 в t = 2× t1, где t1 – постоянная времени цепи, образованной в результате первой коммутации. Решение: Первая коммутация Расчет докоммутационной цепи (рис. 1.3) 1. Запишем правила (законы) коммутации
Вторая коммутация Для расчета переходных процессов в цепи после второй коммутации введем дополнительную переменную t1 = t - 2 t1. Р А Б О Т А 2 РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Данная работа подводит итог изучения переходных режимов в электрических цепях и усвоения методов их анализа. Для расчета переходного процесса предлагается цепь второго порядка, в которой действуют два источника постоянных воздействий. Предполагается, что до срабатывания коммутаторов в цепи существовал установившийся режим. Задача расчета переходных процессов сводится к решению системы дифференциальных уравнений, связывающих заданные воздействия и искомые токи и напряжения в исследуемой послекоммутационной цепи. Сформулированная задача может быть решена на основе классической теории дифференциальных уравнений (классический метод), операционного исчисления (операторный метод), численных методов (метод пространства состояний). Задание 1. На откидном листе изобразить электрическую цепь, подлежащую расчету, привести численные значения параметров и задающих источников тока и напряжения. 2. Рассчитать указанный преподавателем ток или напряжение в одной из ветвей классическим методом. 3. Составить эквивалентную операторную схему и записать для нее систему уравнений по законам Кирхгофа. Рассчитать искомый ток операторным методом. 4. Получить матрицы связей А, В, С, D исследуемой цепи для решения задачи методом пространства состояний. 5. Построить графики изменения во времени найденных величин. Выбор варианта 1. Расчетная цепь выбирается в соответствии с номером варианта с помощью табл.2.1. Графы расчетных цепей изображены на рис. 2.1. 2. Параметры пассивных элементов цепи и задающих источников цепей во всех вариантах определяются следующим образом: L = 0, 5 . М мГн , С = 100 . N мкФ; величина сопротивлений для четных ветвей R = 100 Аr Ом, для нечетных ветвей R = 20 . (Аr + N ) Ом; параметры источников: Е1 = 20. ( N + M ) В, Е2= 20.N B, J = 0, 1. (N + 2M) А, где N - номер группы; M - шифр специальности, для АТ – 1, АСУ – 2, ЭВТ – 1.5, КРЭС – 2.5, КТЭИ – 3, АТПП – 3.5, ТКА – 4, ИВК – 4.5. Методические указания Классический метод расчета Переходный процесс можно рассчитать классическим методом в следующей последовательности: 1. Расчет докоммутационного установившегося режима с целью получения независимых начальных условий (правил коммутации): iL (0-) = iL (0+), uC (0-) = uC (0+). 2. Составление характеристического уравнения цепи и определение его корней. 3. Запись полного решения в виде суммы принужденной и свободной составляющих. 4. Расчет послекоммутационного установившегося режима с целью получения принужденных составляющих. 5. Расчет необходимых начальных условий (значение искомой величины и ее производной в момент t = 0+) с использованием уравнений Кирхгофа и независимых начальных условий или схем замещения в момент t = 0+. 6. Определение постоянных интегрирования и функции, описывающей изменение искомой величины в переходном режиме. Операторный метод расчета Для составления эквивалентной операторной схемы замещения необходимо заменить индуктивности и емкости в цепи в соответствии со следующим правилом: – индуктивности и емкости с нулевыми начальными условиями iL (0-) = iL (0+) = 0, uC (0-) = uC (0+) = 0 заменяются на эквивалентные операторные сопротивления pL и
Рис. 2.1 Таблица 2.1
– реактивные элементы с ненулевыми начальными условиями iL (0-) = iL (0+) индуктивности емкости pL L. i L(0-)
I (p) I (p) Далее для операторной схемы замещения составляется система уравнений Кирхгофа в операторной форме, или ведется расчет любым другим известным расчетным методом. В результате решения должно быть получено изображение по Лапласу искомой величины, которому, с применением теоремы разложения, ставится в соответствие оригинал в виде функции времени. Работа в среде STRATUM Для выполнения расчетно-графической работы “Переходные процессы в линейных электрических цепях” можно воспользоваться двумя возможностями. Первая из них связана с проектированием и моделированием заданной электрической цепи в рамках универсальной инструментальной среды “STRATUM COMPUTER.” Среда позволяет на основе простейших функциональных элементов (имиджей), собранных в библиотеке “Теоретические основы электротехники”, проектировать и моделировать практически любую электрическую цепь без знания языков программирования, что значительно расширяет круг пользователей, способных стать творческими соучастниками в процессе обучения. Математический аппарат, используемый в программе, позволяет моделировать как стационарные, так и динамические режимы работы электрических цепей, быстро и эффективно исследовать влияние одного или нескольких параметров на режимы электрической цепи непосредственно в процессе моделирования. Процедура анализа электрических цепей включает в себя два принципиально разных этапа: редактирование и моделирование схемы. Наличие легко идентифицируемых визуально и доступных для манипуляций объектов среды (индуктивность, емкость, сопротивление и т.д.) позволяет пользователю на первом этапе (редактирование) " собрать" практически любую электрическую цепь на " математическом" стенде (рабочем поле компьютера), установив с помощью определенного механизма информационные связи, в соответствии с которыми взаимодействуют отдельные имиджи рассматриваемой схемы. Выбор необходимого имиджа из той или иной библиотеки осуществляется операцией " Читать" из группы " Имиджи". Буксировка и установка имиджа на рабочее поле компьютера фактически означает опосредованное предъявление машине математических уравнений имиджа к последующему решению. Разумеется, это происходит скрытым и недоступным для пользователя образом. Понятно в связи с этим, что очередность установки имиджей, строго говоря, формирует систему уравнений, подлежащих решению. Целесообразно действовать по следующему сценарию: сначала установить источники питания, затем – элементы электрических цепей, т.е. имиджи тех элементов, из которых формируется принципиальная схема, и, наконец, вспомогательные и сервисные элементы (измерительные приборы, таймер, вьюеры и т.д.). Следующий технологический этап редактирования схемы заключается в установлении связей между отдельными имиджами. По сути дела установление связей формулирует конкретную задачу, поскольку для машины этот процесс означает формирование из разрозненных уравнений отдельных имиджей единой системы уравнений, описывающей электрическую цепь в целом. Операция связывания производится при помощи операции " Связать". Смещение курсора на рабочее поле приводит к его преобразованию в две взаимноперпендикулярные линии. " Прицелившись" перекрестием на определенный цвет на нижней линейке цветов (этим цветом будет отрисована линия связи) и зафиксировав его при помощи мыши, пользователь наводит " прицел" на имидж-источник, а затем - на имидж-приемник. При этом активируются списки переменных имиджа-источника (слева) и имиджа-приемника (справа), после чего вновь при помощи " мыши" фиксируется и закрепляется связь между выбранными переменными. Эта процедура продолжается до тех пор, пока не будут выполнены все необходимые связи. Описанный механизм установления связей работает в любом приложении. Применение этого механизма в теории электрических цепей, которая строится в терминах " ток", " потенциал", " наряжение", имеет следующую специфику. Поскольку потенциал есть функция, определяемая с точностью до произвольной постоянной, а ток зависит от разности потенциалов, постольку правомерным представляется приравнивание нулю потенциала любой произвольной точки цепи. Отсюда вытекает простое правило установления связей при редактировании электрических цепей: – все связи выполняются в соответствии с токовыми путями, т.е. от источника питания через топологические элементы схемы до точки (базисной или опорной), потенциал которой принят за ноль; – замыкание цепи осуществляется с помощью имиджа заземлителя, для чего в направлении от него тянутся связи ко всем точкам с нулевым потенциалом. Возможен второй способ: после полного установления связей вплоть до замыкания цепи от имиджа заземлителя устанавливается связь с опорной точкой в доступном месте. На втором этапе (моделирование) задают численные значения параметров модели, выбирают желаемый расчетный метод и запускают модель в режим счета. Для выбора расчетного метода необходимо использовать операцию " Методы": выбрать тип решаемых уравнений, желаемый метод решения, шаг интегрирования. Отметим, что при необходимости математический аппарат можно расширить путем изготовления имиджа с желаемым расширением или импортирования внешнего файла с записанным на любом языке расчетным методом. Вторая возможность расчета переходных процессов заключается в использовании готовой схемы “Расчет переходных процессов (метод переменных состояния)”, разработанной в рамках активной электронной среды по ТОЭ и предназначенной для анализа переходных режимов в цепях первого и второго порядков с одним или несколькими источниками постоянных воздействий. В основе расчета лежат рекурентные соотношения, полученные явным методом Эйлера для подсчета искомых величин в конце каждого нового шага интегрирования по известным их значениям в конце предыдущего шага. Для этого необходимо вызвать в режиме “Моделирование” эту схему и загрузить состояние 0, затем поочередно раскрыть таблицы переменных осциллографов и установить ожидаемые границы изменения анализируемых величин. После этого следует выбрать режим работы экрана «Графики» и нажать кнопку “Пуск”. Исходная информация должна быть сформирована предварительно и введена в режиме диалога с компьютером. Она заключается в подготовке матриц связей [A], [B], [C ], [D], вектора входных воздействий [V ] и вектора начального состояния [X(0)] в уравнениях состояния. В результате на дисплее можно наблюдать динамику изменения переменных состояния и двух выходных реакций исследуемой цепи. Пример расчета переходного процесса В цепи II порядка Дана цепь (рис. 2.2), с параметрами Е = 30 В, J = 2 А, R = 20 Ом, R = 10 Ом, С = 100 мкФ, L = 50 мГн. Определить закон изменения тока i1 (t) после коммутации.
Рис. 2.2 Классический метод расчета 1. Правила коммутации: iL (0-) = iL (0+) = 0 А, uC (0-) = uC (0+) = J . R2 = 20 B. 2. Составление характеристического уравнения цепи. 2.1.Совместное решение однородной системы дифференциальных уравнений. Составляем систему дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа:
Методом исключения получаем из данной системы дифференциальное неоднородное уравнение
Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид
i11(1/(pC) + R1) - i22(1/(pC)) + i33 . 0 = E(p), -i11 (1/(pC) + i22 (R2 + pL + 1/(pC)) - i33R2 = 0, i11. 0 - i22R2 + i33R2 = UJ (p),
i11(1/pC + R1) - i22 (1/(pC)) + UJ . 0 = E/p, -i11(1/pC) + i22(R2 + pL + 1/pC) + 0 . UJ = J·R2, i11 . 0 - i22R2 + 1 . UJ = -J·R2.
i11св(1/(pC) + R1) - i22св (1/(pC)) + UJсв. 0 = 0, -i11св (1/(pC)) + i22св (R2 + pL + 1/pC) + 0 . UJсв = 0, i11св . 0 - i22свR2 + 1 . UJсв = 0. Данная система алгебраических уравнений имеет решение, отличное от нулевого только тогда, когда ее определитель равен нулю:
или
Таким образом, характеристическое уравнение в результате преобразования принимает вид
2.3. Метод входного сопротивления. Удалим источники из цепи в соответствии с известным правилом: источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми участками, ветви с источниками тока размыкаются. В произвольной ветви разорвав цепь, запишем входное сопротивление:
Заменив jw на p, получим
Приравняв данное выражение нулю ( z(р) = 0 ) и произведя необходимые преобразования, получим характеристическое уравнение цепи
Подставим значения параметров цепи: p2 + 700p + 300000 = 0. Корни характеристического уравнения p1 = - 350 + j421, 308, p2 = - 350 - j421, 308 являются комплексными сопряженными, следовательно, переходный процесс в цепи имеет колебательный характер. 3. Определение принужденной составляющей. Рассматриваемая цепь в принужденном режиме имеет вид (рис. 2.3)
i1пр = 1/3 (A).
Рис. 2.3 4. Определение свободной составляющей. Для цепей, характеристические числа которых имеют комплексные сопряженные значения, свободная составляющая определяется в виде i1св(t) = e- dt(A1 cos wt + A2 sin wt), где d - декремент затухания, w - частота свободных колебаний определяются через корни характеристического уравнения p1, 2 = - d + jw. Таким образом, в выражении i1св необходимо определить постоянные интегрирования А1 и А2. Вычисление их ведется с помощью системы уравнений, составленных для момента t = 0+:
4.1. Определение значений
Дифференцируя выражение для i1 (t), получим
Произведя необходимые преобразования и подстановки в системе уравнений Кирхгофа, получим
Подставив соответствующие значения uC и iL в момент t = 0+, рассчитаем i¢ 1 (0+) = - 250 A/с. 4.2. Определение i1(0+) и i¢ 1(0+) с использованием резистивных схем замещения в момент t = 0+. Схема замещения в 0+ для величин токов и напряжений изображена на рис. 2.4
ЕС = uС(0-) J = iL(0-)
Рис. 2.4 По II закону Кирхгофа получим
Для построения схемы замещения в (0+) для производных токов и напряжений необходимо определить начальные значения:
Таким образом, следует определить iC(0+) и uL(0+) с помощью уже полученной схемы замещения: а) для определения uL(0+) составим уравнение по II закону Кирхгофа: UL(0+) - iR2(0+) R2 = - UC(0+); подставив значения, получим UL(0+) = 0, следовательно, б) iC(0+) = i1(0+) = 0, 5 A, следовательно, При построении схемы замещения в 0+ для производных следует: источники заменить на аналогичные источники с ЭДС или задающим током, равным соответственно производной от данных в задании, номиналы резисторов остаются неизменными, емкости и индуктивности же замещаются в соответствии со следующим правилом – емкости с нулевыми начальными условиями ( ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия ( Таким образом, осуществляется операция дифференцирования, адекватная дифференцированию системы уравнений Кирхгофа. В нашем случае, когда в цепи действуют источники постоянных воздействий, источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми участками (т.к. Таким образом, схема замещения в t = 0+ для производных имеет вид (рис. 2.5). Определим
4.3. Определение постоянных интегрирования:
421, 308 A2 - 350 A1 = - 250. Решив данную систему уравнений, получим А1 = 0, 1667, А2 = - 0.455. 5. Определение полного решения. Полное решение следует искать в виде i1(t) = i1пр + i1св. С учетом производных расчетов получим
Для удобства построения графика преобразуем полученное выражение в синусоидальную форму:
( + p) прибавляется к аргументу, так как угол y имеет отрицательный знак
т.е. если рассматривать единичную окружность, данный угол находится во II четверти координатной плоскости. Угол yi определяется в радианах, так как свободная частота измеряется в рад/с. Таким образом, искомый ток i1(t) = 1/3 + e-350t 0.485 sin (421.308t + 2.788).
6. Построение графика изменения тока i (t). Оценим соотношение между постоянной времени экспоненты и периодом синусоиды. Постоянная времени экспоненты texp = 1/8 = 0, 00286 с. Период синусоиды Tsin = 1/f = 2p/w = 0, 0149 с. В связи с тем, что tехр < < Tsin, график строится по точкам. Результаты расчетов значений тока i1(t) записаны в табл. 2.2., а график изменения i1 (t) изображен на рис. 2.6.
Таблица 2.2
Операторный метод С учетом независимых начальных условий изображается операторная схема замещения (рис. 2.7).
Рис 2. 7
Уравнения Кирхгофа в операторной форме запишутся в виде
I1(p) - IC(p) -I2(p) + J/p = 0, IL(p) + I2(p) - J/p = 0, I1(p)R1 + IC(p)/(pC) = E/p - UC(0-) /p, I2(p)R2 - IL(p)pL - IC(p)/pC = UC(0-)/p, I2(p)R2 = UJ(p). Метод пространства состояний. Матричная схема уравнений в переменных состояния имеет вид
J = CX + DV. В конкретном случае iL¢ = a11iL + a12uC +b11E + b12J, uC¢ = a21iL + a22uC + b21E + b22J, i1 = C1iL + C2uC + d1E + d2J. Рассмотрим два способа получения матриц связи.
iL + iR2 - J = 0, |
Последнее изменение этой страницы: 2017-05-11; Просмотров: 197; Нарушение авторского права страницы
; 
.
: 
; 
Рис. 1.3
соответственно; 
0, uC (0-) = uC (0+) 
2.2. Алгебраизация дифференциальных уравнений. Для получения характеристических уравнений записывается система уравнений по методу контурных токов, которая в последствии переписывается в алгебраической форме с помощью вспомогательного символа p, заменяющего операцию дифференцирования, и 1/p, заменяющего операцию интегрирования: 
Так как i33 = J, следовательно, 
и, соответственно, для свободных составляющих токов: 
, 
и 
с использованием системы уравнений Кирхгофа. В данном случае cоставляется система уравнений Кирхгофа. Методом исключения выражается значение тока i1(0+) через известные значения uC(0+) и i2(0+): 
.
= 5000 B/с.
) заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями( 
) – противодействующими источниками ЭДС с 
, 
) размыкаются, в случае ненулевых начальных условий ( 
) индуктивности заменяют на содействующие источники тока с 
.
), а ветви с источниками тока размыкаются (т.к. 
).
Рис. 2.5
1/3 + А1 = 0, 5, 
и положительный знак 
, 
X ¢ = A X + BV, 
1. Получение коэффициентов матриц А, В, С, D с помощью составления системы уравнений Кирхгофа: