ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

Приборы и принадлежности : маятник Обербека с четырьмя одинаковыми грузами, набор из двух грузов, секундомер, штангенциркуль.

Цель работы :

· Изучить зависимость момента инерции грузов от расстояния их до оси вращения.

· Определить зависимость углового ускорения от момента силы при постоянном моменте инерции грузов.

ВВЕДЕНИЕ

Важной характеристикой твёрдого тела является его момент инерции, характеризующий распределение масс в твёрдом теле. Напомним, что момент инерции относительно какой-либо оси определяется следующим образом:

(1)

Смысл величин, входящих в эту формулу следующий. Разобьем мысленно твёрдое тело на малые части, размер каждой из которых значительно меньше размеров самого этого тела. Пусть Dm_k – масса k-й части, R_k – расстояние от этой части до оси. Сумма берётся по всем частям.

Момент инерции определяет, в частности, кинетическую энергию вращающегося твёрдого тела:

(2)

где w - угловая скорость, I – момент инерции тела относительно оси вращения.

При поступательном движении, как известно, кинетическая энергия вычисляется по формуле

(3)

где m – масса тела, V – линейная скорость.

Основным уравнением движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ, является уравнение моментов

I_z b = M_z (4).

Здесь M_z – сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело относительно той же оси, – угловое ускорение.

Для поступательного движения второй закон Ньютона имеет вид:

m a = F (5)

Из сравнения (2), (3), (4) и (5) можно сказать, что момент инерции твёрдого тела во вращательном движении играет такую же роль, как масса в поступательном. Иными словами, момент инерции определяет инертность вращающегося тела.

В данной работе проверяется уравнение моментов (4), для чего используется маятник Обербека. Он представляет собой крестовину, укреплённую на вращающемся валике, имеющем три шкива различных радиусов r. На спицы крестовины надеты одинаковые грузы, которые могут передвигаться на спицах и закрепляться в нужном положении винтами. На один из шкивов наматывается нить, на конце которой укрепляется тело А массы m (см. рис.1). Момент силы, вращающий маятник, создаётся силой натяжения нити F, этот момент равен:

M=F× r,

где r – радиус шкива (плечо силы).

Силу F можно связать с ускорением тела А. Действительно, к телу А приложены силы: m g – сила тяжести и F – сила натяжения нити, поэтому согласно второму закону Ньютона с учётом направления сил имеем:

ma = mg – F,

или

F = m (g – a). (6)

Тогда вращающий момент:

M=Fr = m (g – a) r. (7)

Угловое ускорение b маятника связано с ускорением груза a:

br = a. (8)

Из (4), (7), (8) выразим момент инерции системы через ускорение груза:

(9).

Рис. 1

Входящее в эту формулу ускорение а связано со временем движения t тела А и высотой h, с которой опускается это тело: Тогда: (10) Высота и время легко определяются экспериментально, что и позволяет найти согласно (9) момент инерции маятника. С другой стороны, момент инерции маятника Обербека относительно его оси вращения равен, очевидно: I = I0 + Iгр,

где I_{0 –} момент инерции пустой (без грузов) крестовины, I_гр – момент инерции четырех грузов, надетых на крестовину. В свою очередь, момент инерции грузов, в силу теоремы Штейнера, равен:

I_гр = 4(I_гр1 + m₀ R²) (11),

где I _гр1 – момент инерции одного груза относительно оси, проходящей через его центр инерции, параллельной оси вращения, m₀– масса одного груза, R – расстояние от центра инерции груза до оси вращения маятника.

Момент инерции груза I_гр1~ , где – характерный размер груза. В нашей работе , т.е. грузы можно считать материальными точками и определять их момент инерции как:

I_гр = 4m₀R². (12)

Поэтому момент инерции маятника

I = I₀ + 4m₀R². (13)

Последнее соотношение показывает, что перемещая грузы вдоль спиц, на которые они насажены, мы будем изменять момент инерции маятника. Если вначале грузы находятся на расстоянии R₁ от оси вращения, а затем - на расстоянии R₂, то в силу (13):

(14)

где I₁, I₂ – моменты инерции маятника в первом и во втором случаях.

Если же оставлять момент инерции маятника неизменным, то, согласно (5), угловое ускорение маятника будет пропорционально моменту силы:

(15)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

В работе вам необходимо будет проверить равенства (14) и (15).

1. Изучите, как изменяется момент инерции маятника при изменении расстояния между грузами и осью маятника (проверка уравнения (14)). Для этого:

· Определите момент инерции I₀ крестовины без грузов. Для чего к нити, намотанной на средний шкив ненагруженной крестовины прикрепите тело А массы m₁ и определите время падения t₀ этого тела с высоты h₀.

· Измерение времени проделайте пять раз и результаты занесите в таблицу 1. Определите радиус шкива r, измерив штангенциркулем его диаметр.

· Известные значения h₀, m₁, r также запишите в таблицу 1. Определив t₀ и используя все ваши данные, рассчитайте по формуле (10) величину ускорения а₀, а по формуле (9) – момент инерции пустой крестовины I₀.

· По пяти значениям I₀ определите средний момент инерции пустой крестовины

.

· Найдите абсолютные ошибки отдельных значений и среднюю квадратичную ошибку:

· Результаты вновь занесите в таблицу 1.

Таблица 1

№	h0	t0	a0	Ii0		DI0i	DI0	m1	r
...

· Определите момент инерции крестовины с грузами. Для этого расположите грузы (четыре цилиндра) посередине спиц крестовины так, чтобы метки на спицах находились у правого края грузов. Измерьте расстояние от оси крестовины до середины груза R₁.

· Тем же способом, что и для пустой крестовины, при том же шкиве определите время t₁ падения тела А с высоты h.

· Измерения занесите в таблицу 2.

Таблица 2

№	h1	t1	a1	I1i		DI1i	DI1	m1	R1	r
...

· По данным вашей таблицы, снова используя формулы (10) и (13), найдите ускорение а₁ и момент инерции нагруженной крестовины I₁. Вычислите среднее значение и среднюю абсолютную ошибкуDI, так же как и для первого опыта.

· Переместив грузы до меток на концах спиц крестовины, при том же шкиве r, определите момент инерции грузов, находящихся на расстоянии R₂ от оси вращения.

· Измерения занесите в таблицу 3.

Таблица 3

№	h2	t2	a2	I2i		DI2i	DI2	­т1	R2	r
...

· Так же, как и в предыдущем случае, вычислите среднее значение момента инерции I₂ и среднюю абсолютную ошибку DI₂.

· По найденным моментам инерции и известным расстояниям R₁, R₂ проверьте соотношение (14).

2. Изучите зависимость величины углового ускорения маятника от величины момента М приложенных сил. Эта зависимость согласно (15), должна иметь вид:

.

Для проверки этой зависимости:

· занесите в первые три столбца таблицы 4 данные из соответствующих столбцов таблицы 3.

Измерений с грузом m₁ заново производить не нужно!

· Укрепите грузы на концах крестовины (на расстоянии R ₂ от оси вращения).

· Подвесьте к нити груз m₂, определите время его падения с высоты h₂ (высота h₂ и радиус шкива r – те же, что и в таблице 3).

· Повторите эти измерения 5 раз и данные занесите в таблицу 5.

Таблица 4

№

h1

t1

a1

b1

F1

M1

m1

R2

r

...

 

Таблица 5

№

h2

t2

a2

b2

F2

M2

m2

R2

r

...

· По известным t, h, r, используя формулы (8) и (10), найдите для каждого измерения линейные а₁, а₂ и угловые b₁ и b₂ ускорения; по формулам (5) и (7) вычислите силы и моменты сил М₁ и М₂, определите отношения M/b. По пяти значениям этих отношений для опыта с каждым телом (А и Б) найдите средние значения отношений M₁/b₁ и M₂/b₂ и проверьте справедливость равенства (15).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие виды движения твёрдого тела вам известны? Сформулируйте теорему Эйлера.

2. Что называется моментом инерции твёрдого тела?

3. Каким уравнением описывается вращательное движение твёрдого тела?

4. Сформулируйте теорему Штейнера.

5. Какие приближения использованы при выводе соотношения (14)?

6. Соответствуют ли эти приближения точности Вашего эксперимента?

7. Влияет ли сила трения в оси маятника на справедливость соотношения (14)?

8. Для увеличения точности измерений необходимо, чтобы время движения груза А было достаточно большим, т.е. масса груза не должна быть очень велика. Но и слишком малой её нельзя взять, т.к. на точности измерений начнёт сказываться влияние трения в оси маятника. Оцените оптимальную для вашего опыта массу груза А.

 

 

РАБОТА № 10

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: