ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ МЕТОДОМ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА

Приборы и принадлежности: маятник наклонный со сменными шариками.

Цель работы: определение коэффициента трения качения шаров, выполненных из различных материалов по стальной пластине.

ВВЕДЕНИЕ

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рис. 1а

Рис. 1б

Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса R и веса Р, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости. Приложим к оси катка силу Q (см. рис. 1а). Тогда в точке А возникает сила трения F_тр. Если сила Q достаточно мала (меньше некоторой Q_кр), то сила трения F_тр будет силой трения покоя. Она в этом случае численно равна Q и будет препятствовать скольжению цилиндра по плоскости. Если считать нормальную реакцию N тоже приложенной к точке А, то она уравновесит силу Р, а силы Q и F_тр образуют пару с моментом M=QR, вызывающую вращение цилиндра. При такой схеме цилиндр покатится по плоскости, как видим, под действием любой, сколь угодно малой силы Q.

Истинная же картина, как оказывает опыт, выглядит иначе. Качение начинается, если сила Q имеет некоторое конечное значение. Объясняется это тем, что касание тел происходит не в одной точке, а вдоль некоторой площадки АВ (см. рис.1б). Причины этого могут быть различными: деформация тел в месте их соприкосновения, неровность поверхности и т.п. Под действием силы Q интенсивность давления у края А убывает, а у края В возрастает. В результате реакция N оказывается смещённой в сторону действия силы Q.

С увеличением Q это смещение растёт до некоторой предельной величины k. Таким образом, в предельном положении на каток будут действовать пара (Q, F_тр) с моментом QR и уравновешивающая ее пара (N, P) с моментом Nk. Из равенства моментов сил находим

RQ_пр = kN

или

(1)

Пока Q < Q_пр каток находится в покое; при Q > Q_пр начинается качение.

Входящая в формулу величина k называется коэффициентом трения качения. Она, как это видно из (1), имеет размерность длины. Измеряют величину k обычно в сантиметрах. Значение коэффициента k зависит от материала тел и определяется опытным путём.

Приведём значения этого коэффициента для некоторых материалов:

дерево по дереву.....................................................................0, 05 – 0, 08 см

сталь мягкая по стали (колесо по рельсу)............................0, 005 см

сталь закалённая по стали (шариковый подшипник).........0, 001 см

Отношение k/R для большинства материалов значительно меньше статического коэффициента трения. Этим объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением (колеса, катки, шариковые подшипники и т.д.).

Рис. 2

В данной установке коэффициент трения качения шара по плоскости определяется методом наклонного маятника. Суть метода следующая. Маятник совершает колебания, при которых шарик катается по наклонной плоскости (см. рис.2). Благодаря наличию трения качения эти колебания затухают, что приводит к уменьшению размаха колебаний. Если маятник начал колебания так, что максимальный угол отклонения маятника a_0, а после n колебаний этот угол оказался равным a_n, то коэффициент трения качения можно найти из следующей формулы (вывод её дан в приложении к работе):

(2)

где R – радиус шарика, b – угол наклона плоскости качения маятника (см. рис.2), n – число колебаний маятника.

Выражение (2) можно упростить, если угол a₀ – мал. Действительно, при малом a₀, мы можем записать:

,

и поскольку все углы отклонения малы ( ), то:

Подставляя эти выражения в (3), получим:

(3)

Эту формулу и следует применять в данной работе. При вычислениях имейте в виду, что углы a в формуле (3) предполагаются измеренными в радианах.

Угол наклона b ограничен пределами от 30⁰ до 75⁰. О причинах таких ограничений см. в приложении к работе.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Установка изображена на рис. 3. Вид на установку сбоку изображён на Рис. 4а и Рис. 4б. На вертикальной стойке 2 основания 1 размещается червячный редуктор, который осуществляет поворот и фиксацию нижнего кронштейна 3 (см. Рис. 4 а). Червячный редуктор приводится во вращение маховичком 11 (см. Рис. 4 б), отсчёт угла наклона образца производится по шкале 4 (см. Рис. 4 а и б). Нижний кронштейн 3 представляет собой литую деталь сложной конфигурации, на которой крепятся: шкала отсчёта амплитуды колебаний маятника 5, вертикальный стержень 6, предназначенный для крепления верхнего кронштейна 7, датчик фотоэлектрический 9. Шкала 5 представляет собой пластину, в которой вырезано гнездо, предназначенное для установки сменных образцов.

Рис. 3

По шкале определяется угол отклонения маятника от положения равновесия до 11⁰. Шкала снабжена зеркальным отражателем, который служит для уменьшения параллакса при отсчёте угла отклонения маятника

Рис. 4 а

Рис. 4 б

Образец представляет собой прямоугольную пластинку, выполненную из различных материалов. Каждый образец имеет две рабочие поверхности с разной чистотой обработки.

В верхнем кронштейне 7 размещается механизм подвеса маятника, который позволяет регулировать его длину.

Маятник 8 представляет собой тонкую эластичную нить с подвешенным на ней испытуемым шаром, который в свою очередь, имеет конус, предназначенный для пересечения оптической оси датчика фотоэлектрического 9.

Датчик фотоэлектрический 9 размещается на нижнем кронштейне и служит для выдачи электрического сигнала на миллисекундомер 10.

Миллисекундомер физический 10 выполнен самостоятельным прибором с цифровой индикацией времени и количества полных периодов колебаний маятника. Миллисекундомер жестко закреплен на основании и соединён кабелем с датчиком фотоэлектрическим. Устройство и принцип работы миллисекундомера приведены в паспорте ФПМ 14 ПС.

МЕРЫ БЕЗОПАСНОСТИ

К работе с установкой допускаются лица, ознакомленные с её устройством, принципом действия, а также с разделами 4 и 5 описания.

Перед началом работы с установкой убедитесь, что она заземлена.

Во избежание поломки червячного редуктора не разрешается прилагать дополнительных усилий к верхнему кронштейну и вертикальному стержню.

После проведения работы с установкой необходимо отключить миллисекундомер от сети.

ПОДГОТОВКА УСТАНОВКИ К РАБОТЕ

Установите в гнездо шкалы исследуемый образец.

Произведите регулировку положения основания при помощи регулировочных опор таким образом, чтобы нить подвеса маятника совпала с нулевым делением шкалы.

Установите с помощью маховичка угол наклона образца равным 90⁰, при этом шарик должен касаться поверхности исследуемого образца, а сила нормального давления должна отсутствовать. Добейтесь этого с помощью регулировочных опор.

Установите угол наклона образца равным 60⁰. Отрегулируйте длину маятника с помощью устройства на верхнем кронштейне таким образом, чтобы при колебании маятника шарик перемещался по рабочей поверхности образца, не касаясь шкалы.

Подключите к разъёму «Вход» на миллисекундомере фотоэлектрический датчик. Включите в сеть шнур питания миллисекундомера.

Нажмите на кнопку «Сеть», расположенную на лицевой панели миллисекундомера, при этом должны загореться цифровые индикаторы.

Отклоните рукой маятник на угол 5⁰ - 6⁰, нажмите кнопку «Сброс» на лицевой панели миллисекундомера и без толчка отпустите маятник.

Убедитесь, что маятник совершает колебательные движения и миллисекундомер производит отсчёт времени и количество полных колебаний маятника.

После совершения 15 – 20 колебаний маятника нажмите на кнопку «Стоп» миллисекундомера, при этом убедитесь, что счёт времени и количества полных периодов колебаний прекращается в момент очередного периода колебаний.

ПОРЯДОК РАБОТЫ

1. Протрите рабочие поверхности исследуемых образцов неворсистой тканью, смоченной в спирте (бензине).

2. Установите угол наклона образца b=30⁰.

3. Отклоните маятник от положения равновесия на угол a₀ ~ 10⁰, нажмите кнопку «Пуск» и отпустите маятник.

4. Нажмите кнопку «Стоп» миллисекундомера при достижении амплитуды колебания маятника a_n ~ 5⁰, снимите с миллисекундомера количество n полных колебаний маятника.

5. Вычислите коэффициент трения k по формуле (3).

6. Аналогичные измерения и вычисления произведите для углов наклона образца b = 45⁰, b = 60⁰, b = 75⁰.

7. Найдите относительную погрешность измерения.

8. Повторите п.п. 1– 6 для всех пар образцов, входящих в установку.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие виды движения может совершать твёрдое тело?

2. Сформулируйте теорему Эйлера.

3. Что называется моментом силы?

4. При каких условиях возникает вращение твёрдого тела?

5. Чем определяется угловое ускорение твёрдого тела?

6. Что называется трением качения?

7. Что такое коэффициент трения качения?

8. Выведите формулу (2).

9. Почему автомобили, предназначенные для езды по бездорожью, снабжены колёсами большого диаметра?

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Для вывода формулы (3) воспользуемся законом сохранения энергии:

. (П1)

Выберем в качестве точки 1 ту, где маятник отклонён на максимальный угол a₀. При этом его скорость равна нулю и Е₁=U₁, где U₁ – потенциальная энергия шарика в точке 1. Аналогично, точка 2 – это положение максимально отклонённого маятника, совершившего n колебаний. Точно также Е₂ = U₂, где U₂, потенциальная энергия в точке 2. Итак:

Е₂ - E₁ = U₂ - U₁.

Работа силы трения за бесконечно малое время

. (П2)

Рис. П1

Рис. П2

В (П2) первые два члена справа представляют собой работу силы трения покоя, а последний член – работу трения качения. Поскольку, согласно определению коэффициента трения качения, F_тр = kN/R, то два последних слагаемых взаимно уничтожаются, и работа силы трения:

.

Так как сила реакции опоры N = mg cos b (см. рис. П1), то N=const, т.е. не зависит от положения шарика, то и F_тр = const, но тогда работа непотенциальных сил за n колебаний:

где S_n – путь, пройденный шариком за n колебаний.

Найдём теперь S_n. Если шарик совершил одно колебание, то он прошёл путь равный

L(a₀ + a' + a' + a₁) (П3),

где a₀-начальный угол отклонения, a₁– конечный угол отклонения, a' - максимальный угол отклонения после прохождения шариком положения равновесия (рис. П2). Т.к. трение качения мало, то изменение амплитуды за одно колебание также мало:

a₀ » a' » a₁.

Поэтому, путь, пройденный за одно колебание, можно записать как 2L(a₀ + a₁). Аналогично, путь, пройденный за второе колебание равен 2L(a₁+ a₂). Путь, пройденный за n-е колебание — 2L(a_n–1+ a_n). Сумма этих величин и есть S_n:

S_n =2L(a₀ + a₁) + 2 L (a₁ + a₂)+...+2 L (a_n-1 + a_n).

Найдём убыль потенциальной энергии шарика за одно колебание с произвольным номером m:

U_m-1 – U _m = mg× (h_m-1 – h_m),

здесь h_m-1 и h_m значения высоты, на которой находится шарик в точках 1 и 2 соответственно (см. рис. П3). Из рис. П3 видно, что h_m-1 – h_m = DL sin b, а

DL = L (cos a_m – cos a_m–1).

Итак,

U_m-1 – U _m = mgL(cos a_m – cos a_m–1) sin b (П4).

С другой стороны, эта величина равна работе сил трения за одно колебание:

U_m-1 – U _m = A_тр =F_тр S_m = 2k NL(a_m–1 + a_m)/R (П5).

Рис. П3

Из (П4) и (П5) получаем:

Поскольку углы отклонения малы, то:

,

и мы приходим к следующему результату:

.

Таким образом, при каждом колебании угол отклонения уменьшается на одну и ту же малую величину:

Тогда углы a₀, a₁, a₂,... образуют арифметическую прогрессию и

S_n = 2Ln [(a₀+ a₁) + (a_n-1+ a_n)] / 2 ~ 2Ln(a₀+a_n).

Итак,

S_n = 2 Ln(a₀+a_n). (П7)

Найдём теперь из (П4) убыль потенциальной энергии шарика за n колебаний:

U₀ – U_n = mgL(cos a_n – cos a₀) sin b.

Приравнивая её работе сил трения за n колебаний:

A_тр = F_тр S_n = kN 2L n (a₀+a_n)/ R (П8),

после сокращения на mgL, с учётом малости всех углов отклонения, получаем формулу для коэффициента трения качения k:

Оценим теперь условия, при которых справедливы полученные результаты. Мы предполагали, что затухание колебаний является слабым, поэтому количество колебаний п велико:

Это неравенство означает, что все наши выводы справедливы, если угол наклона b не слишком мал, причём это требование тем существенней, чем больше k. В условиях нашей лабораторной работы максимальный угол отклонения a₀ ~ 10⁰ ~ 1/6 рад, k ~ 5× 10^–3 см, R~ 1 см. Тем самым,

Наличие сильного неравенства означает, что tgb по крайней мере в 3-4 раза больше 0, 12. Таким образом tgb ≥ 0, 5, тем самым:

b ≥ 30⁰.

На величину угла b накладывается также ограничение сверху, т.е. угол b не может быть слишком большим. Действительно, если угол b окажется очень близким к 90⁰, то шарик будет слабо прижиматься к наклонной плоскости, сила реакции N = mg cos b будет мала, а вместе с ней и сила трения также будет мала. Но при такой слабой силе трения шарик будет скользить по поверхности. Найдём максимально допустимый угол наклона поверхности. Он определяется из условия F_{тр покоя} < k_скольжN. Сила реакции опоры N=mg cos b, а проекция силы тяжести на направление движения шарика равна (см. Рис. П2):

mg× sinb× sina.

Сила трения покоя не может быть больше этой величины, откуда получаем неравенство:

mg× sinb× sina< k_скольж× mg cos b.

Сокращая обе стороны на mg, находим:

tgb < k_скольж/sina₀.

Коэффициент трения металлов имеет величину близкую к 0, 7, угол a₀ ~ 1/6, откуда получаем:

tgb < 4.

Это неравенство даёт ограничение:

b < 75⁰.

Итак, угол наклона b должен находиться в диапазоне:

30⁰ < b < 75⁰.

 

РАБОТА № 11

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: