ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Приборы и принадлежности : трифилярный подвес, образцы для измерения (цилиндры), секундомер, штангенциркуль.

Цель работы :

· Определить момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр тяжести тела

· Проверить теорему Штейнера

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе определяется момент инерции тела и проверяется на опыте справедливость теоремы Штейнера. Для этой цели используется метод крутильных колебаний, применяемый на приборе с трифилярным подвесом, представляющим собой круглую платформу, подвешенную на трёх симметрично расположенных нитях, укреплённых у краёв платформы. Наверху эти нити так же симметрично прикреплены к диску несколько меньшего диаметра, чем диаметр платформы. Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной плоскости платформы и проходящей через ее середину.

Центр тяжести платформы перемещается при этом вверх и вниз вдоль оси вращения. Период колебания Т платформы зависит от её момента инерции I. Эта зависимость выражается следующей формулой[3]:

(1)

Рис. 1

где L длина нити, m - масса системы (платформы или платформы с грузом), R – радиус нижней платформы, r – радиус верхнего диска, I – момент инерции системы. На использовании этой зависимости и основана методика нашей работы.

Из формулы (1) получаем выражение для момента инерции платформы:

(2)

и его относительной погрешности:

(3)

Это соотношение справедливо, если погрешности измерения остальных величин L, m, R, r – малы. Для того, чтобы определить момент инерции I_c цилиндра относительно оси, проходящей через его центр тяжести следует определить момент инерции пустой платформы I₀ и момент инерции I₁ платформы, нагруженной цилиндром, расположенным посередине платформы. В этом случае ось вращения проходит через центры тяжести платформы и цилиндра. Очевидно, что I₁ = I ₀+ I _c, откуда: I _c = I₁ – I ₀. (4)

В лабораторной работе проверяется также справедливость теоремы Штейнера, согласно которой момент инерции тела I относительно любой оси ОО' равен сумме момента инерции этого тела I_c относительно оси CC' параллельной данной и проходящей через центр тяжести тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния d от центра тяжести тела до оси вращения (см. рис. 2):

I=I_c+md²

Рис. 2

Рис. 3

Для проверки этой теоремы необходимо измерить величины I_c и I, а также измерить расстояние d и массу тела m. После этого сравнить величину I – I_c с величиной md².

Величина I_c определяется в первой части работы. Для нахождения величины I следует по

местить симметрично относительно оси вращения по краям платформы два одинаковых цилиндра (рис 3) и определить момент инерции платформы, нагруженной этими цилиндрами I₂. Если I₀ – момент инерции ненагруженной платформы, то, очевидно, что величина

(5)

будет моментом инерции цилиндра относительно оси, отстоящей от его центра тяжести на расстоянии d. Затем, измерив расстояние d, следует проверить, будет ли величина I – I_c равна величине md².

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Запишите значения величин m₀, R, r, L и их погрешности (все они указаны на приборе):

m0 =

R=

r =

L=

2. Составьте таблицу 1 результатов измерений и вычислений.

Таблица 1

№	t0i	T0i	T0	D T 0i = T 0i–T 0	D T 0	I0	DI0
...

2. Измерьте период колебаний T ₀ ненагруженной платформы. Для этого сообщите нижней платформе вращательный импульс резким поворотом верхнего диска так, чтобы нижняя платформа повернулась на 6-8 градусов, Измерьте t₀ – время 30 полных колебаний, и вычислите T ₀ = t₀ /30.

3. Повторите измерения периода T _0i колебаний 6 раз, занося результаты в соответствующие строки таблицы 1.

4. Определите среднее значение периода колебаний T ₀ и запишите его в таблицу 1.

5. По формуле (2) вычислите среднее значение момента инерции I₀ ненагруженной платформы и запишите эти результаты в таблицу 1.

6. Вычислите отклонения D T _0i = T _0i –T ₀ и занесите их в таблицу 1.

7. Вычислите среднюю квадратичную погрешность D T ₀ и запишите ее в таблицу 1.

8. По формуле (3) найдите погрешность определения момента инерции DI₀ и запишите результат в таблицу 1.

Все дальнейшие измерения и вычисления проводятся в той же последовательности, что и только что описанные. Отличие состоит лишь в том, что все последующие измерения проводятся с платформой, нагруженной двумя цилиндрами.

Разместите грузы в центре платформы, поставив их друг на друга.

9. Составьте таблицу 2 результатов вычислений и измерений.

10. Измерьте m – массу цилиндра, найдите массу платформы с грузами, запишите результат перед таблицей 2.

11. Повторите все измерения и вычисления описанные в п.п. (2) – (8), занося результаты по мере их получения в таблицу 2.

Масса платформы с грузами: m0+2m =	Таблица 2
№	t1i	T1i	T1	D T 1 i = T 1i – T 1	D T 1	I1	DI1
...

Разместите грузы симметрично по краям платформы, поставив их на отмеченные для этого места.

13.Составьте таблицу 3.

14.Проделайте все измерения и вычисления в соответствии с п.п. (2)–(8), занося результаты в таблицу 3.

	Таблица 3
Масса платформы с грузами: m0+2m =
Расстояние от оси платформы до груза: d =
№	t2i	T2i	T2	D T 2i = T 2i – T 2	D T 2	I2	DI2
...

15. Найдите момент инерции цилиндра относительно его оси а также погрешность его измерения.

16. Окончательный результат запишите в виде:

17. Вычислите момент инерции цилиндра относительно его оси, измерив его диаметр (масса m уже измерена).

18. Сравните полученный результат с найденной величиной I_c.

19. Зная величину момента инерции пустой платформы I₀, по формуле (5) найдите I – момент инерции цилиндра относительно оси, отстоящей от его центра тяжести на расстояние d.

20. Сравните найденную величину с величиной md², для чего измерьте штангенциркулем расстояние d и вычислите произведение md².

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется моментом инерции твёрдого тела?

2. Сформулируйте теорему Штейнера.

3. Вычислите момент инерции цилиндра относительно его оси симметрии.

4. Докажите, что для всякого плоского тела (скажем, вырезанного из листа стали) имеет место равенство I_z = I_x + I_y, где I_x, I_y, I_z – моменты инерции тела относительно осей OX, OY, OZ, проходящих через центр инерции тела, причем оси OX и OY лежат в плоскости тела, а OZ перпендикулярна ей.

5. Пользуясь выведенной формулой найдите:

· момент инерции однородного диска относительно его диаметра,

· момент инерции однородного квадрата относительно его диагонали.

ПРИЛОЖЕНИЕ

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: