В 1890 году Гильберт изложил перед Вторым международным конгрессом список из 23 проблем, которые должны определять ход будущей математики XX в. Многие проблемы до сих пор не решены.

Основные понятия теории множеств

Подмножество

Свойства включений

Цели занятия: изучить основные понятия дискретной математики, научиться рассматривать окружающую природу и события через множества; познакомиться с основными отношениями множеств.

Роль и место лекции

Этой лекцией мы начинаем изучение высшей математики. Неслучайно оно изучение начинается с теории множеств. С этой теории должно начинаться знакомство с математикой вообще. Мы должны определиться, с какими элементами будем оперировать. Дискретная математика стоит на стыке строгих теорий и логических умозаключений, т. е. зачастую позволяет осмыслить строгие математические выражения. Например, в школьном курсе математики было дано понятие функции как зависимости  ее значений y от некоторой переменной x. С точки зрения высшей математики функция – это некоторое отношение между множествами, элементами которых, в частности, могут быть и упомянутые переменные, а также люди, звезды и т. д.  

1. Основные понятия теории множеств

Большую часть понятий дискретной математики можно определить с помощью понятия множества. Множество - основополагающее, первичное и неопределяемое понятие математики. Множеством принято называть набор, совокупность некоторых объектов, при этом природа самих объектов, составляющих то или иное множество, не имеет значения. Создатель теории множеств Георг Кантор давал следующее определение  множества – " множество есть многое, мыслимое нами как целое".

Понятие множества

Определение 1.

Объекты, из которых состоит то или иное множество, называют элементами этого множества. В математике употребляются следующие синонимы термина множество: система, класс, совокупность.

В математике рассматриваются более специфические множества, состоящие из чисел, кривых, множеств чисел и т.д.

Замечание!!!

Множества принято обозначать прописными буквами  латинского алфавита, а их элементы – строчными буквами с индексом или без него.

Например, множества A, B, ... X, Y, Z и соответственно элементы a, b,... x, y, z. С целью упрощения многих математических записей и придания им наглядности в математике помимо стандартных кванторов общности и существования вводят так называемые сокращения высказывания, например,  знакомые  вам  “> ”,  “ ” и т. д. Запишем основные сокращения, используемые в высшей математике.

Сокращения

 – " элемент a принадлежит множеству X ";

 – " элемент a не принадлежит множеству X ";

 – обозначение произвольности, читается "  - для любого элемента x множества A";

 – обозначение существования, читается " - существует (найдется) элемент y из множества B";

 – обозначение существования и единственности, " существует единственный элемент b из множества C";

: – “такой, что” или “обладающий свойством”. Обычно таким значком дополняется предыдущее сокращение .

 – обозначение следования - " если..., то...";

 – обозначение равносильности - " тогда и только тогда".

Множества могут быть заданы тремя основными способами.

1.3. Способы задания множеств

1) Перечислением . Множество можно задать, перечислив все его элементы. Обозначение списка записывается в фигурных скобках.

ПРИМЕР 1.

А={январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь} – множество месяцев года.

2) Порождающей процедурой. Трудно перечислить все натуральные числа от 2 до 2ⁿ. В этом случае множество задается описанием способа получения его элементов. Элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры.

Множество всех чисел, являющихся степенями двойки ,  или , может быть задано порождающей рекурсивной или индуктивной процедурой:

а)  или б) если , то .

3) Описанием характеристических свойств . Множество можно задать при помощи объявления свойства, определяющего, какие элементы принадлежат, а какие не принадлежат описываемому множеству. В этом случае множество задается в фигурных скобках записью общего элемента и свойства всех элементов.

ПРИМЕР 3.

Множество в предыдущем примере .