Наиболее часто используемые виды множеств:

A – некоторое множество физических объектов, цен, услуг и т. д.;

N – множество натуральных чисел N= {1, 2, 3,... };

Z – множество целых чисел Z= {0, ±1, ±2, ±3,... };

Q – множество рациональных чисел Q= { : , };

R – множество действительных (вещественных) чисел.

Множество может содержать много элементов или лишь несколько, например множество русских букв содержит ровно 33 элемента. Множество натуральных чисел N содержит бесконечно много элементов. Может быть и предельный случай, когда множество вообще не содержит элементов, например множество действительных корней уравнения x⁴+8 = 0.

Определение 2.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .

В общем случае множества бывают конечные и бесконечные.

11

Определение 3.

Конечное множество – это такое множество, для которого существует натуральное число, равное числу его элементов.

 

Например, множество русских букв – конечное множество, так как существует натуральное число 33, равное числу элементов этого множества.

Определение 4.

Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным множеством.

Замечание!!!

Перечислением можно задать только конечные множества. Вторым и третьим способами задаются бесконечные множества.

Уже рассмотренное нами множество натуральных чисел N – бесконечное множество, поскольку нет такого натурального числа, которое равнялось бы числу его элементов.

Определение 5.

Если множество A – конечное множество, то через |A| обозначают число его элементов и называют   мощностью множества A. Понятие мощности вводится и для бесконечных множеств.

ПРИМЕР 4.

Пусть множество A состоит из элементов {январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь} – это множество месяцев одного года. Мощность |A| заданного таким образом множества A равна 12. Это число элементов множества A – количество месяцев одного года.

Определение 6.

Два конечных множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Если множества A и B равны, то мы будем писать A = B, в противном случае A B.

Вывод!!!

В равных множествах последовательность элементов не важна. Таким образом, мы получили следующее определение:

Определение  7.

Два конечных множества A и B не равны между собой, если в множестве A есть элемент, не принадлежащий множеству B или наоборот.

Вывод!!!

Согласно такому определению равенства множеств мы, естественно, получаем, что все пустые множества равны между собой или (что то же самое) что существует только одно пустое множество .

ПРИМЕР 5.

1. Множества {0, 1, 2}={1, 2, 0} равны между собой и поэтому между ними мы можем поставить знак равенства: они конечны и состоят из одних и тех же элементов.

12

2. Рассмотрим теперь три множества A={0, 1}, B={{0, 1}, 2} и C={{{0, 1}, 2}, 3}. Между этими множествами справедливы следующие соотношения .

Важно!!!

Само множество может быть элементом другого множества.  

2. Подмножество

Определение 8.

Пусть A и B – какие-то два множества. Если любой элемент x множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B и обозначают этот факт как или .

Это же определение можно переписать на языке сокращений:

.

Читается оно так: " Если элемент x принадлежит множеству A, то x принадлежит множеству B". Из введенного определения, очевидно, следует утверждение, если и , то A=B, т.е. множества A и B состоят из одних и тех же элементов.

Замечание!!!

Пустое множество  по определению считается подмножеством любого множества, т. е. A.

Определение 9.

Подмножество A множества B, отличное от самого множества B и , называется собственным подмножеством и обозначается .

Это так называемое " строгое" включение множества A в множество B.

ПРИМЕР  6.

, . Однако интервалы [1, 2] и (1, 3] не удовлетворяют никаким условиям включения. В каждом из этих множеств есть элементы, не принадлежащие другому множеству.

  3. Свойства включений

1) ;

2) и  A=B;

3) и .

Определение 10.

Подмножества B и  множества B называются его несобственными подмножествами.

Вывод!!!

13

Пустое и одноэлементное множества обладают только несобственными подмножествами. Однако если множество содержит по крайней мере  два элемента, то оно имеет и собственные подмножества.

ПРИМЕР 7.

Всевозможные подмножества множества A={a, b} суть , {a}, {b}, {a, b}, из которых {a}, {b} – собственные подмножества множества A.

Заключение

В лекции начато изучение высшей математики. Введено важное понятие множества. Важно понять, что множество – это совокупность элементов. Одно множество может быть элементом другого множества, поэтому, рассматривая какие-либо математические операции, действия, графики и т. д., важно определиться,  каким множеством мы оперируем, иначе все выводы нельзя принять верными.

Отметим следующее:

- множество есть многое, мыслимое нами как целое;

- само множество может быть элементом другого множества;

- для быстроты и простоты записи используют сокращения;

- пустое множество единственное;

- в равных множествах последовательность элементов не важна;

- важно различать  – подмножество и  – собственное подмножество.

Литература

1. Москинова Г.И. Дискретная математика. – М.: Логос, 2002. – 240 с.

2. Яблонский Я. В. Введение в дискретную математику. – М.: Высшая школа, 2001, - 384 с.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа, 1998.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.

14

Лекция 2

Алгебра множеств

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: