СЕКРЕТЫ МЕНТАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

СЕКРЕТЫ МЕНТАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Ì À Ò Å Ì À Ã È ß

ГЛАВА 0

Мгновенное умножение

Давайте начнём с одного из моих любимых подвигов устной математики: как умножать в уме любое двузначное число на 11. Это очень легко, если вы знаете секрет.

Представьте следую задачу:

Х 11

Для решения данной задачи нужно просто сложить цифры, 3 + 2

= 5, а затем поместить 5-ку между 2-ой и 3-ой. Вот и ваше решение:

352

Что может быть легче? Теперь попробуйте:

Х 11

С тех пор, как 5 + 3 = 8, ответ достаточно простой:

583

Ещё пример. Не подглядывая и ничего не записывая, чему будет равно:

Х 11?

У вас получилось 891? Поздравляю!

Пока вы ещё не через чур воодушевились: я показал вам лишь половину того, что необходимо знать. Допустим задача следующая:

Х 11

Несмотря на то, что 8 + 5 = 13, ответ НЕ 8 13 5!

Как  и  прежде,  цифра  3  ставится  между,  но  1  добавляется  к цифре 8 для получения правильного ответа: 935

Представляйте задачу следующим образом:

 

 

Вот ещё пример. Попробуйте 57 х 11.

Так как 5 + 7 = 12, решением будет:

 

 

Так, теперь ваша очередь. Как можно быстрее, сколько будет

77 х 11?

Если вы получили ответ 847, то можете похлопать себя по спине.

Вы на пути к превращению в матемага.

Я знаю по опыту, что если вы скажете другу или учителю, что можете в уме умножить любое двузначное число на 11, просьба умножить 99 на 11 не заставит себя долго ждать. Так давайте сделаем это прямо сейчас, чтобы вы были готовы.

Раз уж 9 + 9 = 18, то ответ:

 

 

Хорошо попрактикуйте свой новый навык какое-то время, а затем начинайте выпендриваться. Вы будете удивлены тому, какую реакцию это вызовет. (раскрывать или нет свои секреты - решайте сами! )

Добро пожаловать назад. К этому моменту у вас, должно быть, появилось несколько вопросов, таких как:

«Можем ли мы использовать данный метод для умножения трёхзначных (или больше) чисел на 11? »

Безусловно. Например, для задачки 314 х 11 ответ всё ещё будет начинаться с 3 и заканчиваться на 4. Так как 3 +1 = 4, а 1 + 4 = 5, ответ будет 3 45 4. Но мы отложим задачи посерьёзнее напотом.

 

 

Вероятнее всего, вы должно быть спрашиваете себя:

 

 

«Ну, это хорошо, что можно умножать на 11. Но как на счёт больших цифр? Как умножить цисла на 12, 13 или 36? »

Мой ответ на это: ТЕРПЕНИЕ! Об этом рассказано дальше в книге. В главах 2, 3, 6 и 8 вы изучите методы умножения, позволяющие перемножать любые 2 числа. А ещё лучше то, что вам не придётся запоминать специальные правила для каждого случая. Пригоршня методов - вот всё, что вам понадобится для умножения чисел в уме быстро и с лёгкостью.

 

Посчитать 22 х 23? »

Пока ещё нет. Но в Главе 8, я покажу вам простой способ для решения таких задач с использованием метода «совместной близости» (для действия 22 х 23 вы будете использовать 20 х 25 плюс 2 х 3 и получите 500 + 6 = 506; но это я забегаю вперёд! ). Вы не только научитесь использовать данные методы, но вы также сможете понять принципы их работы.

 

«Существуют какие-либо методы устного сложения и

Вычитания? »

Определённо: и об этом вся следующая глава. Если бы меня принудили описать свой метод в двух словах, я бы сказал: «Слева направо».  Вот вы украдкой и получили анонс.

Представьте себе следующую задачу на вычитание:

 

 

 

Большинству  людей  не  понравится  решать  эту  задачку  в  уме

(или даже на бумаге! ), но давайте всё упростим. Вместо того, чтобы

вычесть  587,  вычтем  600.  Так  как  1200  -  600  =  600,  мы  получаем следующее:

 

 

Но мы вычли на 13 больше. (в Главе 3 будет объяснено, как быстро определить «13») Таким образом, наш пример, на который было больно смотреть, превращается в легкую задачу на сложение,

 

 

 

которую совсем просто решить в уме (в особенности слева направо). Итак, 1241 - 587 = 654.

Используя немножко математемагии, описанной в Главе 9, вы сможете мгновенно вычислять сумму десяти чисел, представленных ниже:

Хотя я не буду раскрывать магический секрет прямо сейчас, вот небольшой намёк. Полученный ответ, 935, уже появлялся в рамках данной главы. Ещё больше трюков для вычислений на бумаге вы найдёте в Главе 6. Более того, вы будете в состоянии быстро назвать частное двух следующих чисел:

 

 

( первые три цифры )

Нам ещё много предстоит обсудить касательно деления

(включая обычные и десятичные дроби) в Главе 4.

 

 

Улучшайте свою память

В Главе 7 вы изучите полезную технику для запоминания чисел. Это окажется полезным внутри класса и за его пределами. Используя легкую для понимания систему трансформации цисел в слова, вы сможете быстро и без труда запоминать любые числа: даты, телефонные номера - всё, что захотите.

Говоря о календарных числах, как вы смотрите на то, чтобы иметь возможность определять день недели за любую дату? Вы можете использовать это для определения дней рождения, исторических событий, запланированных в будущем встреч, и так далее. Я расскажу вам об этом в деталях позже, но вот простой способ определения дня недели 1-го Января любого года в 21-ом веке. Первым делом ознакомьтесь с представленной таблицой:

 

 

ПОНЕДЕЛЬНИК	ВТОРНИК	СРЕДА	ЧЕТВЕРГ	ПЯТНИЦА	СУББОТА	ВОСКРЕСЕНИЕ
1	2	3	4	5	6	7 или 0

 

 

Например, давайте определим день недели от 1/01/2030. Возьмите последние две цифры года и представьте себе, что это ваш счёт в ресторане. (в данном случае ваш счёт $30) Теперь добавьте чаевых на 25%, но излишки в центах оставьте себе. (можете вычислить это, дважды разделив счёт пополам и отбросив всю «мелочь». Половина $30 будет $15. Затем половина $15 это $7, 50. Оставив излишки себе, получим чаевые в размере $7. Отсюда получаем, что ваш счёт плюс чаевые составляет $37. Чтобы определить день недели, вычитаем из этой суммы наиболее близкое к ней - но не большее - произведение числа 7 (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, …) и получаем с помощью этого порядковый номер дня. В данном примере, 37 - 35 = 2,

значит 1-ое Января 2030 года приходится на 2-ой день, под названием Вторник:

СЧЁТ: ЧАЕВЫЕ:

Произведение 7-ки:

= ВТОРНИК

Как на счёт 1 Января 2043 года:

 

 

СЧЁТ: ЧАЕВЫЕ:

Произведение 7-ки:

= ЧЕТВЕРГ

Исключение: если год високосный, уберите $1 из суммы чаевых, посчитанных ранее. Например, для 1/01/2032, 25% от счёта в $32 будут равны $8 чаевых. Избавление от $1 даёт в итоге 32 + 7 = 39. Вычитание наибольшего по отношению к сумме счёта произведение 7 даёт нам 39

- 35 = 4. Итак, 1-ое Января 2032 года приходится на 4-ый день - ЧЕТВЕРГ. За большей информацией, которая позволит вам вычислять день недели за любую историческую дату, обращайтесь к Главе 9. (в действительности, совершенно нормально будет, если вы сначала прочитаете данную главу)

Я знаю, о чём вы сейчас думаете:

 

 

«Почему они не учат этому в школе? »

Я боюсь, что существуют вопросы, на которые даже я не знаю ответа. Вы готовы разучить ещё больше волшебной математики? Ну так чего же мы ждём? Поехали!

ГЛАВА 1

Сложение слева направо

Большинство из нас были обучены проводить письменные вычисления справа налево. И это нормально для вычислений на бумаге. Но если вы хотите считать в уме (даже быстрее, чем если бы вы делали это на бумаге), то существует достаточное количество убедительных аргументов, объясняющих, почему лучше это делать слева направо. В конце концов, вы читаете числовую информацию слева направо, вы произносите числа слева направо, да и это более естественно - думать о числах (и считать их) слева направо. Когда вы вычисляете ответ справа налево, вы тем самым генерируете его в обратном  направлении.  Это  и  делает  вычисления  в  голове  такими

сложными. Также, если вы хотите прикинуть ответ, то более важно знать, что он «немного за 1200», чем то, что он «заканчивается на 8». Таким образом, работая по методу «слева направо», вы начинаете решение с самых существенных цифр вашей задачи. Если вы привыкли работать на бумаге справа налево, то вам может показаться неестественным подход «слева направо». Но с практикой к вам придёт понимание того, что это самый естественный и эффективный метод для устных вычислений.

С первым набором задач - сложение двузначных чисел - метод

«справа налево» может и не показаться вам таким уж выгодным. Но будьте терпеливы. Если вы будете держаться рядом со мной, то увидите, что единственно лёгкий путь к решению трёхзначных (и более) задач на сложение, всех задач на вычитание и определённо всех на умножение и деление - это метод «слева направо».  Чем раньше вы приучите себя вычислять таким способом, тем лучше.

Сложение двузначных чисел

Наше допущение в данной Главе состоит в том, что вы знаете, как складывать и вычитать числа, состоящие из одной цифры. Мы начнём со сложения двузначных чисел, хоть я и подозреваю, что вы уже довольно хорошо можете делать это в уме. Однако, следующие упражнения всё равно являются хорошей практикой, так как навыки сложения двузначных чисел, которые вы приобретёте здесь, понадобятся для более серьёзных задач на сложение, как впрочем и для практически всех задач на умножение в следующих главах. Это всё также иллюстрирует фундаментальный принцип устной арифметики, а именно: «упрощай задачу, разбивая её на меньшие, легче  выполнимые  части».  Это  ключ  поистине  к  каждому  методу,

который вы изучите в данной книге. Перефразируя старую пословицу, существуют три составляющих успеха - упрощай, упрощай, упрощай2.

Самые легкие задачи на сложение двузначных чисел, это те, которые не требуют от вас держать в уме никакие  цифры  (то  есть когда первые две цифры в сумме дают 9 или меньше, или когда последние две цифры дают в сумме 9 или меньше). Например:

 

 

 

 

Чтобы посчитать 47 + 32, сначала прибавляем 30, затем 2. После прибавления 30, мы имеем задачу попроще 77 + 2, которая равняется

79. Давайте проиллюстрируем это следующим образом:

 

 

 

Сложение трёхзначных чисел

Стратегия сложения трёхзначных чисел точно такая же, как и для двузначных: вы складываете слева направо. После каждого шага, вы переходите к новой (и более простой) задаче на сложение. Давайте попробуем следующее:

 

 

 

Начиная с 538, мы прибавляем 300, затем 20, затем 7. После

прибавления 300 (538 + 300 = 838), задача сводится к 838 + 27. После

прибавления 20 (838 + 20 = 858), задача упрощается до 858 + 7 = 865. Такого рода мыслительный процесс может быть представлен в виде следующей схемы:

 

Все задачки на сложение в уме могут быть решены данным способом. Цель состоит в том, чтобы последовательно упрощать задачу до тех пор, пока вам не придётся просто прибавлять однозначное число. Обратите внимание на то, что пример 538 + 327 требует от вас держать в уме шесть цифр, тогда как 838 + 27 и 858 + 7 требуют только пять и четыре, соответственно.

Если вы упрощаете задачу, задача становится легче!

Попробуйте решить следующую задачку на сложение в уме прежде, чем смотреть на наше решение:

 

 

 

Вы уменьшили и упростили её, прибавляя слева направо? После прибавления сотен (623 + 100 = 723) осталось 723 + 59. Далее вам

следует прибавить десятки (723 + 50 = 773), упростив проблему до 773

+ 9, что вы потом подытоживаете в виде 782. В виде схемы задача выглядит следующим образом:

 

 

 

 

Когда я решаю эти задачи в уме, я не пытаюсь видеть числа у себя в голове - я пытаюсь слышать их. Я слышу пример 623 + 159 как шестьсот двадцать три плюс сто пятьдесят девять; выделяя слово сто для себя, я понимаю, с чего начать. Шесть плюс один равняется семи, значит моя следующая задача семьсот двадцать три плюс пятьдесят девять, и так далее. Когда вы только начинаете решать такие задачи,

делайте это вслух. Подкрепление в виде звуков поможет вам научиться данному методу гораздо быстрее.

Задачи  на  сложение  трёхзначных  чисел,  на  самом  деле,  не бывают сложнее следующей:

 

 

Взгляните на то, как мы это сделали:

 

 

 

На каждом шаге я слышу (не вижу) новую задачу на сложение. У меня в голове проблема звучит как:

 

Вычитание слева направо

Для большинства из нас, сложение легче вычитания. Но если вы продолжите вычитать слева направо и разбивать примеры на более простые действия, вычитание может стать  почти  таким  же  простым, как  сложение.

Вычитание двузначных чисел

В процессе вычитания двузначных чисел вы преследуете цель упростить задачу, доведя её до вычитания (или сложения) однозначного числа. Давайте начнём с очень простого примера на вычитание:

 

 

 

После каждого действия вы прибываете на новый и более лёгкий этап вычитания. Здесь мы сперва отнимаем 20 (86 - 20 = 66),

далее мы отнимаем 5, чтобы достигнуть самого простого действия 66 -

5 для получения итогового ответа 61. Задача может быть схематически представлена как:

 

 

СНАЧАЛА ОТНИМАЕМ 30

ЗАТЕМ ПРИБАВЛЯЕМ 1

Вот правило, помогающее решить, какой метод использовать:

если  задача  на  вычитание  двузначных  чисел  требует  «заёма»,  то

округляйте цифру, которую отнимаете. Вычитайте округлённое число, а потом прибавляйте разницу.

Например, задача 54 - 28 требует заёма (так как 8 больше 4),

значит округляем 28 до 30, считаем 54 - 30 = 24, после чего прибавляем

2 и получаем 26 в качестве ответа:

 

 

 

 

А теперь набейте руку (или голову) на примере 81 - 37. Так как 7 больше 1, мы округляем 37 до 40, вычитаем это число из 81 (81 - 40 = 41), а затем прибавляем назад разницу в виде 3 для получения итогового ответа:

 

 

Всего лишь немного практики и вы без труда сможете решать задачи обоими способами. Просто используйте вышеуказанное правило для принятия решения о том, какой способ лучше подходит.

 

Вычитание трёхзначных чисел

А теперь давайте попробуем вычитание трёхзначных чисел:

 

 

 

Этот конкретный пример не требует от вас занимать никакие числа (так как каждая цифра второго числа как минимум на единицу меньше цифр первого), так что он не должен вам показаться слишком сложным. Просто вычитайте по одной цифре за раз, с каждым шагом упрощая задачу.

 

 

 

 

А теперь давайте взглянем на задачку по вычитанию трёхзначных чисел, которая подразумевает заём:

 

 

 

 

На первый взгляд она, возможно, кажется довольно сложной. Но если вы сначала отнимете 747 - 600 = 147, а потом прибавите назад 2, то получите итоговый ответ 147 + 2 = 149.

 

 

А теперь попробуйте сами:

 

 

 

Вы сначала отняли 700 от 853? Если да, то получили  ли  вы потом 853 - 700 = 153? Так как вы отняли на 8 больше, то добавили ли 8 назад, чтобы получить 161, итоговый ответ?

 

 

 

 

Теперь я могу признать, что нам удалось упростить вашу жизнь путём вычитания чисел, почти кратным 100. (Вы заметили? ) Но как на счёт других задач, например:

 

 

ИЛИ

Если  вы  будете  вычитать  по  одной  цифре  за  раз,  упрощая каждое действие, то ваша последовательность будет выглядеть так:

 

 

Таблица умножения от 1 до 10

Округление

Вы увидели в прошлой Главе, как полезно может быть округление, когда дело касается вычитания. Та же история и с умножением, особенно когда вы умножаете числа, заканчивающиеся на 8 или 9.

Давайте рассмотрим пример 69 х 6, проиллюстрированный ниже. Слева представлено вычисление обычным способом: прибавляем 360 +

54. Справа, однако, мы округлили 69 до 70 и вычли 420 - 6, что вам может показаться более лёгким действием.

 

 

 

 

Следующий пример также показывает, насколько легче может быть округление:

 

 

Метод вычитания работает особенно хорошо для чисел, которые на одну-две цифры дальше от кратного 10. Он уже не так хорош, когда вам нужно округлять более чем на две цифры, потому что сам пример на вычитание становится сложным. Так что вы можете продолжать придерживаться метода сложения. Лично я, для задач такого размера, использую только метод сложения, потому что за время, потраченное на выбор метода, я бы уже мог всё посчитать!

Раз уж вы можете усовершенствовать свою технику, я настоятельно рекомендую практиковаться побольше на задачках типа

«2-на-1». Ниже представлены 20 примеров, решения на которые вы можете поискать. Я предоставил вам ответы в конце книги, включая разбивку на действия для каждого компонента процесса умножения. Если после разбора каждого из примеров вы захотите ещё попрактиковаться, то просто составьте свои собственные. Считайте в уме, затем проверяйте ответ с калькулятором. Как только вы почувствуете уверенность в том, что можете выполнять такие задачки моментально в уме, вы будете готовы перейти на следующий уровень устных вычислений.

Числа, дающие в  сумме 20