Природа математического мышления

Для понимания математики как науки важно уяснить особенности ее предмета и метода, закономерности ее развития, пути обоснования ма­тематических теорий и условия их применения к опытным наукам. По­пытки ответить на эти вопросы составляют суть философского анализа математики. Задача данного раздела состоит в том, чтобы разъяснить ос­новные идеи и проблемы современной философии математики и пока­зать их связь с развитием математического мышления.

На протяжении столетий математика считалась образцом точнос­ти и строгости для других областей знания. Этот взгляд сохраняет свое влияние и сегодня: немало специалистов полагают, что законы химии и физики не обладают некоей, только этим наукам присущей, спецификой и что за их количественным выражением стоят универ­сальные свойства абстрактных математических структур, не до конца еще раскрытых современной наукой. Математика с подобной точки зрения обретает значение, далеко выходящее за рамки своего непо­средственного поля применения, получая тем самым философское измерение.

Самое раннее свидетельство, касающееся обстоятельств возникно­вения подобного взгляда, содержится в диалоге Платона «Филеб». Объясняя собеседнику Протарху важность изучения музыкальных со­звучий и образуемых ими систем, Сократ говорит: «...Предшественни­ки наши, открывшие эти системы, завещали нам, своим потомкам, на­зывать их гармониями и прилагать имена ритма и меры к другим подобным состояниям, присущим движениям тела, если измерять их числами; они повелели нам, далее, рассматривать таким же образом всякое вообще единство и множество... после того как ты узнаешь все это, ты станешь мудрым, а когда постигнешь всякое другое единство, рассматривая его таким же способом, то сделаешься сведущим и отно-

14                                        1. Философские проблемы математики

сительно него»¹. В этих словах содержится обоснование знаменитого пифагорейского тезиса «Все есть число», во многом предопределивше­го последующие успехи теоретического естествознания. В современ­ных работах воззрения пифагорейцев нередко называются мистичес­кими, однако доля мистики в них не так уж и велика. Выдающийся физик-теоретик Р. Фейнман, анализируя господствующее на сегодня объяснение Г. Гельмгольцем феномена благозвучия музыкальных ин­тервалов, описываемых первыми числами натурального ряда, вынуж­ден признать, что в данном вопросе мы не далеко ушли от Пифагора: «Мы не можем с уверенностью сказать, сравнивает ли ухо гармонии или занимается арифметикой, когда мы решаем, что звук нам нравит­ся»². Если даже сегодня отсутствует удовлетворяющее всех объяснение простых числовых закономерностей в эстетическом восприятии музы­ки, то едва ли можно упрекать древних за тот энтузиазм, которым со­провождалось их обнаружение в невидимых глазом явлениях.

Воздействие математики не ограничивается сферой научного знания. Многообразны способы ее применения помимо музыки в таких областях искусства, как архитектура, живопись и литература³. Рассматривая сред­невековую математику, невозможно игнорировать глубокую ее связь с ре­лигиозным сознанием того времени. Нельзя, наконец, забывать и о важ­нейшей роли математики в образовании и воспитании личности.

Последние годы наполнены спорами об изменившейся роли матема­тического знания в эпоху постиндустриального развития человечества. Вторжение электронно-вычислительной техники и информационных технологий в экономику и повседневную жизнь людей привело к неодно­значным, противоречивым последствиям для системы математического образования. На состоявшейся в 2000 г. Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков» ее участники вынуждены были с тревогой констатировать, что в совре­менном общественном сознании складывается искаженное и даже нега­тивное представление о математике и математическом образовании⁴. Об остроте проблемы говорит то обстоятельство, что в доклад председателя Программного комитета конференции В.М. Тихомирова специально был включен тезис: «Математическое образование есть благо, на которое име­ет право любой человек, и обязанность общества (государства и всемир­ных структур) предоставить каждой личности возможность воспользо-

¹ Платон. Соч.: В 4 т. М., 1990-1994. Т. 3. С. 14.

² Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М., 1967. Вып. 4.
С. 208.

³ Прекрасное изложение роли математических закономерностей в формообразовании
в искусстве содержится в кн.: Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 2000.

⁴ Образование, которое мы можем потерять / Под общ. ред. В.А. Садовничего. М.,
2002. С. 279.

1.1. Природа математического мышления                                            15

ваться этим правом». О причинах, поставивших под сомнение этот тезис в глазах общества, много пишет в своих публикациях один из крупнейших математиков современности В. И. Арнольд.

По его мнению, в снижении общественного интереса к математике и математическому образованию есть доля вины и самих математиков. Когда студенту французского университета преподносят следующее оп­ределение математики как научной дисциплины: «Математика есть на­ука о доказательствах, доказательства — это цепочки импликаций... Са­мое главное — понять, что такое одна импликация. Вот ее определение. Пусть А и В — два произвольных высказывания. Если оба они верны, то говорят, что из А вытекает В», едва ли он впоследствии сможет что-ли­бо понять в теоретическом естествознании. Не больше пользы, по мне­нию Арнольда, для защиты ценности математического образования и от принадлежащего другому крупнейшему математику современности Ж.-П. Серру обоснования причисления нуля к натуральным числам в учебных математических курсах: «Некоторые считают, что натуральные числа — это те, которые участвуют в натуральном (то есть естествен­ном) счете: один, два, три... Но такой экспериментаторский подход не­научен. С точки зрения нашей высокой науки, " естественный счет" ни­какого отношения к теории не имеет. Научное определение таково: " Натуральные числа — это мощности конечных множеств". А какое из конечных множеств — самое главное? Разумеется, пустое! Значит, его мощность, то есть нуль, — натуральное число! »¹

Сам Арнольд, дабы избежать упреков со стороны нематематиков в том, что математика искусственно отгораживается от других наук, име­ющих дело с реальным, окружающим нас миром, предлагает рассматри­вать ее как часть теоретической физики: «...доказательства всегда играли в математике совершенно подчиненную роль, примерно такую, как ор­фография или даже каллиграфия в поэзии. Математика, как и физика, — экспериментальная наука, и сознательное сложение дробей ¹/₂ и V3 ^— стандартный элемент общечеловеческой культуры»².

Общество судит о степени важности той или иной области знания прежде всего по тому вкладу, который она реально вносит в его функ­ционирование. И если, как в приводимых Арнольдом примерах, оно ви­дит стремление специалистов данной области знания сосредоточиться прежде всего на внутренней проблематике, вне связи с другими сфера­ми знания и жизнедеятельности общества, отчуждение оказывается вза­имным. С этой точки зрения проводимое выдающимся математиком

¹ Арнольд В.И. Математическая дуэль вокруг Бурбаки // Вестник РАН. 2002. Т. 72. № 3.
С. 245-246.

2 Арнольд В. И. Математика и физика: родитель и дитя или сестры? // Успехи физичес­
ких наук. 1999. Т. 169. № 12. С. 1323.

16                                       1. Философские проблемы математики

сближение математики и физики выглядит привлекательным и заслужи­вает серьезного внимания.

Предлагаемый Арнольдом подход, как и всякая новая точка зрения, не свободен от трудностей теоретического характера. Если следовать ему бук­вально, т.е. заменять принятую в математике схему «определение — теоре­ма — доказательство» на привычную для физики схему «наблюдение — мо­дель — исследование модели — выводы — проверка наблюдениями», то трудности возникнут даже при изложении элементарной математики. На­пример, хотя формула объема пирамиды и может быть сформулирована в рамках наглядных физических представлений, ее доказательство предпо­лагает возможность деления отрезка на сколь угодно большое число рав­ных частей, что невозможно строго обосновать без геометрических акси­ом. Математические абстракции имеют свою исторически сложившуюся специфику, и прямой разрыв с этой традицией в преподавании математи­ки неизбежно порождает массу методических и методологических про­блем, преодолеть которые за короткое время едва ли возможно.

В философии науки принято различать три аспекта используемого в познавательной деятельности ученого языка науки: синтаксический, се­мантический и прагматический¹. Синтаксический аспект предполагает рассмотрение языка как некоторой совокупности знаков, которые пре­образуются по определенным правилам и формируют в своих связях оп­ределенную систему. В процессе применения этих правил исследователь отвлекается от смысла терминов языка и рассматривает термины только как знаки, образующие в своих связях формулы, из которых выводятся другие формулы по правилам данной языковой системы. Именно этот аспект математического знания оказался на первом плане в приведен­ном выше определении математики как цепочки импликаций.

Семантический аспект языка требует обращения к содержанию язы­ковых значений. Он предполагает нахождение идеальных объектов и их связей, которые образуют непосредственный смысл терминов и выска­зываний языка. Так, в аксиоматически построенной геометрии под пи­рамидой понимается не мысленный образ расположенной в пространст­ве пирамиды, а идеальный математический объект, вершины которого не имеют частей, ребра — ширины, а грани — толщины.

Наконец, прагматический аспект языка предполагает рассмотрение языковых выражений в отношении к практической деятельности и специ­фике социального общения, характерных для определенной исторической эпохи. Это означает, что идеальные объекты и их корреляции, образующие область смыслов языковых выражений, берутся в их отношении к социо­культурной среде, породившей ту или иную «популяцию» научных знаний. Когда Арнольд критикует господствующую в дедуктивно-аксиоматичес-

¹ См.: Степин B. C. Теоретическое знание. М, 2003. С. 102—104.

1.1. Природа математического мышления                                            17

кой математике схему «определение — теорема — доказательство» как спо­собную принести лишь вред и преподаванию, и практической деятельнос­ти¹, он ставит во главу угла именно прагматический аспект в истолковании предмета математики. Сам факт подобной критики указывает на то, что рассматриваемые аспекты математического знания могут входить в проти­воречие на определенных стадиях исторического развития.

Критическую оценку аксиоматической формы изложения математики разделяет другой крупнейший российский математик — СП. Новиков². Но даже эти авторитетные мнения ведущих современных ученых не в со­стоянии поколебать многовековой традиции, в соответствии с которой именно дедуктивное доказательство рассматривается как специфическая особенность математики, выделяющая ее среди других областей знания.

Яркую и образную характеристику специфики математического ме­тода рассуждений дала С.А. Яновская: «Математик обязан точно указать все свойства определяемых им объектов и не имеет права пользоваться никакими свойствами их, не содержащимися в определении и не выте­кающими из него. В последнем случае он должен уметь доказать (ис­пользуя опять-таки только то, что ему дано, и применяя только заранее перечисленные, как позволенные ему, операции), что свойство, кото­рым он воспользовался, действительно следует из свойств, непосредст­венно содержащихся в определении. В этом смысле он бывает иногда похож на игрока в кегли, который мог бы спокойно подойти и сбросить любое (из возможных) число кеглей руками, но который имеет право сбивать их только издали и только катящимися по земле шарами, т.е. строго соблюдая все правила игры»³.

Главная особенность приведенной характеристики способа матема­тических рассуждений состоит в том, что в соответствии с ней матема­тик должен «добровольно» ограничивать свою связь с внешним опытом только формулировкой исходных положений и не требовать впоследст­вии дополнительного подтверждения собственных предложений срав­нением с действительностью. Именно это отличает аксиоматический метод математики от принятого в физике и других науках гипотетико-дедуктивного способа рассуждений, обязательно завершающегося про­веркой теоретических выводов экспериментом.

Существующий ныне стандарт требований к логической строгости сложился только к концу XIX в. Этот стандарт основан на теоретико-

¹ Арнольд В.И. О преподавании математики // Успехи математических наук. 1998. Т. 53.
Вып. 1.С. 232.

² Новиков СП. Вторая половина XX века и ее итог: кризис физико-математического
сообщества в России и на Западе // Историко-математические исследования. Вторая се­
рия. М., 2002. Вып. 7 (42). С. 326-356.

³ Яновская С.А. Содержательная истинность и формально-логическая доказуемость в
математике // Практика и познание. М., 1973. С. 247

18                                        1. Философские проблемы математики

множественной концепции строения математической теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с одним или не­сколькими множествами объектов, связанными между собой некоторы­ми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отноше­ний, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Тео­рия может применяться к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной в ее основу системе аксиом.

В становлении аксиоматического метода В.Н. Молодший выделяет три основных периода: 1) период содержательной аксиоматизации; 2) период полуформальной аксиоматизации; 3) период формальной аксиоматизации¹. Принципы содержательной аксиоматики господствовали до середины XIX в. Полуформальный аксиоматический метод получил распростране­ние в последней четверти XIX в. Датой рождения формализованного акси­оматического метода принято считать 1904 г., когда Д. Гильберт выдвинул основные принципы формализации математики.

В содержательной аксиоматике аксиомы описывают основные свой­ства, отношения и связи объектов из одной области объектов. Последние получают непосредственное определение до того, как задан список ак­сиом рассматриваемой теории, а используемые при доказательствах средства логики не получают какого-либо описания или уточнения (предполагается использование традиционной формальной логики).

Наиболее совершенное для своего времени содержательно-аксиома­тическое построение геометрии как основы и методологии всей матема­тики разработал Евклид в «Началах».

Фундамент «Начал» составляют определения, постулаты и аксиомы. Постулаты Евклида представляют собой требования возможности осу­ществления построений с идеальными геометрическими объектами. Вот их формулировка: «Допустим:

1. Что от всякой точки до всякой точки < можно> провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую < можно непрерывно продолжить по прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором < может быть> описан круг.

4. И что все прямые углы равны между собой.

5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по од­ну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Аксиомы (дословно — «общие мысли») содержат описания свойств

любых величин и формулируются следующим образом:

¹ См.: Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М., 1969. С. 245-285.

1.1. Природа математического мышления                                            19

«1. Равные одному и тому же равны и между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

5. И удвоенные одного и того же равны между собой.

6. И половины одного и того же равны между собой.

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не содержат пространства».

Вместе с формальной логикой аксиомы представляют логический компонент теории доказательства «Начал».

В полуформальной аксиоматизации математической теории ее объ­екты не получают непосредственных определений. Их заменяют аксио­мы, описывающие отношения и связи между основными объектами. Как и в случае содержательной аксиоматизации, при доказательствах те­орем используются средства традиционной логики.

При полуформальной аксиоматизации математической теории ее ак­сиомы и теоремы справедливы для различных множеств объектов, с одинаковой, описанной в аксиомах, структурой отношений и связей между объектами. Каждую такую область называют моделью или интер­претацией аксиоматизированной теории.

Содержательный характер геометрической аксиоматики был постав­лен под сомнение в первой половине XIX в. в связи с построением Ло­бачевским, Бойяи и Гауссом неевклидовых геометрий. Аксиомы оказа­лись не абсолютными истинами, отрицание которых недопустимо, а гипотезами, истинность которых надо проверять опытным путем либо путем сведения к ранее установленным математическим истинам.

Трактовка цели и средств аксиоматизации математической теории существенно изменилась во второй половине XIX в., когда стало ясно, что каждая математическая теория допускает различные интерпретации. В этой связи была осознана целесообразность такого аксиоматического построения математических теорий, при котором любая из них выступа­ла бы как общая теория, заключения которой верны для объектов любых ее интерпретаций.

Зарождение аксиоматического метода как самостоятельной теории датируется 1899 г. — временем выхода классических «Оснований геоме­трии» Д. Гильберта, где этот метод на примере геометрии получил, по су­ществу, исчерпывающую разработку.

Формальные аксиоматики разработаны для теорий, относящихся преимущественно к фундаменту теоретической математики. Они есте­ственным образом получаются из полуформальных аксиоматик при по­мощи формализации традиционной логики, содержательным образом используемой в первых двух видах аксиоматик.

20                                       1. Философские проблемы математики

Теоретико-множественная концепция не только предоставила основ­ной в настоящее время стандарт математической строгости, но и позволи­ла в значительной мере разобраться в разнообразии возможных математи­ческих теорий и их систематизировать¹. Так, чистая алгебра определяется как наука о системах объектов, в которых задано конечное число опера­ций, применимых (каждая) к определенному конечному числу объектов системы и производящих из них новый объект системы (например, в слу­чае алгебраического поля — две операции (сложение и умножение) над двумя элементами каждая). Этим чистая алгебра отделяется от анализа и геометрии (в собственном смысле слова, предполагающем известную «не­прерывность» изучаемых пространств), которые существенно требуют введения «предельных» отношений, связывающих бесконечное число объектов. Аксиоматическое изложение какой-либо специальной матема­тической теории (например, теории вероятностей) не начинают на пустом месте, а пользуются ранее построенными теориями (например, понятия­ми натурального или действительного числа).

Теоретико-множественная переработка всех отделов математики при помощи идеи полуформальной аксиоматики позволила устранить неяс­ности и разногласия относительно корректности определений и убеди­тельности доказательств отдельных теорем. Обнаружившиеся в начале XX в. в самой теории множеств неясности и противоречия оказались связанными главным образом с теми ее областями, где понятию беско­нечного множества была придана общность, излишняя для каких-то приложений и потому не могущая нанести существенного вреда основ­ным разделам «работающей» математики. Однако следует иметь в виду, что теоретико-множественное построение всех основных математичес­ких теорий, начиная с арифметики натуральных и действительных чи­сел, требует обращения именно к теории бесконечных множеств, а по­следняя сама нуждается в логическом обосновании.

В начале XX в. в теории бесконечных множеств был обнаружен ряд па­радоксов, поставивших под сомнение возможность ее непротиворечивого обоснования. Самый известный из них — парадокс Рассела — формулиру­ется следующим образом. Пусть М — совокупность всех нормальных мно­жеств, т.е. множеств, не включающих себя в качестве собственного эле­мента. Допустим, что М — само нормальное множество, тогда оно не содержит самого себя в качестве элемента и тем самым не может быть нор­мальным. Если, напротив, предположить, что М — ненормальное множе­ство, то тогда оно должно входить в М, т.е. быть нормальным множеством.

С прагматической точки зрения этот парадокс, как отмечено выше, не представляет особой опасности. С философской же точки зрения он

¹ См.: Колмогоров А.Н. Математика // Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии/Под ред. В.А. Успенского. М., 1991. С. 67—68.

1.1. Природа математического мышления                                          21

весьма неприятен. Распространенные в математике доказательства от противного неявно опираются на предположение о непротиворечивос­ти математики. После того как теория множеств в конце XIX в. стала фундаментом всего математического знания, обнаружение противоре­чий в самых простых с логической точки зрения теоретико-множествен­ных рассуждениях воспринимается довольно болезненно. Устранение парадоксов из математики составило важную задачу общенаучного ха­рактера. Попытки ее разрешения и ознаменовали рождение новой науч­ной дисциплины — философии математики.

В настоящее время в философии математики имеются два основных направления — фундаменталистское и нефундаменталистское¹. Фунда­менталистская философия математики подчиняет исследование мате­матики одной целевой установке — выяснению проблемы сущности ма­тематики, не зависящей от ее конкретных исторических состояний. Именно эта цель преследуется при различных попытках редукции одних теоретических разделов математики к другим разделам и нахождения фундаментальных математических структур. Именно таким образом ис­следуется природа математических объектов и их соотнесенность с ми­ром природных объектов и объектов теоретического естествознания. Именно так осуществляется поиск единой сущности и непреходящих стандартов математического доказательства — стандартов, с которыми сравниваются реальные доказательства различных эпох.

Работы нефундаменталистского направления претендуют на поста­новку и решение проблем выявления концепций развития математики, поиска схем этого развития. Если для фундаменталистского направления в философии математики основными являются проблемы ее сущности, а не функционирования (исследование математики в «статике», а не в «ди­намике»), то нефундаменталистское направление считает возможным разобраться в законах реального функционирования древнейшей из наук без окончательного решения проблем установления ее сущности.

Пионерской работой нефундаменталистской ориентации стала серия статей И. Лакатоса «Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы», в которой он предпринял попытку вскрыть общую схему раз­вития математики на примере истории доказательства важного результа­та топологии — теоремы Эйлера о многогранниках.

Важной вехой в развитии нефундаменталистского направления явля­ется работа Р. Уайлдера «Математика как культурная система»², в кото­рой математика рассматривается как подразделение культуры в целом. Указанное представление опирается на понятие «культурного элемен-

¹ См.: Барабашев А.Г. Будущее математики: методологические аспекты прогнозирова­
ния. М., 1991. С. 79-96.

² Wilder R. Mathematics as a Cultural System. Oxford, 1981.

22                                        1. Философские проблемы математики

та», под которым автор понимает набор убеждений, инструментов, риту­алов (в широком смысле слова) и т.п., принадлежащих некоторым обра­зом объединенной группе людей. На этой основе он строит типологию исторического взаимодействия различных частей математики, которая существенно отличается от привычного ее разделения на специальные теоретические дисциплины.

Значительным явлением в развитии нефундаменталистского направ­ления стала также книга Ф. Китчера «Природа математического зна­ния» ', в которой делается попытка построения целостной и развернутой эмпирической концепции сущности и развития математического зна­ния как представленного в деятельности коллективного субъекта — на­учного сообщества математиков.

В настоящее время можно выделить три различные ветви нефунда­менталистского направления:

• историческая ветвь, полагающая развитие науки некумулятив­ным. Она восходит к концепции научных революций Т. Куна и приме­няет данную концепцию к математике. Идея исторического отбрасы­вания устаревших математических теорий развивается в большом числе публикаций и, в частности, в известной книге «Революции в ма­тематике»²;

• ветвь социальной детерминации, утверждающая зависимость со­держания науки от социальных взаимоотношений, от региональных и национальных особенностей. В философии математики так появились взгляды об «арийской математике» (Л. Бибербах), о «китайской матема­тике», о «буржуазной математике» в ее противопоставлении «пролетар­ской математике», о «европейской математике» и т.д. Наиболее основа­тельно это течение развивается С. Рестиво и его последователями³;

• ветвь культурной детерминации, распадающаяся на течение ког­нитивно-культурной детерминации, когда формальные структуры, трансформирующиеся в исходные математические структуры конкрет­ной исторической эпохи, считаются обусловленными формирующими­ся в данной культуре познавательными установками⁴, и течение дея-тельностно-культурной детерминации, согласно которому сущность культуры составляют социальные эстафеты действия, обеспечивающие облик математики, приемлемые способы действия с математическими объектами и само понимание таких объектов как ролей соотношения

¹ Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. N.Y., 1983.

² Revolutions in Mathematics / Ed. by D. Gilles. Oxford, 1992.

³ См.: Math Worlds. Philosophical and Social Studies of Mathematics and Mathematical
Education / Ed. by S. Restivo, J.R van Bendegem, R. Fisher. Albany, 1993.

⁴ См.: Барабашев А.Г. О прогнозировании развития математики посредством анализа
формальных структур познавательных установок // Стили в математике: социокультурная
философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. СПб., 1999.

1.1. Природа математического мышления                                            23

обозначений, воспроизводящих себя в соответствии с принципами нормативных систем¹.

Отличительные черты нефундаменталистского (социокультурного) направления в философии математики в его отношении к фундамента­лизму сводятся в основном к следующим:

•главной является группа проблем функционирования математики (математики в ее динамике). Если при изучении сущности математики фундаментализмом вопросы ее функционирования оказываются оттеснен­ными на задний план, то в данном случае на задний план отодвигается вы­явление неизменной сущности математики, независимой от ее развития;

• нефундаменталистская философия математики смотрит на математи­ку с более широких позиций, и поэтому она способна лучше адаптировать­ся к тем бурным изменениям, которые претерпевает сегодня математика, ее отношения с другими науками, а также ее место и значение в культуре;

• нефундаменталистская философия математики ближе к современ­ным исследованиям в математике и истории математики, что способст­вует ее плодотворному применению в обеих этих сферах.

Занимаясь мировоззренческими проблемами математики, философия математики, естественно, представляет собой специальный раздел фило­софского знания. Внутренняя проблематика философии математики (причем первоначально именно в ее фундаменталистском варианте) была порождена философией, которая, исследуя вопросы сущности и сущест­вования абстрактных и идеальных объектов, достоверность логических умозаключений, не могла не отметить такой важный частный случай, как математические объекты (пифагорейская школа, Платон), и столь важ­ный и эффективно разрабатываемый поколениями исследователей спо­соб рассуждений, как математическое доказательство (доказательство от противного, часто связываемое с философией элеатов; доказательство по индукции и т.д.). Но специализация, неизбежно прогрессирующая во всех областях знания по мере их развития, не обошла стороной и философию. Из частного раздела философского знания философия математики посте­пенно превратилась в достаточно автономную область исследований; ис­конно философские вопросы (о природе субъективного и объективного и их взаимосвязи) применительно к математическим сущностям стали вну­тренними вопросами философии математики, поддерживающими ее ав­тономное существование, требующими специализации и возбуждающи­ми устойчивый интерес ученых.

Главными прикладными проблемами для философии математики стали вопросы, возникающие в математике и истории математики, при­чем историко-математические проблемы важны прежде всего для не-

' См.: Rozov M.A. The Mode of Existence of Mathematical Objects // Philosophia Mathematica. Second Series. 1998. V. 4. № 2. P. 109.

24                                       1. Философские проблемы математики

фундаменталистского направления. Спустя сто лет после открытия па­радоксов теории множеств они по-прежнему остаются вызовом для всех работающих в области философии математики исследователей. Но не меньшую актуальность для философии математики сегодня приобрели и важнейшие открытые проблемы истории науки. Вот их неполный перечень:

• В какой мере допустима модернизация исторического источника (например, можно ли применять современную математическую симво­лику и достижения современной математики при изучении и изложении «Начал» Евклида, «Арифметики» Диофанта, исследований Ньютона, Лейбница и т.п.)?

• Каковы принципы влияния культурной среды на развитие матема­тики, насколько направление развития математики зависит от ее внут­ренних интенций и насколько — от внешних влияний (соотношение внутренних и внешних факторов развития математики)?

• Каким образом развивалась математика как социальный институт?

• Не оказывается ли нахождение исторической закономерности в действительности «опрокидыванием» в прошлое определенного виде­ния современной математики?

• Какие направления в математике были основными в те или иные исторические периоды? Существуют ли революции в математике?

Все эти вопросы объединяет связь с проблемой поиска исторических закономерностей развития математики. Стремление ответить на них в процессе поиска и обоснования исторических закономерностей разви­тия математики выступает как основа взаимопонимания современной истории науки и нефундаменталистской философии математики.

Аналогичным образом можно описать прикладную функцию нефунда­менталистской философии математики по отношению к запросам со сто­роны математики. Проблема выявления закономерностей и тенденций развития современной математики распадается здесь на ряд «подпроб-лем», которые представляют интерес для любого серьезного специалиста:

• Какие разделы математики, новые идеи и методы наиболее пер­спективны, как они взаимодействуют между собой?

• Каковы тенденции развития математического доказательства (мож­но ли, например, использовать ЭВМ при доказательстве математичес­ких теорем и каким образом)?

• Как строить обучение математике?

• Каковы симптомы возможности получения прикладного эффекта от исследований в конкретной области теоретической математики?

• Как в будущем будут соотноситься «прикладные» и «теоретические» исследования и в каком смысле можно говорить об их единстве?

Попытки ответить на эти и подобные вопросы постоянно предприни­маются самими «работающими» математиками. Нетрудно видеть, что ука-

1.2. Философские проблемы возникновения и исторической эволюции математики...  25

занные вопросы являются производными от одного, главного: каковы тен­денции развития математики, каково ее будущее? Таким образом, нефунда­менталистская философия математики под давлением со стороны матема­тики вынуждена искать способы ответа на этот вопрос. Предвидение будущего математики является одной из важных и актуальных проблем не­фундаменталистской философии математики, в русле которой ведется ана­лиз развития математики, выявления закономерностей этого развития.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: