Опишите возмущения по параметру и их особенности

Метод Линдстедта

Линстедт предложил метод уничтожения секулярных членов, который заключался в том, что частота  в опорном решении изменяется.

Применим метод Линдстедта к уравнению движения мат маятника. 

Пусть в опорном решении

                                                                                                     (1)

частота представляется в виде ряда                   .                  (2)

Предположим, что , тогда (2)

                                      ,                                                       (3)

где , , … – постоянные интегрирования, которые надо выбрать соответствующим образом.

Перепишем уравнение (3) в виде

                      .                         (4)                        

 (1), (3), (4)        

       ,         ,                  (5)                                                                                             

В уравнениях для  соответствующие неизвестные приближения  следует определить так, чтобы отсутствовали секулярные члены.

Получим уравнение для членов первого порядка

                         (6)

Найдем решение  которое соответствует начальным условиям , .

Если принять

                                      ,                                                                       (7)    

получим решение в виде

                           ,                                   (8)

где            ,                                       (9)

Чтобы найти приближения любого порядка, надо проинтегрировать уравнение

                                                   (10)

Решение уравнения (10) имеет вид

            (11)

Тогда решение уравнения (4) представится в виде

                                      (12)

Замечание 1. Если нач условия соответствуют колебательному движению, в частном случае можно доказать сходимость вышеописанной процедуры.

Замечание 2. В случае вращательного движения ряды расходятся, но заменой переменных можно достичь сходимости. Например, если ввести замену переменных:

,  ,    ,

     ,       

 

Замечание 3. Если применить аналог метода Линстедта для канонических систем, то можно колебания и вращения рассмотреть единым образом.

Случай возмущений по параметру

Разложение по степеням малого параметра в небесной механике восходят к И.Ньютону. Алгоритмизация разложения по степеням малого параметра принадлежит А.Пуанкаре и А.М.Ляпунову. П.Лапласом, Ж.Лагранжем, С.Пуассоном, А.Пуанкаре было усановлено строение общих членов разложений в небесной механике.

Пусть движение МС описывается ДУ

                                    ,                                                                 (1)

с граничным условием (ГУ)                 ,                                              (2)                          

где  – независимая переменная,  – малый параметр,  – некоторая функция.

Предполагается, что при  эта задача не имеет точного решения, а при имеет точное решение. Тогда при малых  решение задачи можно искать в виде разложения по степеням

                                         ,                     (3)

где  – решение задачи при ,  не зависит от .

Подставим разложение (3) в ДУ (1) и ГУ (2) и сгруппируем коэффициенты при каждой степени . Т.к. последовательность степеней  линейно независима и равенства (1) и (2) должны удовлетворяться для всех значений , коэффициент при каждой степени  обращается в нуль независимо. получаются простые уравнения относительно , которые последовательно решаются.

Случай возмущений по координате

Рассмотрим ДУ (1) с ГУ (2), при этом предполагаем, что  – скаляр, и при  вид решения  известен. Тогда можно найти отклонение функции  от  для , близких к , раскладывая это отклонение по степеням  (при ) или по степеням  (при ).  получаются простые уравнения относительно , которые последовательно решаются.

Докажите теорему Лиувилля об интегрируемости гамильтоновой системы в

Квадратурах

 Теорема Лиувилля об интегрируемости гамильтоновой системы в квадратурах. Пусть система канонических уравнений

                           ,     ( )                                  (1)

имеет  первых интегралов

                     ( ),                      (2)

находящихся в инволюции                 

                                          ( ),                                           (3)

для которых выполняется условие

                                                   0.                                                   (4)

Тогда система канонических уравнений (1) интегрируется в квадратурах.

Док-во. При выполнении условия (4) уравнения (2) можно разрешить относительно обобщенных импульсов:

                                  ( ).                     (5)

Подставив в равенства (2) вместо величин  их значения  из равеств (5), продифференцируем -ое тождество по :

                                                           .

 Теперь умножим обе части полученного тождества на производную  и просуммируем по :

                             ( ).                       (6)

 

Продифференцируем по -ое тождество равенства (2), умножим обе части полученного тождества на производную  и просуммируем по :

                             ( ).       

Теперь изменив индекс суммирования  в первой сумме на индекс , и поменяв порядок суммирования в двойной сумме, получим      

                                  ( ).                  (7)

Вычтем почленно из равенства (7) равенство (6) и, учитывая условия (3), имеем

                             ( ).                           (8)

Запишем  соотношений из (8), соответствующих какому-то фиксированному значению , в виде

                                    ( ),                                                   (9)

где

                                      .

В силу (4) система (9) имеет только тривиальное решение , т.е.

                                      ( ).                          (10)

Теперь запишем  соотношений из (10), соответствующих какому-то фиксированному значению , в виде

                    ( ),        

где                      

и, аналогично, получим ,                                                               (11)

т.е. при выполнении условий теоремы Лиувилля имеет место (11).

Из (1), (5) и (11) имеем

               .

Откуда следует, что  ,

т.е. справедливо равенство ( ),                                           (12)    

где  – функция Гамильтона, в которой величины  заменены их значениями  из (5).

Как известно из курса математического анализа, что равенства (11) и (12) являются необходимыми и достаточными условиями существования такой функции , что     

                                ,      ( ),                                   (12)

и ее нахождение требует только квадратур.

Из условия (12) следует, что функция  удовлетворяет системе уравнений (1). Для того, чтобы функция  была полным интегралом должно выполняться условие (9)

                           0,

которое в силу первых  равенств (12) преобразуется к виду

                                  .                                     (13)       

Неравенства (13) являются необходимыми и достаточными условиями разрешимости уравнений (5) относительно . Тогда из (2), (5) и (13) следует, что функция  является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби.

Замечание 1. Условие разрешимости первых интегралов (2) относительно обобщенных импульсов не является принципиальным и было использовано только для упрощения доказательства теоремы.

Замечание 2. Теорему Лиувилля можно трактовать следующим образом: при наличии  первых интегралов в инволюции системы канонических уравнений (1) порядка  можно найти еще  дополнительных  первых интегралов, которые в совокупности с исходными определяют общее решение системы.

Замечание 3. Не каждая система канонических уравнений инртегрируется в квадратурах, т.к. не всегда можно найти необходимого количества первых интегралов. Это связано с существованием причин, претяствующих интегрируемости.

Замечание 4. В общем случае справедливо обратное утверждение, согласно которому для любого набора разделяющих уравнений канонических переменных определяется полный набор инволютивных интегралов.

Замечание 5. Иногда говорят, что гамильтоновы системы, обладающие полным набором почти везде независимых первых интегралов в инволюции, называются (вполне) интегрируемыми по Лиувиллю.

Замечание 6. Иногда говорят о коммутативной интегрируемости, когда  гамильтоновы системы обладают избыточным набором интегралов (количество независимых первых интегралов больше чем n), но не все они являются инволютивными. В этом случае гамильтоновы системы называют суперинтегрируемыми.

Замечание 7. Для вырожденных суперинтегрирумых систем может существовать несколько систем координат, в которых переменные разделяются, например гармонический осциллятор, задача Кеплера и др.

Доказательство.

                     

                                     

            

Таким образом, хар-кое ур-е (4) содержит только четные степени , следовательно, если корень , то будет и корень . Рассмотрим только случай, когда хар-кое ур-е (4) имеет только простые чисто мнимые корни:

                           , ,                                              (5)      

где  – мнимая единица, .                    

Нормальной формой системы КУ (1) наз-ся такая система КУ, которой соответствует ф-я Гамильтона

                            .                                                   (6)

Пусть ф-я Гамильтона может быть представлена в ряд, причем ее разложение начинается с квадратичных членов

                                             ,                          (7)

где  – однородный полином степени  отн-но обобщ-х координат и обоб-х импульсов:

                                  ,                       (8)

                                             ,                                  (9)

где показатели степеней  ,  – целые неотрицательные числа,  – вещественные коэф-ты.

Замечание 1. Если произведем следующую кан-ую замену переменных

                    , , ( ),                   (10)                              

то                                                                                        (11)

примет вид

                                                                                              (12) 

Если в разложении ф-и Гамильтона (7) формы  при  не равны тождественно нулю, то уравнения (1) нелинейны. В этом случае нужно упростить ф-ю Гамильтона (7).

Нормализовать систему КУ (1) означает, что необходимо найти такую близкую к тождественной кан-кую замену переменных

                                                          ,                              (13)

чтобы ф-я Гамильтона в новых переменных удовлетворяла некоторым заранее указанным требованиям.                             

Упростим ф-я Гамильтона (7) методом кан-кой замены переменных Биркгофа, которая задается формулами

                         ,           ( ).     (14)                   

Замена переменных (14) наз-ся преобразованием Биркгофа.

Форму  в преобр-нии Биркгофа (14) следует построить таким образом, чтобы гамильтониан, записанный в новых переменных не содержал членов третьей степени относительно ,  ( ).

Функцию  в разложении (7) можно представить в виде

                 ,                              (15)

здесь показатели степеней  ,  – целые неотрицательные числа,  – постоянные коэф-ты.

Функцию  ищем в аналогичном (15) виде

                    .                           (16)

В формуле (16) постоянные коэф-ты , которые надо выбрать, приравняв нулю членов третьей степени в новом гамильтониане.

Из преобр-ния Биркгофа (14) следует, что старые переменные ,  ( ) аналитичны в окрестности начала координат ,  ( ) и могут быть представлены в виде ряда

 ,       ( ),   (17)                   

где члены, выше второй степени относительно ,  ( ), представлены многоточием.

Подставляя эти ряды в ряд (7), получаем новый гамильтониан в виде        

       ,            (18)                                                                                                    

где члены, выше третьей степени относительно , , представлены многоточием.

Как видим из (18), квадратичные члены гамильтониана сохранили свою форму, а члены третьей степени  имеют вид 

                   .                          (19)

Пусть                                 .                                                                (20)

Учитывая соотношения (15) и (16) и приравнивая нулю в тождестве (20) коэф-ты при , получим ур-я для определения коэф-тов  

         .                    (21)

Из условия, что все  и  неотрицательные числа, имеем

                 .                                   (22)

Если для целых чисел , удовлетворяющих неравенство

                       ,                                                         (23)

величиы  такие, что выполняется неравенство

                             ,                                                     (24)

то говорят, что в системе нет резонансов до порядка  включительно.

Согласно этому опр-нию, если в рассм-мой системе нет резонансов третьего порядка, т.е. если величины  такие, что для целых чисел , удовлетворяющих условию

                                                                                     (25)

выполняется неравенство

                                            ,                                      (26)

то из соотношений (21) и (22) следует, что, величины  по формуле

                   ,                           (27)                   

то получим новый гамильтониан, такой, что он не будет содержать члены третьей степени относительно ,  ( ).

Замечание 2. Можно попробовать применить еще одно каноническое преобр-ние

                                         ,                                              (28)

чтобы уничтожить члены четвертой степени  в новом гамильтониане . Однако это реализовать нельзя, т.к. в новом гамильтониане  останутся члены четвертой степени, которые имеют определенную структуру.

Замечание 3. Если в системе отсутствует резонанс до четвертого порядка включительно, т.е. неравенство (26) удовлетворяется при

                                       ,                                           (29)

то в новом гамильтониане  можно уничтожить все члены четвертой степени, за исключением членов, содержащих  и  в одинаковых степенях. Так как, если  при всех , то уравнение (21) не имеет решения. Тогда в  останется совокупность одночленов вида

                                      .                  (30)

Замечание 4. Методом мат-кой индукции можно доказать, что если в системе отсутствуют резонансы порядка  включительно, то существует задаваемое сходящимися в окрестности начала координат степенными рядами каноническое преобразование

                                            ,                                         (31)

которое приводит гамильтониан к виду

                                                          .                     (32)

Здесь  – многочлен степени не большей  от  произведений ( ), – начинающийся с членов степени не меньше  сходящийся ряд по степеням , .

Согласно определению, в этом случае гамильтониан приведен к нормальной форме Биркгофа.

28) Опишите метод Пуанкаре-Цайпеля (Линдстедта) и его особенности

 Метод последовательных канонических замен переменных Пуанкаре-Цейпеля

Метод Пуанкаре-Цейпеля был предложен Пуанкаре и назван им методом Линдстедта, а Цейпель эффективно использовал его для решения задач небесной механики. 

Приведем основную идею этого метода.         

Пусть МС описывается КУ         

                   ,     ( ),                         (1)

задаваемой не зависящей от времени функцией Гамильтона , аналитической по всем аргументам в области определения переменных , . Здесь  – -мерный вектор обобщенных координат,  – -мерный вектор обобщенных импульсов.

Пусть гамильтониан  является -периодической функцией по угловым переменным и имеет вид

          .                           (2)

Невозмущенная система ( )         

           ,     ( ).               (3)                   

сразу же интегрируется

                       ,         , ( ).     (4)                      

Основная идея метода заключается в построении канонического преобразования

                                   ,                                                       (5)

которое переводит гамильтониан  в новый гамильтониан, не зависящий от обощенных координат

 

                        .                          (6)

Каноническая замена переменных (5) порождается производящей функцией , которая обеспечивает следующий вид замены переменных:

                ,    .                  (7)                       

Производящая функция  ищется в виде ряда

                                ,                     (8)                  

где  – скалярное произведение.

Так как, при  функция Гамильтона уже имеет требуемый вид, то производящая функция  должна генерировать тождественную замену переменных

               ,             .                  (9)                      

Производящая функция, генерирующая функцию Гамильтона к указанному виду, называется характеристической функцией Гамильтона и удовлетворяет уравнению

                                .                                   (10)

Тогда из (2), (6) и (8) получим

       (11)                                                                                           

Раскладывая (11) в ряды и разделяя порядки по степеням малого параметра , имеем

      

                                                                    (12)

Теперь, разделяя порядки и сравнивая правые и левые части (12), получаем

                             ,

 

                          

 

                                                           (13)

                 

   

.............................

                                                                                     

Так как ,                                                             (14)             

из (13) получаем следующую последовательность линейных уравнений в частных производных первого порядка, которые позволяют определить все компоненты производящей функции (8):

   ,

,                                      (15)

................................

 

Решения уравнений (15) можно получить только последовательно. Одним из способов решения является последовательное использование процедуры усреднения.

Чтобы найти функцию , выбираем  в виде среднего значения функции Гамильтона  по всем переменным

                           ,                               (16)

получим уравнение

                     .              (17)

В равенствах (16) и (17) и далее через символы  и  обозначены оператор усреднения и дополнение к этому среднему.

Найти решение уравнения (17) не трудно.

Далее, подставляя найденное решение уравнения (17) во второе уравнение системы (15), получаем для

                                    .                                 (18)

Используя равенство (18), получим уравнение для определения функции :

                         .                   (19)

Уравнение (19) такое же, как и (17) линейное уравнение в частных производных первого порядка, решение которого тоже можно найти.

Продолжая эту процедуру, последовательно можно найти все , ..., .

Запишем производящую функцию  в виде

                                               ,                                                (20

1234Следующая ⇒

Поделиться: