Случай возмущений по параметру

Разложение по степеням малого параметра в небесной механике восходят к И.Ньютону. Алгоритмизация разложения по степеням малого параметра принадлежит А.Пуанкаре и А.М.Ляпунову. П.Лапласом, Ж.Лагранжем, С.Пуассоном, А.Пуанкаре было усановлено строение общих членов разложений в небесной механике.

Пусть движение МС описывается ДУ

                                    ,                                                                 (1)

с граничным условием (ГУ)                 ,                                              (2)                          

где  – независимая переменная,  – малый параметр,  – некоторая функция.

Предполагается, что при  эта задача не имеет точного решения, а при имеет точное решение. Тогда при малых  решение задачи можно искать в виде разложения по степеням

                                         ,                     (3)

где  – решение задачи при ,  не зависит от .

Подставим разложение (3) в ДУ (1) и ГУ (2) и сгруппируем коэффициенты при каждой степени . Т.к. последовательность степеней  линейно независима и равенства (1) и (2) должны удовлетворяться для всех значений , коэффициент при каждой степени  обращается в нуль независимо. получаются простые уравнения относительно , которые последовательно решаются.

Опишите возмущения по координатам и их особенности

Большинство ДУ движения реальных МС не интегрируется. Для получения информации о решениях таких уравнений можно использовать редкие случаи интегрируемых задач, рассматривая их как первые приближения. Интегрируемую задачу называют невозмущенной задачей, а неинтегрируемую – возмущенной.

Теория возмущений (ТВ) представляет собой совокупность методов, предназначенных для приближенного решения «возмущенных» задач, близких к «невозмущенным», решенным точно.

Общая идея методов теорий возмущений (МТВ) заключается в том, что сначала решается упрощенная система, а затем ищутся малые поправки – возмущения. Квадраты и произведения возмущений значительно меньше их самих и в первом приближении могут быть отброшены. Таким образом, приходим к линейной системе в возмущениях, решение которой дает аппроксимацию лучше исходной. Продолжая этот процесс, последовательно находим малые поправки – возмущения и приближаемся «сколь угодно близко» к истинному решению.

Термин «асимптотический метод» будем рассматривать как совокупность методов, которые формально приводят к точному решению задачи, например, методы последовательных приближений, использующих разложения по степеням малых и больших параметров, методы последовательных преобразований и их любые комбинации. Эти методы эффективны для качественного и количественного исследования сложных МС.

МТВ канонических систем основаны на том, что приближенные решения «возмущенных» задач, близких к «невозмущенным», решенным точно, находятся в виде рядов с помощью канонических преобразований.

В канонической ТВ существуют две трудности – проблема малых знаменателей и проблема расходимости приближений. Первая трудность обходится с помощью замены переменных. Что касается второй проблемы, то методы можно так обобщить, дополнить, переопределить и наложить на возмущения такие условия, что они будут сходиться хотя бы для некоторого набора начальных условий. Например, если подобрать соответствующим образом значения границ временного интервала, то оказывается простейший метод последовательных приближений решения рядами является сходящимся, при этом скорость сходимости ряда существенно зависит от выбора гамильтониана нулевого приближения.

Задачу о влиянии малых гамильтоновых возмущений на невозмущенную (интегрируемую) гамильтонову систему Пуанкаре назвал основной задачей динамики.

В ТВ предполагается, что различие между возмущенной системой и ее невозмущенной моделью можно рассматривать как малые возмущения и решение представляется в виде ряда по степеням параметра, который естественно возникает в уравнениях или для удобства вводится искусственно. Такие разложения называются возмущениями по параметру. Также разложения в ряд могут быть представлены по координатам, в этом случае они называются возмущениями по координатам

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: