Докажите теорему Лиувилля об интегрируемости гамильтоновой системы в

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Квадратурах

Теорема Лиувилля об интегрируемости гамильтоновой системы в квадратурах. Пусть система канонических уравнений

, ( ) (1)

имеет первых интегралов

( ), (2)

находящихся в инволюции

( ), (3)

для которых выполняется условие

0. (4)

Тогда система канонических уравнений (1) интегрируется в квадратурах.

Док-во. При выполнении условия (4) уравнения (2) можно разрешить относительно обобщенных импульсов:

( ). (5)

Подставив в равенства (2) вместо величин их значения из равеств (5), продифференцируем -ое тождество по :

Теперь умножим обе части полученного тождества на производную и просуммируем по :

( ). (6)

Продифференцируем по -ое тождество равенства (2), умножим обе части полученного тождества на производную и просуммируем по :

( ).

Теперь изменив индекс суммирования в первой сумме на индекс , и поменяв порядок суммирования в двойной сумме, получим

( ). (7)

Вычтем почленно из равенства (7) равенство (6) и, учитывая условия (3), имеем

( ). (8)

Запишем соотношений из (8), соответствующих какому-то фиксированному значению , в виде

( ), (9)

где

В силу (4) система (9) имеет только тривиальное решение , т.е.

( ). (10)

Теперь запишем соотношений из (10), соответствующих какому-то фиксированному значению , в виде

( ),

где

и, аналогично, получим , (11)

т.е. при выполнении условий теоремы Лиувилля имеет место (11).

Из (1), (5) и (11) имеем

Откуда следует, что ,

т.е. справедливо равенство ( ), (12)

где – функция Гамильтона, в которой величины заменены их значениями из (5).

Как известно из курса математического анализа, что равенства (11) и (12) являются необходимыми и достаточными условиями существования такой функции , что

, ( ), (12)

и ее нахождение требует только квадратур.

Из условия (12) следует, что функция удовлетворяет системе уравнений (1). Для того, чтобы функция была полным интегралом должно выполняться условие (9)

которое в силу первых равенств (12) преобразуется к виду

. (13)

Неравенства (13) являются необходимыми и достаточными условиями разрешимости уравнений (5) относительно . Тогда из (2), (5) и (13) следует, что функция является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби.

Замечание 1. Условие разрешимости первых интегралов (2) относительно обобщенных импульсов не является принципиальным и было использовано только для упрощения доказательства теоремы.

Замечание 2. Теорему Лиувилля можно трактовать следующим образом: при наличии первых интегралов в инволюции системы канонических уравнений (1) порядка можно найти еще дополнительных первых интегралов, которые в совокупности с исходными определяют общее решение системы.

Замечание 3. Не каждая система канонических уравнений инртегрируется в квадратурах, т.к. не всегда можно найти необходимого количества первых интегралов. Это связано с существованием причин, претяствующих интегрируемости.

Замечание 4. В общем случае справедливо обратное утверждение, согласно которому для любого набора разделяющих уравнений канонических переменных определяется полный набор инволютивных интегралов.

Замечание 5. Иногда говорят, что гамильтоновы системы, обладающие полным набором почти везде независимых первых интегралов в инволюции, называются (вполне) интегрируемыми по Лиувиллю.

Замечание 6. Иногда говорят о коммутативной интегрируемости, когда гамильтоновы системы обладают избыточным набором интегралов (количество независимых первых интегралов больше чем n), но не все они являются инволютивными. В этом случае гамильтоновы системы называют суперинтегрируемыми.

Замечание 7. Для вырожденных суперинтегрирумых систем может существовать несколько систем координат, в которых переменные разделяются, например гармонический осциллятор, задача Кеплера и др.

Опишите метод Хори-Депри и его особенности

Опишите метод Делоне-Хилла и его особенности

Опишите метод Биркгоффа и его особенности

Запишем систему КУ в векторно-матричной форме:

, (1)

где , , тогда и – канонически сопряженные переменные ( – обобщ-е коор-ты, – обобщ-е импульсы).

Здесь – структурная матрица

(2)

со свойствами

, , . (3)

Уравнение

(4)

Наз-ся характеристичеким уравнением системы (1).

Теорема. Характеристический многочлен является четной функцией .

Доказательство.

Таким образом, хар-кое ур-е (4) содержит только четные степени , следовательно, если корень , то будет и корень . Рассмотрим только случай, когда хар-кое ур-е (4) имеет только простые чисто мнимые корни:

, , (5)

где – мнимая единица, .

Нормальной формой системы КУ (1) наз-ся такая система КУ, которой соответствует ф-я Гамильтона

. (6)

Пусть ф-я Гамильтона может быть представлена в ряд, причем ее разложение начинается с квадратичных членов

, (7)

где – однородный полином степени отн-но обобщ-х координат и обоб-х импульсов:

, (8)

, (9)

где показатели степеней , – целые неотрицательные числа, – вещественные коэф-ты.

Замечание 1. Если произведем следующую кан-ую замену переменных

, , ( ), (10)

то (11)

примет вид

(12)

Если в разложении ф-и Гамильтона (7) формы при не равны тождественно нулю, то уравнения (1) нелинейны. В этом случае нужно упростить ф-ю Гамильтона (7).

Нормализовать систему КУ (1) означает, что необходимо найти такую близкую к тождественной кан-кую замену переменных

, (13)

чтобы ф-я Гамильтона в новых переменных удовлетворяла некоторым заранее указанным требованиям.

Упростим ф-я Гамильтона (7) методом кан-кой замены переменных Биркгофа, которая задается формулами

, ( ). (14)

Замена переменных (14) наз-ся преобразованием Биркгофа.

Форму в преобр-нии Биркгофа (14) следует построить таким образом, чтобы гамильтониан, записанный в новых переменных не содержал членов третьей степени относительно , ( ).

Функцию в разложении (7) можно представить в виде

, (15)

здесь показатели степеней , – целые неотрицательные числа, – постоянные коэф-ты.

Функцию ищем в аналогичном (15) виде

. (16)

В формуле (16) постоянные коэф-ты , которые надо выбрать, приравняв нулю членов третьей степени в новом гамильтониане.

Из преобр-ния Биркгофа (14) следует, что старые переменные , ( ) аналитичны в окрестности начала координат , ( ) и могут быть представлены в виде ряда

, ( ), (17)

где члены, выше второй степени относительно , ( ), представлены многоточием.

Подставляя эти ряды в ряд (7), получаем новый гамильтониан в виде

, (18)

где члены, выше третьей степени относительно , , представлены многоточием.

Как видим из (18), квадратичные члены гамильтониана сохранили свою форму, а члены третьей степени имеют вид

. (19)

Пусть . (20)

Учитывая соотношения (15) и (16) и приравнивая нулю в тождестве (20) коэф-ты при , получим ур-я для определения коэф-тов

. (21)

Из условия, что все и неотрицательные числа, имеем

. (22)

Если для целых чисел , удовлетворяющих неравенство

, (23)

величиы такие, что выполняется неравенство

, (24)

то говорят, что в системе нет резонансов до порядка включительно.

Согласно этому опр-нию, если в рассм-мой системе нет резонансов третьего порядка, т.е. если величины такие, что для целых чисел , удовлетворяющих условию

(25)

выполняется неравенство

, (26)

то из соотношений (21) и (22) следует, что, величины по формуле

, (27)

то получим новый гамильтониан, такой, что он не будет содержать члены третьей степени относительно , ( ).

Замечание 2. Можно попробовать применить еще одно каноническое преобр-ние

, (28)

чтобы уничтожить члены четвертой степени в новом гамильтониане . Однако это реализовать нельзя, т.к. в новом гамильтониане останутся члены четвертой степени, которые имеют определенную структуру.

Замечание 3. Если в системе отсутствует резонанс до четвертого порядка включительно, т.е. неравенство (26) удовлетворяется при

, (29)

то в новом гамильтониане можно уничтожить все члены четвертой степени, за исключением членов, содержащих и в одинаковых степенях. Так как, если при всех , то уравнение (21) не имеет решения. Тогда в останется совокупность одночленов вида

. (30)

Замечание 4. Методом мат-кой индукции можно доказать, что если в системе отсутствуют резонансы порядка включительно, то существует задаваемое сходящимися в окрестности начала координат степенными рядами каноническое преобразование

, (31)

которое приводит гамильтониан к виду

. (32)

Здесь – многочлен степени не большей от произведений ( ), – начинающийся с членов степени не меньше сходящийся ряд по степеням , .

Согласно определению, в этом случае гамильтониан приведен к нормальной форме Биркгофа.

28) Опишите метод Пуанкаре-Цайпеля (Линдстедта) и его особенности

Метод последовательных канонических замен переменных Пуанкаре-Цейпеля

Метод Пуанкаре-Цейпеля был предложен Пуанкаре и назван им методом Линдстедта, а Цейпель эффективно использовал его для решения задач небесной механики.

Приведем основную идею этого метода.

Пусть МС описывается КУ

, ( ), (1)

задаваемой не зависящей от времени функцией Гамильтона , аналитической по всем аргументам в области определения переменных , . Здесь – -мерный вектор обобщенных координат, – -мерный вектор обобщенных импульсов.

Пусть гамильтониан является -периодической функцией по угловым переменным и имеет вид

. (2)

Невозмущенная система ( )

, ( ). (3)

сразу же интегрируется

, , ( ). (4)

Основная идея метода заключается в построении канонического преобразования

, (5)

которое переводит гамильтониан в новый гамильтониан, не зависящий от обощенных координат

. (6)

Каноническая замена переменных (5) порождается производящей функцией , которая обеспечивает следующий вид замены переменных:

, . (7)

Производящая функция ищется в виде ряда

, (8)

где – скалярное произведение.

Так как, при функция Гамильтона уже имеет требуемый вид, то производящая функция должна генерировать тождественную замену переменных

, . (9)

Производящая функция, генерирующая функцию Гамильтона к указанному виду, называется характеристической функцией Гамильтона и удовлетворяет уравнению

. (10)

Тогда из (2), (6) и (8) получим

(11)

Раскладывая (11) в ряды и разделяя порядки по степеням малого параметра , имеем

(12)

Теперь, разделяя порядки и сравнивая правые и левые части (12), получаем

(13)

.............................

Так как , (14)

из (13) получаем следующую последовательность линейных уравнений в частных производных первого порядка, которые позволяют определить все компоненты производящей функции (8):

, (15)

................................

Решения уравнений (15) можно получить только последовательно. Одним из способов решения является последовательное использование процедуры усреднения.

Чтобы найти функцию , выбираем в виде среднего значения функции Гамильтона по всем переменным

, (16)

получим уравнение

. (17)

В равенствах (16) и (17) и далее через символы и обозначены оператор усреднения и дополнение к этому среднему.

Найти решение уравнения (17) не трудно.

Далее, подставляя найденное решение уравнения (17) во второе уравнение системы (15), получаем для

. (18)

Используя равенство (18), получим уравнение для определения функции :

. (19)

Уравнение (19) такое же, как и (17) линейное уравнение в частных производных первого порядка, решение которого тоже можно найти.

Продолжая эту процедуру, последовательно можно найти все , ..., .

Запишем производящую функцию в виде

, (20)

где через обозначено скалярное произведение , т.е.

Система канонических уравнений в новых переменных

, ( ) (21)

запишется в виде

, (22)

( ).

Проинтегрировав систему уравнений (22), получим

, , ( ). (23)

Запишем (7) в виде

, . (24)

Для получения явного вида преобразования (5) надо разрешить уравнения (24) относительно , .

Запишем (24) в виде

, (25)

Соотношения (25) представляют формулы замены переменных.

Замечание 1. Описанная процедура построения приближенного решения в виде ряда называется нерезонансной, поэтому проблема, связанная с малыми знаменателями, отпадет. В этом случае требуется условие, что частоты не связаны соотношениями

Замечание 2. Из-за появления малых знаменателей возникает вопрос о сходимости полученного ряда.

Замечание 3. Сходимости ряда может помешать еще и отсутствие некоторого числа переменных действие в невозмущенном движении. Согласно Арнольду, такое явление называется собственным вырождением.

Замечание 4. Существуют утверждения, что область сходимости рядов немного сужается.

Замечание 5. С практической точки зрения, в интервале времени , в тригонометрическом ряду можно сохранить конечное число гармоник, отбрасывая остаток, который приводит к поправкам за порогом принятой точности.

Замечание 6. Основные недостатки данного метода в том, что после построения производящей функции надо разрешить замену относительно старых переменных. При этом нужно подставлять ряд в ряд. Этими недостатками обладают все классические методы, использующие производящую функцию.

29) Докажите критерий каноничности преобразования через скобки Пуассона

Критерий каноничности преобразования, выраженный через скобки Пуассона.

Для того, чтобы преобразование , , было каноническим преобразованием необходимо и достаточно выполнение условий