Опишите секулярные члены и их особенности

Секулярные члены

Многие методы ТВ приводят к появлению в решении членов, пропорциональных времени . Такие члены называются секулярными членами. Если можно избежать такой ситуации, то скорость сходимости может быть улучшена, или в некоторых специальных случаях можно достичь сходимости для всех при достаточно малых .

Рассмотрим появление секулярных членов на примере мат маятника.

Пусть нач условия соответствуют малым колебаниям около устойчивого положения равновесия. ДУ движения запишем в виде:

(1)

где , – ускорение свободного падения, – длина нити маятника.

Введем новую переменную (2)

и разложим в ряд по степеням малого параметра . Тогда уравнение (1)

. ( 3)

При решение уравнения (3) можно записать так:

. (4)

Рассмотрим следующее разложение функции в ряд

тогда решение в окрестности опорного решения ищется в виде

(5)

Подставим ряд (5) в (3) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях . Определим первые несколько приближений:

, (6)

Найдем решение которое соответствует нач условиям , . Предположим, что (это вопрос выбора единицы времени).

Из курса ДУ частное решение уравнения имеет вид

при , при ,

а решение уравнения имеет вид

при , при .

, (7)

где , .

Из формулы (7) видно, что секулярные члены появились уже в первом приближении. Такие члены в литературе называют смешанными секулярными членами.

11) Напишите канонические уравнения системы двух притягивающих материальных точек

12) Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для материальной точки массы , движущейся в однородном поле силы тяжести

Метод Гамильтона-Якоби

В своих научных исследованиях в оптике Гамильтон получил связь между общим решением системы канонических уравнений и полным интегралом уравнений в частных производных первого порядка, Якоби развил эту идею Гамильтона и получил метод интегрирования канонических систем уравнений Гамильтона, который заключался в том, что с помощью полного интеграла уравнения в частных производных первого порядка, называемого уравнением Гамильтона-Якоби, можно найти общее решение системы канонических уравнений. Этот метод интегрирования уравнений Гамильтона получил название метода Гамильтона-Якоби. В общем случае решение этих задач являются одинаково трудными, однако существуют такие проблемы в механике, для которых интегрирование системы канонических уравнений оказывается намного сложнее, чем нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.

Рассмотрим голономную механическую систему, движущуюся под действием потенциальных сил. Запишем уравнения движения этой системы в канонической форме:

, ( ) (1)

здесь – обобщенные координаты, – обобщенные импульсы, – известная функция Гамильтона.

Теперь с помощью КП перейдем к интегрируемой системе, решение которой можно найти алгебраическим методом. Для этого перейдем с помощью унивалентного КП от старых канонических переменных , к новым каноническим переменным , :

, , ( ), (2)

здесь – производящая функция.

Тогда система уравнений (1) примут следующий вид:

, , ( ), (3)

здесь – новая функция Гамильтона определяется по формуле

. (4)

Величины , в правой части (после вычисления частных произвводных) должны быть выражены с помощью соттношений (2) через , .

Если, построить производящую функция так, чтобы новая функция Гамильтона была равна нулю ( , то система уравнений (3) сразу интегрируются:

, , ( ), (5)

здесь – произвольные константы.

Если выполняется условие

0, (6)

найдем зависимость старых переменных от времени и констант:

, . (7)

Приняв новую функцию Гамильтона равным нулю ( ) и учитывая (2) и (4), получим:

. (8)

Это уравнение в частных производных называют уравнением Гамильтона-Якоби. Здесь – функция переменных и , а величины рассматриваются как параметры.

Полным интегралом уравнения в частных производных (2.1.8) называется его решение , зависящее от произвольных констант и удовлетворяющее условию

0. (9)

Если функция явно не входит в уравнение в частных производных, то наряду с его решением существует решение (здесь – произвольная константа). Поэтому можно рассматривать полный интеграл уравнения в частных производных, в котором одна из постоянных является аддитивной. В уравнение Гамильтона-Якоби входят только производные функции , поэтому в его полном интеграле одна из постоянных является аддитивной, т.е полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби имеет вид

(10)

здесь – произвольная константа.

Таким образом, найден метод интегрирования уравнений (1), основанный на нахождение полного интеграла уравнения в частных производных (8). Этот метод задается следующей теоремой.

Теорема Гамильтона-Якоби. Если функция , зависящая от произвольных констант является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби, то решение системы канонических уравнений (1) можно определиь из следующих соотношений

, , ( ), (11)

здесь – произвольные константы.

Теорема Гамильтона-Якоби сводит интегрирование системы ДУ (1) к нахождению полного интеграла уравнения в частных производных (8).

Общих методов построения точных решений для систем канонических уравнений произвольного вида и нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби нет.

Рассмотрим некоторые случаи, характеризующиеся специальной структурой функции Гамильтона, когда возможно найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.

Можно выбрать новый гамильтониан таким образом, чтобы число степеней новой системы был меньше числа степеней старой системы и найти производящую функцию, т.е. речь идет о нахождении производящей функции преобразования, приводящей фунцию Гамильтона к следующему виду

, , ,

Новая гамильтоновая система приводится к квадратуре.

Также можно выбрать новую фунцию Гамильтона, явно не зависящую от времени. В обшем случае такой метод называют методом усреднения. Обычно метод усреднения часто применяют когда гамильтониан рассматриваемой системы является периодической или условно периодической функцией времени.

Если функция Гамильтона зависит от малого параметра и раскладывается в ряд Тэйлора в окрестности нулевого значения малого параметра, то для решения задачи ищут производящую функцию в виде ряда Тэйлора. В обшем случае свойства сходимости таких рядов не известны.

21) Критерий каноничности преобразования, выраженный через скобки Лагранжа.

Для того, чтобы преобразование , , было каноническим преобразованием необходимо и достаточно выполнение условий