Ламинарный режим течения в круглой трубе

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 24Следующая ⇒

Рассмотрим установившееся ламинарное течение в канале постоянного сечения (S=const) параллельно горизонту ( ) (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Запишем уравнение Бернулли для двух сечений потока жидкости:

. (4.2)

Запишем основные соотношения, учитывая, что и .

, , ,

где Δp_тр – перепад давлений, обусловленный силами трения; – потери напора при движении жидкости.

Спроектируем силы на ось движения жидкости:

и выразим из последнего уравнения :

или . (4.3)

Получили уравнение (4.1), но при движении жидкости вдоль горизонта.

Определим распределение скоростей по сечению. По закону Ньютона: ( – динамической коэффициент вязкости); так как dy=- dr , то

. (4.4)

Приравняем (4.3) и (4.4), а затем выразим скорость V:

; ; ;

откуда

Окончательно имеем

или . (4.5)

Из формулы (4.5) видно, что изменение скорости потока по живому сечению происходит по параболическому закону. Максимальная скорость на оси струи:

или , (4.6)

где d=2 r₀ – диаметр трубы.

рис. 4.3

Для определения расхода потока в трубе выделим элементарное кольцо толщиной dr, тогда элементарный расход через выделенное кольцо будет:

Проинтегрировав последнее выражение по r в пределах от 0 до r₀, получим выражение для расхода:

Зная расход, можно определить среднюю скорость потока:

; ;

или . (4.7)

Сравнивая (4.7) с (4.6), мы видим, что при ламинарном движении потока средняя скорость в трубе в 2 раза меньше максимальной:

Перепишем (4.7) в виде: , выразим из этого выражения

. (4.8)

Но , где v – кинематический коэффициент вязкости, . Умножив числитель и знаменатель (4.8) на , получим

Учитывая, что

и обозначив

, (4.9)

окончательно получим формулу для определения потерь напора при ламинарном движении жидкости (формула Дарси):

, (4.10)

где – коэффициент гидравлических сопротивлений трения при ламинарном течении.

Из формулы (4.10) видно, что потери Dh_f при ламинарном движении пропорциональны средней скорости в первой степени, т.к. λ_л= f (Re^-1) = f (V_ср^-1).

Часто формулу (4.10) для ламинарного и турбулентного течений для труб некруглой формы сечения записывают через гидравлический диаметр D.

Забегая вперед, отметим, что понятием гидравлический диаметр в качестве характерного размера можно пользоваться, если по всему или почти всему периметру толщина пристеночного пограничного слоя δ_л (в пределах которого скорость меняется от нуля до значения, близкого к максимуму) очень мала по сравнению с размером поперечного сечения канала δ_л<<d – см. ниже. Исходя из сказанного, понятием гидравлического диаметра можно пользоваться в случае турбулентного течения по трубам с поперечным сечением любой формы.

Для стабилизированного ламинарного течения для труб некруглой формы в чистом виде (без поправочных коэффициентов, учитывающих отличие формы сечения, от круглой) понятием гидравлического диаметра пользоваться нельзя. Для турбулентного течения в первом приближении поправочный коэффициент можно принимать, равным 1. Для ламинарного режима течения гидравлическим диаметром в чистом виде допустимо пользоваться на входном участке, когда толщина δ_л<<d – см. ниже.

Для определения сопротивления для труб некруглой формы вводят специальные поправки в коэффициент гидравлического сопротивления трения λ, учитывающие влияние формы поперечного сечения труб. При этом часто коэффициент сопротивления трения труб некруглого сечения проще определять введением в формулы для труб круглого сечения соответствующих поправочных коэффициентов (для обоих режимов течения) k_н:

где – коэффициент сопротивления трения труб круглого сечения при том же числе Рейнольдса (режиме течения):

;

– поправочный коэффициент, учитывающий влияние формы поперечного сечения трубы ( – для ламинарного и – для турбулентного течений).

В последней формуле для определения Re D=d, так как подразумевается, что жидкость течет по всему живому сечению трубы.

Потери полного напора при ламинарном течении для труб некруглой формы сечения:

, (4.11)

где

при этом

Например, для труб квадратной формы сечения при Re < 2300 и

Поясним сказанное на примере ламинарного режима течения. Выражение (4.9) выведено для трубы круглого сечения при ее работе полным сечением, а необходимо вычислить коэффициент λ_нл для канала некруглого сечения (тоже при работе полным сечением). В этом случае поступают так: вычисляют гидравлический диаметр D канала некруглого сечения, по нему вычисляют число Рейнольдса , в случае Re<2300 используют формулу (4.9), т.е. подставляют в нее вычисленное Re, а затем домножают полученный результат на поправочный коэффициент в зависимости от формы канала. Потери полного напора вычисляются по выражению (4.11). Аналогично вычисляется коэффициент λ_нт для труб некруглого сечения и в случае турбулентного режима течения, однако зависимости для вычисления коэффициента λ_т для труб круглого сечения будут свои – см. ниже.