Определение касательных напряжений

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

При поперечном изгибе и кручении рассматриваемых оболочек в обшивке возникают касательные напряжения, которые связаны с касательными усилиями равенством , где - среднее по толщине касательное напряжение вдоль контура сечения. Для определения касательного напряжения рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента обшивки, нагруженного нормальными и касательными усилиями. Проектируя усилия на направление оси , получим известное выражение уравнения равновесия

, ()

откуда интегрированием по определим касательное усилие

. (6.11)

Здесь - поток в месте разреза сечения, где .

Определение касательных усилий. Подставим нормальное усилие из уравнения (6.9) в уравнение (6.11) и получим выражение

, (6.12)

где штрихи означают производные по координате . Вводя обозначение

- отсеченная жесткость сечения с учетом жесткости стрингеров;

- отсеченный статический момент с учетом модуля упругости относительно оси и учетом стрингеров;

- отсеченный статический момент с учетом модуля упругости относительно оси и учетом стрингеров.

Учитывая, что производные от момента есть перерезывающие силы в сечении, т.е. и , можно увидеть, что выражение в круглых скобках соответствует потокам касательных сил от поперечной нагрузки для открытого сечения, тогда есть касательный поток, компенсирующий разрез в рассматриваемом сечении. В главных центральных осях поток от перерезывающих сил в месте разреза равен нулю, так как эквивалентные статические потоки для сечения равны нулю. Следовательно, в уравнении (6.12) при удовлетворении этого условия должно выполняться условие . Тогда уравнение (6.12) примет вид

. (6.13)

Таким образом, при вычислении потока удобно считать, что контур разрезан в какой-то точке , тогда постоянный поток можно считать компенсирующим этот условный разрез. Уравнение (6.13) можно переписать в виде , где

или . (6.14)

Таким образом, поток производится поперечными силами Q_x и Q_y. Эти же слагаемые потока от поперечных сил в уравнении (6.14) удовлетворяют уравнениям равновесия всех сил на оси и . Удовлетворим последнее статическое уравнение равновесия крутящих моментов относительно продольной оси . Суммарный поток должен сводится к крутящему моменту

или . (6.15)

Первый контурный интеграл определяет удвоенную площадь внутри контура, где радиус отсчитывается относительно произвольной точки. Как видно из рис. 6.9, элементарная площадь равна удвоенной площади элементарного треугольника с основанием .

Рис. 6.9. К определению удвоенной площади внутри контура

Интегрируя вдоль контура, найдем удвоенную площадь, ограниченную контуром, т.е. . Тогда из (6.15) находим поток

или, подставляя в выражение значение , перепишем его в виде

Тогда касательный поток можно представить в виде

, (6.16)

где и . (6.17)

Если , то получим формулу Бредта для определения потока от кручения

Для прямоугольного контура с размерами сторон и .

Определение перемещений

Осевое смещение и углы поворотов поперечного сечения и относительно осей и были уже определены уравнениями (6.10). Теперь мы определяем угол вращения поперечного сечения относительно оси . В соответствии с теоремой Кастильяно, погонный угол вращения определяется производной от потенциальной энергии по моменту вращения, действующего в сечении, т.е.

где потенциальная энергия для ортотропной оболочки равна .

Усилие известно и для изотропной и ортотропной структуры с потоком не связано (коэффициенты ) и при варьировании по на угол поворота не влияет. Если учитывать, что есть функция от , то погонный угол можно выразить как и изменение угла по длине определяется интегрированием выражения , где определяется из условия закрепления оболочки. Тогда для вычисления погонного угла поворота для фиксированного сечения с координатой по длине оболочки и с известными силовыми функциями в этом сечении получим формулу в виде