Системы дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрим систему ОДУ первого порядка

и систему начальных условий

Для поиска решения такой системы уравнений в Mathcad также можно использовать блок Given… O deso l ve. Решение находится с помощью функции .

Здесь:

 – вектор функций, относительно которых решается система дифференциальных уравнений, должен содержать имена функций без имени переменной;

· x– имя переменной, относительно которой ищется решение;

·  – граничная точка отрезка , на котором ищется решение.

Рассмотрим пример решения системы уравнений

для  с начальными условиями ,  

В более старых версиях Mathcad для решения ОДУ использовались специальные встроенные функции. Однако с появлением более наглядного и простого способа, связанного с применением вычислительного блока Given…Odesolve, они уже не представляют особой практической важности. Несмотря на это, о возможности их применения для решения ОДУ нужно иметь четкое представление, так как в некоторых случаях (например, в программировании) использовать вычислительный блок нельзя.

Рассмотрим одну из этих функций, которая служит для решения системы ОДУ первого порядка, а именно функцию , где:

·  – вектор начальных условий размерности n (n – порядок ОДУ или число уравнений в системе);

·  – граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений (начальные условия, заданные в векторе V, – это значение решения в точке ;

·  – число точек (не считая начальной точки), в которых ищется решение;

·  – функция, которая возвращает значение в виде вектора из элементов, содержащих первые производные неизвестных функций (т. е. элементами вектора являются правые части системы ОДУ первого порядка).

Функция  возвращает матрицу, первый столбец которой содержит точки, где ищется решение (значения аргумента), второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках для первого уравнения системы, второй столбец – для второго уравнения системы и т. д.

В качестве примера применения функции  рассмотрим систему ОДУ, решение которой было получено выше с использованием решающего блока Given…Odesolve. Для удобства перепишем ее в виде:

 

Будем искать решение для  ( ) в 100 точках (  ) с начальными условиями  ( ),  ( ).

Решение в Mathcad имеет вид:

 

 

 

Интерполяция

Пусть некоторая функция  задана таблицей своих значений, где

xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y2	…	yn

Интерполяция означает построение функции , аппроксимирующей зависимость  в промежуточных точках (между точками ). Поэтому интерполяцию еще по-другому называют аппроксимацией. В точках  значения интерполяционной функции должны совпадать с исходными данными, т. е. .

Для построения интерполирующих функций в Mathcad имеются несколько встроенных функций, позволяющих «соединить» точки выборки данных ( ) кривой разной степени гладкости.

Линейная интерполяция

Самый простой вид интерполяции – линейная, которая представляет искомую зависимость  в виде ломаной линии. Интерполирующая функция  состоит из отрезков прямых, соединяющих точки.

Для построения интерполирующей функции служит встроенная функция linterp (X, Y , t) – функция, аппроксимирующая данные векторов  и  кусочно-линейной зависимостью.

Аргументы функции:  

 – вектор действительных данных аргумента;

 – вектор действительных данных ( ) того же размера;

– значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующая функция. Элементы вектора  должны быть определены в порядке возрастания, т. е. .

Рассмотрим пример. Пусть в результате некоторого эксперимента получены вектора данных:

 и .

Необходимо построить линейную интерполирующую функцию для этих данных на отрезке

Ниже представлено решение поставленной задачи.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: