Кубическая сплайн-интерполяция

В большинстве практических приложений желательно соединить экспериментальные точки не ломаной линией, а гладкой кривой. Лучше всего для этих целей подходит интерполяция кубическими сплайнами. Смысл  кубической сплайн-интерполяции заключается в том, что в промежутках между точками осуществляется аппроксимация в виде зависимости .  Коэффициенты  рассчитываются независимо для каждого промежутка, исходя из значений  в соседних точках.

Для аппроксимации данных векторов  и  кубическими сплайнами используется функция interp ( s , , , t ). Аргументы , , t имеют тот же смысл что и для рассмотренной выше функции функция linterp(X, Y , t ). Аргумент s – вектор вторых производных, созданный одной из сопутствующих функций:  – вектор значений коэффициентов кубического сплайна;  – вектор значений коэффициентов квадратичного сплайна; или  – вектор значений коэффициентов линейного сплайна.

Выбор конкретной функции сплайновых коэффициентов влияет на интерполяцию вблизи конечных точек интервала интерполяции. Пример кубической сплайн-интерполяции приведен ниже.

Регрессия

Задачи математической регрессии имеют смысл приближения выборки данных  некоторой функцией , определенным образом минимизирующей совокупность ошибок . Регрессия сводится к подбору неизвестных коэффициентов, определяющих аналитическую зависимость . Чаще всего неизвестные коэффициенты определяются из условия минимизации суммы квадратов ошибок . В этом случае метод подбора неизвестных коэффициентов называется методом наименьших квадратов. Заметим также, что существуют и другие методы для подбора коэффициентов [2].

Линейная регрессия

Самый простой и наиболее часто используемый вид регрессии –линейная. Приближение данных  осуществляется линейной функцией .

Для расчета коэффициентов a и b в Mathcad имеются два дублирующих друг друга способа.

Первый способ использует функцию  – вектор из двух элементов  – коэффициентов уравнения линейной регрессии .

Во втором способе для определения коэффициента  используется функция  intercept ( ), а для вычисления коэффициента  функция .

Аргументами этих функций являются:

·  – вектор действительных данных аргумента;

· – вектор действительных данных ( ) того же размера;

Ниже приводится пример применения этих функций для построения линейной регрессии.

 

 

Коэффициенты и можно вычислить и так:

Регрессия общего вида

К сожалению, линейная функция далеко не во всех случаях подходит для описания зависимости данных. При более сложных зависимостях между данными приходится использовать уравнение регрессии в виде линейной комбинации известных функций.

,

где коэффициенты  подлежат определению.

Неизвестные коэффициенты можно определить использованием встроенной функции linfit( ).

Аргументы функции:

· – вектор действительных данных аргумента, элементы которого расположены в порядке возрастания; 

· – вектор действительных данных ( ) того же размера;

· F – функция, представляющая собой вектор, элементами которого являются функции, которые нужно объединить в виде линейной комбинации, т. е. .

Ниже приведен пример построения уравнения регрессии вида  по набору данных, записанных в вектора  и .

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: