Кинематика материальной точки. Если известно, каким образом изменяется со временем положение каждой частицы тела

 

Если известно, каким образом изменяется со временем положение каждой частицы тела, то говорят, что определен закон движения тела. Описать движение физической системы – значит, в каждый момент времени указать положение всех ее частей в пространстве по отношению к выбранной системе отсчета. Для этого необходимо задать какое-то число параметров, характеризующих положение тела в пространстве в каждый момент времени.

Минимальное число параметров, задание которых полностью определяет положение физической системы в пространстве, называется числом ее степеней свободы.

Положение материальной точки в пространстве однозначно определяется радиус-вектором , проведенным из начала отсчета в данную точку. Согласно этому определению число степеней свободы частицы равно трем. Если тело состоит из N частиц, и все они могут перемещаться друг относительно друга во всех направлениях, то оно обладает 3N степенями свободы.

Если на взаимные перемещения частиц наложены ограничения, называемые связями, то число степеней свободы будет меньше. Рассмотрим абсолютно твердое тело, на котором указаны три точки А, В и С. Если их положения известны, то тем самым однозначно определено положение любой точки D. Положения точек А, В и С определяются девятью координатами x_A, y_A, z_A, ... , x_C, y_C, z_C. Однако из этих девяти величин независимыми являются только шесть, поскольку существуют три ограничения, обусловленные требованием сохранения трех расстояний АВ, АС и ВС. Поэтому число степеней свободы абсолютно твердого тела равно шести.

При движении радиус-вектор частицы изменяется, т. е. он является функцией времени:

 

или

 

При движении частицы конец радиус-вектора описывает в пространстве линию – траекторию частицы.

В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

Расстояние, которое проходит точка по траектории, называется пройденным путем DS и является скалярной функцией времени:

Вектор , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени, называется перемещением.

Естественно, при прямолинейном движении  равен пройденному пути  

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина – скорость, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.

 

Скорость

 

Средней скоростью называют вектор, равный отношению вектора перемещения  к промежутку времени  этого перемещения:

 

 

Если перейдем к пределу при  то мгновенная скорость будет равна первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени:

 

Вектор скорости  направлен по касательной к траектории.

При задании уравнений движения в виде

 

 

вычисляют проекции скорости на оси координат:

 

 

Модуль скорости находят по формуле

 

 

В пределе  поэтому

 

 

т. е. численное значение мгновенной скорости равно первой произвольной пути по времени.

В случае неравномерного движения, когда численное значение мгновенной скорости изменяется, можно пользоваться скалярной величиной – средней скоростью (ávñ):

 

Если выражение  проинтегрировать по времени, то найдем путь, пройденный точкой за время

 

 

Ускорение

 

Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Средним ускорением неравномерного движения называется отношение изменения скорости  к промежутку времени  за который произошло это изменение:

 

 

Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

 

 

т. е. ускорение  есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Найдем проекции скорости на оси координат:

 

 

тогда

 

Во многих задачах удобнее раскладывать  не по осям координат, а на два взаимно перпендикулярных вектора  и  называемых нормальным и тангенциальным ускорениями.

Очевидно, что вектор CD, равный  представляет собой изменение скорости по модулю за время

 

Вектор ВС, равный  характеризует изменение скорости по направлению.

Ускорение

 

 

Тангенциальное ускорение

 

 

определяет быстроту изменения величины скорости, оно направлено по касательной к траектории.

Если промежуток времени  то точка М₂ стремится к М₁, поэтому  можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды М₁М₂. Тогда из подобия треугольников М₁ВС и М₁М₂О следует

 

 

так как  Тогда

 

 

Если отбросить индекс при обозначении скорости, то

 

 

Нормальное (центростремительное) ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлено перпендикулярно к вектору скорости.

Итак, полное ускорение точки есть геометрическая сумма нормального и тангенциального ускорений:

 

или

 

Рассмотрим виды движения материальной точки:

1)  – прямолинейное равномерное движение.

2)  – прямолинейное равнопеременное движение.

Проинтегрируем выражение

Так как , то

 

 

где  – начальная скорость.

Воспользовавшись определением скорости  можно определить пройденный путь:

 

тогда

 

3)  – прямолинейное движение с переменным ускорением.

4)  – равномерное движение по окружности.

5)  – криволинейное движение с переменным ускорением.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: