Кинематика абсолютно твердого тела

Движение твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного и вращательного движений.

Движение твердого тела называют поступательным, если любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной ее первоначальному направлению.

При вращении точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости перпендикулярны к ней.

Для описания вращательного движения вводят понятие угловой скорости и углового ускорения.

Отношение называют средней угловой скоростью.

Мгновенная угловая скорость

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения, так что его положительное направление составляет с направлением вращения правовинтовую систему, т. е. подчиняется правилу буравчика.

За время dt точка M тела, вращающегося с угловой скоростью w, проходит по дуге окружности радиуса R путь , так что

Если то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т – временем, за которое точка совершает один полный оборот:

Частота вращения показывает число оборотов тела в единицу времени:

откуда

У гловое ускорение

Угловое ускорение вводят при неравномерном вращении. Если за время угловая скорость изменится на , то отношение к называют средним угловым ускорением:

Мгновенное угловое ускорение

Из этой формулы следует, что вектор углового ускорения направлен по оси вращения.

Тангенциальное ускорение:

Нормальное ускорение:

Сопоставим основные уравнения и величины кинематики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси и его поступательным движением, подчеркнув их аналогию.

Поступательное движение	Вращательное движение
Путь Средняя скорость Мгновенная скорость Среднее ускорение Мгновенное ускорение	Угловой путь Средняя угловая скорость Мгновенная угловая скорость Среднее угловое ускорение Мгновенное угловое ускорение
Равномерное движение
	где N – число полных оборотов
Равнопеременное движение

Примеры решения задач

Задача 1. Закон движения материальной точки имеет вид

где А = 4 м/с; С = 1 м/с²; В = 5 м/с; D = 1 м/с³.

Найти абсолютное значение скорости в момент t = 2 с.

Решение

По условию задачи компоненты радиус-вектора

Абсолютное значение скорости

где м/с.

Задача 2. Самолет летит из пункта А в В, расположенный южнее А на 150 км, и возвращается обратно. Определить продолжительность полета, если известно, что во время рейса ветер дул с запада на восток. Скорость самолета 360 км/ч, скорость ветра 30 м/с.

Дано: l = 150 · 10³ м v_в = 30 м/с v_отн = 360 км/ч = 100 м/с

Решение

t = ?

Относительно системы отсчета, связанной с Землей

где – скорость ветра;

– скорость самолета относительно ветра.

Время движения из пункта А в пункт В:

Самолет вернется в пункт А через t = 2t₁ = 0,88 час.

Задача 3. С крыши дома высотой Н = 10 м вертикально вверх брошено тело с начальной скоростью v₀ = 5 м/с. Определить время полета тела и его скорость при соприкосновении с Землей. Силой сопротивления воздуха пренебречь. Построить графики зависимостей y(t), s(t), v_y(t), a_y(t).

Дано: v₀ = 5 м/с Н = 10 м

Решение

В любой точке траектории на тело действует только сила тяготения, т. е. движение происходит с постоянным ускорением поэтому

t = ? v = ?

В момент падения тела на Землю y = 0, тогда из уравнения найдем время полета, т. е. t = 2 с.

В момент падения тела скорость м/с (знак «–» показывает, что вектор скорости v направлен против выбранного направления оси Y).

Задача 4. Из брандспойта (шланг с металлическим наконечником), расположенного около поверхности Земли, вырывается струя воды со скоростью v₀ = 10 м/с. Брандспойт медленно вращается вокруг вертикальной оси, одновременно с этим меняется угол его наклона к Земле. Определить максимальную площадь, которую можно полить этим брандспойтом? Сопротивлением воздуха пренебречь. Считать g = 10 м/с².

Дано: v₀ = 10 м/с

Решение

S = ?

В выбранной системе координат

Максимальное удаление струи вдоль оси ОХ зависит от угла наклона брандспойта. Для (·) С y = 0, тогда Дальность полета Очевидно, дальность полета максимальна, если 2a = 90°, т. е. a = 45°. Тогда максимальная дальность м. Максимальная площадь полива равна площади круга

Задача 5. Тело бросили со скоростью 10 м/с под углом 45° к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения и радиус кривизны траектории тела через 1 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано: v_о = 10 м/с a= 45° t = 1 с

Решение

R = ? а_п = ? a _t = ?

Направим оси ОХ и ОУ вдоль горизонтального и вертикального перемещений тела. Тело считаем материальной точкой. v_ох и v_оу – проекции начальной скорости v₀ на координатные оси. При движении тела v_ох не изменяется,

м/с, .

Через t = 1 с после начала движения

м/с,

т. е. направлена вертикально вниз. Результирующая скорость в момент времени t = 1 с равна

7,6 (м/с)

и направлена по касательной к траектории в точке В.

Обозначим угол между вектором и осью ОХ через b. С течением времени угол b меняется. Разложив вектор на составляющие по касательному и нормальному направлениям к траектории в точке В, получим:

9,2 (м/с²),

4,0 (м/с²).

Радиус кривизны траектории в точке В вычислим по формуле

Подставив в последнее выражение значения v и a_n, рассчитанные выше, получим радиус кривизны: м.

Задача 6. На барабан намотана нить, к концу которой привязан груз. Предоставленный самому себе, груз опускается с ускорением
5,0 м/с². Определить ускорение точек, лежащих на ободе барабана, в тот момент, когда барабан сделает поворот на угол в 1 радиан.

Дано: j = 1 рад w_о = 0 а = 5,0 м/с²

Решение

Полное ускорение точки обода

Для точек, вращающихся с постоянным ускорением,

а₁ = ?

и .

Линейная скорость v точек тела, удаленных от его оси вращения на расстояние R, равна v = wR. Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения этих точек связаны с кинематическими характеристиками вращательного движения тела формулами

Зная угловое перемещение j, можно определить где так как нить сматывается с барабана без проскальзывания.

Определив получим

м/с².

Задача 7. Якорь электромотора, вращающийся со скоростью
n = 50 об/с, двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделав N = 1500 оборотов. Найти угловое ускорение и продолжительность торможения.

Дано: N = 1500 ν = 50 об/с ω = 0

Решение

Угловое ускорение якоря электромотора связано с начальной ω₀ и конечной ω угловыми скоростями соотношением

t = ? ε = ?

откуда

Но то 5,2 рад/с².

Знак минус указывает на то, что якорь вращался равнозамедленно. По условию задачи угловая скорость линейно зависит от времени

отсюда

60,4 с.

Задача 8. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением а_τ = 0,5 см/с². Через какой промежуток времени вектор ускорения образует с вектором скорости угол равный 30°? Какой путь пройдет за это время движущаяся точка?